高考數(shù)學(xué)真題導(dǎo)數(shù)專題及答案(編輯修改稿)
2025-07-23 04:56 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ，x2是y=f（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)，則x1+x2=，x1x2=，所以f（x1）+f（x2）=++a（+）+b（x1+x2）+2=（x1+x2）[（x1+x2）2﹣3x1x2]+a[（x1+x2）2﹣2x1x2]+b（x1+x2）+2=﹣+2，又因?yàn)閒（x），f′（x）這兩個(gè)函數(shù)的所有極值之和不小于﹣，所以b﹣+﹣+2=﹣≥﹣，因?yàn)閍＞3，所以2a3﹣63a﹣54≤0，所以2a（a2﹣36）+9（a﹣6）≤0，所以（a﹣6）（2a2+12a+9）≤0，由于a＞3時(shí)2a2+12a+9＞0，所以a﹣6≤0，解得a≤6，所以a的取值范圍是（3，6]． 5．（2017?新課標(biāo)Ⅱ）設(shè)函數(shù)f（x）=（1﹣x2）ex．（1）討論f（x）的單調(diào)性；（2）當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≤ax+1，求a的取值范圍．【解答】解：（1）因?yàn)閒（x）=（1﹣x2）ex，x∈R，所以f′（x）=（1﹣2x﹣x2）ex，令f′（x）=0可知x=﹣1177。，當(dāng)x＜﹣1﹣或x＞﹣1+時(shí)f′（x）＜0，當(dāng)﹣1﹣＜x＜﹣1+時(shí)f′（x）＞0，所以f（x）在（﹣∞，﹣1﹣），（﹣1+，+∞）上單調(diào)遞減，在（﹣1﹣，﹣1+）上單調(diào)遞增；（2）由題可知f（x）=（1﹣x）（1+x）ex．下面對(duì)a的范圍進(jìn)行討論：①當(dāng)a≥1時(shí)，設(shè)函數(shù)h（x）=（1﹣x）ex，則h′（x）=﹣xex＜0（x＞0），因此h（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減，又因?yàn)閔（0）=1，所以h（x）≤1，所以f（x）=（1﹣x）h（x）≤x+1≤ax+1；②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，設(shè)函數(shù)g（x）=ex﹣x﹣1，則g′（x）=ex﹣1＞0（x＞0），所以g（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，又g（0）=1﹣0﹣1=0，所以ex≥x+1．因?yàn)楫?dāng)0＜x＜1時(shí)f（x）＞（1﹣x）（1+x）2，所以（1﹣x）（1+x）2﹣ax﹣1=x（1﹣a﹣x﹣x2），取x0=∈（0，1），則（1﹣x0）（1+x0）2﹣ax0﹣1=0，所以f（x0）＞ax0+1，矛盾；③當(dāng)a≤0時(shí)，取x0=∈（0，1），則f（x0）＞（1﹣x0）（1+x0）2=1≥ax0+1，矛盾；綜上所述，a的取值范圍是[1，+∞）． 6．（2017?浙江）已知函數(shù)f（x）=（x﹣）e﹣x（x≥）．（1）求f（x）的導(dǎo)函數(shù)；（2）求f（x）在區(qū)間[，+∞）上的取值范圍．【解答】解：（1）函數(shù)f（x）=（x﹣）e﹣x（x≥），導(dǎo)數(shù)f′（x）=（1﹣??2）e﹣x﹣（x﹣）e﹣x=（1﹣x+）e﹣x=（1﹣x）（1﹣）e﹣x；（2）由f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）=（1﹣x）（1﹣）e﹣x，可得f′（x）=0時(shí)，x=1或，當(dāng)＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減；當(dāng)1＜x＜時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增；當(dāng)x＞時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減，且x≥?x2≥2x﹣1?（x﹣1）2≥0，則f（x）≥0．由f（）=e，f（1）=0，f（）=e，即有f（x）的最大值為e，最小值為f（1）=0．則f（x）在區(qū)間[，+∞）上的取值范圍是[0，e]． 7．（2017?山東）已知函數(shù)f（x）=x2+2cosx，g（x）=ex（cosx﹣sinx+2x﹣2），其中e≈…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．（Ⅰ）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（π，f（π））處的切線方程；（Ⅱ）令h（x）=g （x）﹣a f（x）（a∈R），討論h（x）的單調(diào)性并判斷有無(wú)極值，有極值時(shí)求出極值．【解答】解：（I）f（π）=π2﹣2．f′（x）=2x﹣2sinx，∴f′（π）=2π．∴曲線y=f（x）在點(diǎn)（π，f（π））處的切線方程為：y﹣（π2﹣2）=2π（x﹣π）．化為：2πx﹣y﹣π2﹣2=0．（II）h（x）=g （x）﹣a f（x）=ex（cosx﹣sinx+2x﹣2）﹣a（x2+2cosx）h′（x）=ex（cosx﹣sinx+2x﹣2）+ex（﹣sinx﹣cosx+2）﹣a（2x﹣2sinx）=2（x﹣sinx）（ex﹣a）=2（x﹣sinx）（ex﹣elna）．令u（x）=x﹣sinx，則u′（x）=1﹣cosx≥0，∴函數(shù)u（x）在R上單調(diào)遞增．∵u（0）=0，∴x＞0時(shí)，u（x）＞0；x＜0時(shí)，u（x）＜0．（1）a≤0時(shí)，ex﹣a＞0，∴x＞0時(shí)，h′（x）＞0，函數(shù)h（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增；x＜0時(shí)，h′（x）＜0，函數(shù)h（x）在（﹣∞，0）單調(diào)遞減．∴x=0時(shí)，函數(shù)h（x）取得極小值，h（0）=﹣1﹣2a．（2）a＞0時(shí)，令h′（x）=2（x﹣sinx）（ex﹣elna）=0．解得x1=lna，x2=0．①0＜a＜1時(shí)，x∈（﹣∞，lna）時(shí)，ex﹣elna＜0，h′（x）＞0，函數(shù)h（x）單調(diào)遞增；x∈（lna，0）時(shí)，ex﹣elna＞0，h′（x）＜0，函數(shù)h（x）單調(diào)遞減；x∈（0，+∞）時(shí)，ex﹣elna＞0，h′（x）＞0，函數(shù)h（x）單調(diào)遞增．∴當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)h（x）取得極小值，h（0）=﹣2a﹣1．當(dāng)x=lna時(shí)，函數(shù)h（x）取得極大值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．②當(dāng)a=1時(shí)，lna=0，x∈R時(shí)，h′（x）≥0，∴函數(shù)h（x）在R上單調(diào)遞增．③1＜a時(shí)，lna＞0，x∈（﹣∞，0）時(shí)，ex﹣elna＜0，h′（x）＞0，函數(shù)h（x）單調(diào)遞增；x∈（0，lna）時(shí)，ex﹣elna＜0，h′（x）＜0，函數(shù)h（x）單調(diào)遞減；x∈（l
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