高考數(shù)學(xué)真題導(dǎo)數(shù)專題及答案-文庫吧資料
2025-07-02 04:56本頁面
【正文】 求b的取值范圍．12．已知函數(shù) f（x）=ex（ex﹣a）﹣a2x．（1）討論 f（x）的單調(diào)性；（2）若f（x）≥0，求a的取值范圍． 2017年高考真題導(dǎo)數(shù)專題參考答案與試題解析 一．解答題（共12小題）1．（2017?新課標(biāo)Ⅰ）已知函數(shù)f（x）=ae2x+（a﹣2）ex﹣x．（1）討論f（x）的單調(diào)性；（2）若f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．【解答】解：（1）由f（x）=ae2x+（a﹣2）ex﹣x，求導(dǎo)f′（x）=2ae2x+（a﹣2）ex﹣1，當(dāng)a=0時(shí)，f′（x）=﹣2ex﹣1＜0，∴當(dāng)x∈R，f（x）單調(diào)遞減，當(dāng)a＞0時(shí)，f′（x）=（2ex+1）（aex﹣1）=2a（ex+）（ex﹣），令f′（x）=0，解得：x=ln，當(dāng)f′（x）＞0，解得：x＞ln，當(dāng)f′（x）＜0，解得：x＜ln，∴x∈（﹣∞，ln）時(shí)，f（x）單調(diào)遞減，x∈（ln，+∞）單調(diào)遞增；當(dāng)a＜0時(shí)，f′（x）=2a（ex+）（ex﹣）＜0，恒成立，∴當(dāng)x∈R，f（x）單調(diào)遞減，綜上可知：當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）在R單調(diào)減函數(shù)，當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在（﹣∞，ln）是減函數(shù)，在（ln，+∞）是增函數(shù)；（2）①若a≤0時(shí)，由（1）可知：f（x）最多有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）=ae2x+（a﹣2）ex﹣x，當(dāng)x→﹣∞時(shí)，e2x→0，ex→0，∴當(dāng)x→﹣∞時(shí)，f（x）→+∞，當(dāng)x→∞，e2x→+∞，且遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于ex和x，∴當(dāng)x→∞，f（x）→+∞，∴函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，f（x）的最小值小于0即可，由f（x）在（﹣∞，ln）是減函數(shù)，在（ln，+∞）是增函數(shù)，∴f（x）min=f（ln）=a（）+（a﹣2）﹣ln＜0，∴1﹣﹣ln＜0，即ln+﹣1＞0，設(shè)t=，則g（t）=lnt+t﹣1，（t＞0），求導(dǎo)g′（t）=+1，由g（1）=0，∴t=＞1，解得：0＜a＜1，∴a的取值范圍（0，1）．方法二：（1）由f（x）=ae2x+（a﹣2）ex﹣x，求導(dǎo)f′（x）=2ae2x+（a﹣2）ex﹣1，當(dāng)a=0時(shí)，f′（x）=2ex﹣1＜0，∴當(dāng)x∈R，f（x）單調(diào)遞減，當(dāng)a＞0時(shí)，f′（x）=（2ex+1）（aex﹣1）=2a（ex+）（ex﹣），令f′（x）=0，解得：x=﹣lna，當(dāng)f′（x）＞0，解得：x＞﹣lna，當(dāng)f′（x）＜0，解得：x＜﹣lna，∴x∈（﹣∞，﹣lna）時(shí)，f（x）單調(diào)遞減，x∈（﹣lna，+∞）單調(diào)遞增；當(dāng)a＜0時(shí)，f′（x）=2a（ex+）（ex﹣）＜0，恒成立，∴當(dāng)x∈R，f（x）單調(diào)遞減，綜上可知：當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）在R單調(diào)減函數(shù)，當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在（﹣∞，﹣lna）是減函數(shù)，在（﹣lna，+∞）是增函數(shù)；（2）①若a≤0時(shí)，由（1）可知：f（x）最多有一個(gè)零點(diǎn)，②當(dāng)a＞0時(shí)，由（1）可知：當(dāng)x=﹣lna時(shí)，f（x）取得最小值，f（x）min=f（﹣lna）=1﹣﹣ln，當(dāng)a=1，時(shí)，f（﹣lna）=0，故f（x）只有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)a∈（1，+∞）時(shí)，由1﹣﹣ln＞0，即f（﹣lna）＞0，故f（x）沒有零點(diǎn)，當(dāng)a∈（0，1）時(shí)，1﹣﹣ln＜0，f（﹣lna）＜0，由f（﹣2）=ae﹣4+（a﹣2）e﹣2+2＞﹣2e﹣2+2＞0，故f（x）在（﹣∞，﹣lna）有一個(gè)零點(diǎn)，假設(shè)存在正整數(shù)n0，滿足n0＞ln（﹣1），則f（n0）=（a+a﹣2）﹣n0＞﹣n0＞﹣n0＞0，由ln（﹣1）＞﹣lna，因此在（﹣lna，+∞）有一個(gè)零點(diǎn)．∴a的取值范圍（0，1）． 2．（2017?新課標(biāo)Ⅱ）已知函數(shù)f（x）=ax2﹣ax﹣xlnx，且f（x）≥0．（1）求a；（2）證明：f（x）存在唯一的極大值點(diǎn)x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2．【解答】（1）解：因?yàn)閒（x）=ax2﹣ax﹣xlnx=x（ax﹣a﹣lnx）（x＞0），則f（x）≥0等價(jià)于h（x）=ax﹣a﹣lnx≥0，求導(dǎo)可知h′（x）=a﹣．則當(dāng)a≤0時(shí)h′（x）＜0，即y=h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x0＞1時(shí)，h（x0）＜h（1）=0，矛盾，故a＞0．因?yàn)楫?dāng)0＜x＜時(shí)h′（x）＜0、當(dāng)x＞時(shí)h′（x）＞0，所以h（x）min=h（），又因?yàn)閔（1）=a﹣a﹣ln1=0，所以=1，解得a=1；（2）證明：由（1）可知f（x）=x2﹣x﹣xlnx，f′（x）=2x﹣2﹣lnx，令f′（x）=0，可得2x﹣2﹣lnx=0，記t（x）=2x﹣2﹣lnx，則t′（x）=2﹣，令t′（x）=0，解得：x=，所以t（x）在區(qū)間（0，）上單調(diào)遞減，在（，+∞）上單調(diào)遞增，所以t（x）min=t（）=ln2﹣1＜0，從而t（x）=0有解，即f′（x）=0存在兩根x0，x2，且不妨設(shè)f′（x）在（0，x0）上為正、在（x0，x2）上為負(fù)、在（x2，+∞）上為正，所以f（x）必存在唯一極大值點(diǎn)x0，且2x0﹣2﹣lnx0=0，所以f（x0）=﹣x0﹣x0lnx0=﹣x0+2x0﹣2=x0﹣，由x0＜可知f（x0）＜（x0﹣）max=﹣+=；由f′（）＜0可知x0＜＜，所以f（x）在（0，x0）上單調(diào)遞增，在（x0，）上單調(diào)遞減，所以f（x0）＞f（）=；綜上所述，f（x）存在唯一的極大值點(diǎn)x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2． 3．（2017?新課標(biāo)Ⅲ）已知函數(shù)f（x）=x﹣1﹣alnx．（1）若 f（x）≥0
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