高考文科數(shù)學導數(shù)專題復習(已修改)
2025-04-29 13:17 本頁面
【正文】 高考文科數(shù)學導數(shù)專題復習第1講 變化率與導數(shù)、導數(shù)的計算知 識 梳 理(1)函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導數(shù)f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝.(2)函數(shù)f(x)的導函數(shù)f′(x)＝為f(x)的導函數(shù).＝f(x)在點x0處的導數(shù)的幾何意義，就是曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線的斜率，過點P的切線方程為y－y0＝f′(x0)(x－x0).′(x)，g′(x)存在，則有：考點一 導數(shù)的計算【例1】 求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)y＝exln x；(2)y＝x；解 (1)y′＝(ex)′ln x＋ex(ln x)′＝exln x＋ex＝ex.(2)因為y＝x3＋1＋，所以y′＝(x3)′＋(1)′＋′＝3x2－.【訓練1】 (1) 已知函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f′(x)，且滿足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，則f′(1)等于( )A.－e B.－1 解析 由f(x)＝2xf′(1)＋ln x，得f′(x)＝2f′(1)＋，∴f′(1)＝2f′(1)＋1，則f′(1)＝－ B (2)(2015天津卷)已知函數(shù)f(x)＝axln x，x∈(0，＋∞)，其中a為實數(shù)，f′(x)為f(x)′(1)＝3，則a的值為________. (2)f′(x)＝a＝a(1＋ln x).由于f′(1)＝a(1＋ln 1)＝a，又f′(1)＝3，所以a＝ (2)3考點二 導數(shù)的幾何意義命題角度一 求切線方程【例2】 (2016全國Ⅲ卷)已知f(x)為偶函數(shù)，當x≤0時，f(x)＝e－x－1－x，則曲線y＝f(x)在點(1，2) (1)設x0，則－x0，f(－x)＝ex－1＋(x)為偶函數(shù)，f(x)＝f(－x)＝ex－1＋x，所以當x0時，f(x)＝ex－1＋，當x0時，f′(x)＝ex－1＋1，f′(1)＝e0＋1＝＝f(x)在點(1，2)處的切線的斜率為f′(1)＝2，所以切線方程為y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0. 答案 2x－y＝0【訓練2】(2017威海質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝xln x，若直線l過點(0，－1)，并且與曲線y＝f(x)相切，則直線l的方程為( )＋y－1＝0 －y－1＝0 ＋y＋1＝0 －y＋1＝0 (2)∵點(0，－1)不在曲線f(x)＝xln x上，∴設切點為(x0，y0).又∵f′(x)＝1＋ln x，∴解得x0＝1，y0＝0.∴切點為(1，0)，∴f′(1)＝1＋ln 1＝1.∴直線l的方程為y＝x－1，即x－y－1＝ B命題角度二 求切點坐標【例3】 (2017西安調(diào)研)設曲線y＝ex在點(0，1)處的切線與曲線y＝(x0)上點P處的切線垂直，則P的坐標為________.解析 由y′＝ex，知曲線y＝ex在點(0，1)處的切線斜率k1＝e0＝(m，n)，又y＝(x0)的導數(shù)y′＝－，曲線y＝(x0)在點P處的切線斜率k2＝－.依題意k1k2＝－1，所以m＝1，從而n＝1.則點P的坐標為(1，1).答案 (1，1)【訓練3】若曲線y＝xln x上點P處的切線平行于直線2x－y＋1＝0， (1)由題意得y′＝ln x＋x＝1＋ln x，直線2x－y＋1＝(m，n)，則1＋ln m＝2，解得m＝e，所以n＝eln e＝e，即點P的坐標為(e，e). 答案 (1)(e，e)命題角度三 求與切線有關的參數(shù)值(或范圍)【例4】 (2015全國Ⅱ卷)已知曲線y＝x＋ln x在點(1，1)處的切線與曲線y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，則a＝________.解析 由y＝x＋ln x，得y′＝1＋，得曲線在點(1，1)處的切線的斜率為k＝y(tǒng)′|x＝1＝2，所以切線方程為y－1＝2(x－1)，即y＝2x－＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，消去y，得ax2＋ax＋2＝0，∴a≠0且Δ＝a2－8a＝0，解得a＝ 8【訓練4】(x)＝ln x＋ax的圖象存在與直線2x－y＝0平行的切線，則實數(shù)a的取值范圍是________.函數(shù)f(x)＝ln x＋ax的圖象存在與直線2x－y＝0平行的切線，即f′(x)＝2在(0，＋∞)上有解，而f′(x)＝＋a，即＋a在(0，＋∞)上有解，a＝2－，因為a＞0，所以2－＜2，所以a的取值范圍是(－∞，2).答案 (2)(－∞，2)－y－ln x＝0上的任意一點，則點P到直線y＝x－2的最小距離為( ) B. C. D.解析 點P是曲線y＝x2－ln x上任意一點，當過點P的切線和直線y＝x－2平行時，點P到直線y＝x－2的距離最小，直線y＝x－2的斜率為1，令y＝x2－ln x，得y′＝2x－＝1，解得x＝1或x＝－(舍去)，故曲線y＝x2－ln x上和直線y＝x－2平行的切線經(jīng)過的切點坐標為(1，1)，點(1，1)到直線y＝x－2的距離等于，∴點P到直線y
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