高考文科數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)專(zhuān)題復(fù)習(xí)(編輯修改稿)
2025-05-14 13:17 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 :若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x＝a處的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)x＝a附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，f′(a)＝0，而且在點(diǎn)x＝a附近的左側(cè)f′(x)0，右側(cè)f′(x)0，則點(diǎn)a叫做函數(shù)的極小值點(diǎn)，f(a)叫做函數(shù)的極小值.(2)函數(shù)的極大值與極大值點(diǎn):若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x＝b處的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)x＝b附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，f′(b)＝0，而且在點(diǎn)x＝b附近的左側(cè)f′(x)0，右側(cè)f′(x)0，則點(diǎn)b叫做函數(shù)的極大值點(diǎn)，f(b)叫做函數(shù)的極大值.(1)函數(shù)f(x)在[a，b]上有最值的條件:如果在區(qū)間[a，b]上函數(shù)y＝f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線(xiàn)，那么它必有最大值和最小值.(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步驟考點(diǎn)一 用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值命題角度一 根據(jù)函數(shù)圖象判斷極值【例1】 設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且函數(shù)y＝(1－x)f′(x)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是( )(x)有極大值f(2)和極小值f(1)(x)有極大值f(－2)和極小值f(1)(x)有極大值f(2)和極小值f(－2)(x)有極大值f(－2)和極小值f(2)解析 由題圖可知，當(dāng)x－2時(shí)，1－x3，此時(shí)f′(x)0；當(dāng)－2x1時(shí)，01－x3，此時(shí)f′(x)0；當(dāng)1x2時(shí)，－11－x0，此時(shí)f′(x)0；當(dāng)x2時(shí)，1－x－1，此時(shí)f′(x)0，由此可以得到函數(shù)f(x)在x＝－2處取得極大值，在x＝ D命題角度二 求函數(shù)的極值【例2】 求函數(shù)f(x)＝x－aln x(a∈R)的極值.解 由f′(x)＝1－＝，x0知：(1)當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)0，函數(shù)f(x)為(0，＋∞)上的增函數(shù)，函數(shù)f(x)無(wú)極值；(2)當(dāng)a0時(shí)，令f′(x)＝0，解得x＝∈(0，a)時(shí)，f′(x)0；當(dāng)x∈(a，＋∞)，f′(x)0，從而函數(shù)f(x)在x＝a處取得極小值，且極小值為f(a)＝a－aln a，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f(x)無(wú)極值；當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)在x＝a處取得極小值a－aln a，無(wú)極大值.命題角度三 已知極值求參數(shù)【例3】 已知關(guān)于x的函數(shù)f(x)＝－x3＋bx2＋cx＋bc在x＝1處有極值－，試求b，c的值.解 ∵f′(x)＝－x2＋2bx＋c，由f(x)在x＝1處有極值－，可得解得或若b＝1，c＝－1，則f′(x)＝－x2＋2x－1＝－(x－1)2≤0，f(x)＝－1，c＝3，則f′(x)＝－x2－2x＋3＝－(x＋3)(x－1).當(dāng)x變化時(shí)，f(x)與f′(x)的變化情況如下表：x(－∞，－3)－3(－3，1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋01f(x)極小值－12極大值－∴當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)有極大值－，＝－1，c＝3為所求.【訓(xùn)練1】 設(shè)函數(shù)f(x)＝ax3－2x2＋x＋c(a0).(1)當(dāng)a＝1，且函數(shù)圖象過(guò)(0，1)時(shí)，求函數(shù)的極小值；(2)若f(x)在R上無(wú)極值點(diǎn)，求a的取值范圍.解 由題意得f′(x)＝3ax2－4x＋1.(1)函數(shù)圖象過(guò)(0，1)時(shí)，有f(0)＝c＝＝1時(shí)，f′(x)＝3x2－4x＋′(x)0，解得x或x1；令f′(x)0，解得x(1，＋∞)上單調(diào)遞增；(x)的極小值是f(1)＝13－212＋1＋1＝1.(2)若f(x)在R上無(wú)極值點(diǎn)，則f(x)在R上是單調(diào)函數(shù)，故f′(x)≥0或f′(x)≤＝0時(shí)，f′(x)＝－4x＋1，顯然不滿(mǎn)足條件；當(dāng)a≠0時(shí)，f′(x)≥0或f′(1)≤0恒成立的充要條件是Δ＝(－4)2－43a1≤0，即16－12a≤0，解得a≥.綜上，a的取值范圍是.考點(diǎn)二 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值【例4】 (2017鄭州模擬)已知函數(shù)f(x)＝(x－k)ex.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)求f(x)在區(qū)間[0，1]上的最小值.解 (1)由f(x)＝(x－k)ex，得f′(x)＝(x－k＋1)ex，令f′(x)＝0，得x＝k－1.當(dāng)x變化時(shí)，f(x)與f′(x)的變化情況如下表：x(－∞，k－1)k－1(k－1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)－ek－1所以，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，k－1)；單調(diào)遞增區(qū)間是(k－1，＋∞).(2)當(dāng)k－1≤0，即k≤1時(shí)，函數(shù)f(x)在[0，1]上單調(diào)遞增，所以f(x)在區(qū)間[0，1]上的最小值為f(0)＝－k，當(dāng)0k－11，即1k2時(shí)，由(1)知f(x)在[0，k－1)上單調(diào)遞減，在(k－1，1]上單調(diào)遞增，所以f(x)在區(qū)間[0，1]上的最小值為f(k－1)＝－ek－－1≥1，即k≥2時(shí)，函數(shù)f(x)在[0，1]上單調(diào)遞減，所以f(x)在區(qū)間[0，1]上的最小值為f(1)＝(1－k)e.綜上可知，當(dāng)k≤1時(shí)，f(x)min＝－k；當(dāng)1k2時(shí)，f(x)min＝－ek－1；當(dāng)k≥2時(shí)，f(x)min＝(1－k)e.【訓(xùn)練2】 設(shè)函數(shù)f(x)＝aln
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