高考文科數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)專題復(fù)習(xí)-文庫(kù)吧資料
2025-04-23 13:17本頁(yè)面
【正文】 ，＋∞)上存在單調(diào)減區(qū)間，則當(dāng)x0時(shí)，－ax－20有解，即a－(x)＝－，所以只要aG(x)min.(*)又G(x)＝－1，所以G(x)min＝－－(－1，＋∞).(2)由h(x)在[1，4]上單調(diào)遞減，∴當(dāng)x∈[1，4]時(shí)，h′(x)＝－ax－2≤0恒成立，(**)則a≥－恒成立，所以a≥G(x)(x)＝－1，x∈[1，4]因?yàn)閤∈[1，4]，所以∈，所以G(x)max＝－(此時(shí)x＝4)，所以a≥－.當(dāng)a＝－時(shí)，h′(x)＝＋x－2＝＝，∵x∈[1，4]，∴h′(x)＝≤0，當(dāng)且僅當(dāng)x＝4時(shí)等號(hào)成立.(***)∴h(x)在[1，4].【訓(xùn)練3】 已知函數(shù)f(x)＝x3－ax－1.(1)若f(x)在R上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(－1，1)，求a的值.解 (1)因?yàn)閒(x)在R上是增函數(shù)，所以f′(x)＝3x2－a≥0在R上恒成立，即a≤3x2對(duì)x∈≥0，所以只需a≤＝0時(shí)，f′(x)＝3x2≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)取等號(hào).∴f(x)＝x3－(－∞，0].(2)f′(x)＝3x2－≤0時(shí)，f′(x)≥0，f(x)在(－∞，＋∞)上為增函數(shù)，所以a≤0時(shí)，令3x2－a0，得－x，∴f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為，依題意，＝1，即a＝3.第3講 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值知 識(shí) 梳 理(1)函數(shù)的極小值與極小值點(diǎn):若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x＝a處的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)x＝a附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，f′(a)＝0，而且在點(diǎn)x＝a附近的左側(cè)f′(x)0，右側(cè)f′(x)0，則點(diǎn)a叫做函數(shù)的極小值點(diǎn)，f(a)叫做函數(shù)的極小值.(2)函數(shù)的極大值與極大值點(diǎn):若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x＝b處的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)x＝b附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，f′(b)＝0，而且在點(diǎn)x＝b附近的左側(cè)f′(x)0，右側(cè)f′(x)0，則點(diǎn)b叫做函數(shù)的極大值點(diǎn)，f(b)叫做函數(shù)的極大值.(1)函數(shù)f(x)在[a，b]上有最值的條件:如果在區(qū)間[a，b]上函數(shù)y＝f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值.(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步驟考點(diǎn)一 用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值命題角度一 根據(jù)函數(shù)圖象判斷極值【例1】 設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且函數(shù)y＝(1－x)f′(x)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是( )(x)有極大值f(2)和極小值f(1)(x)有極大值f(－2)和極小值f(1)(x)有極大值f(2)和極小值f(－2)(x)有極大值f(－2)和極小值f(2)解析 由題圖可知，當(dāng)x－2時(shí)，1－x3，此時(shí)f′(x)0；當(dāng)－2x1時(shí)，01－x3，此時(shí)f′(x)0；當(dāng)1x2時(shí)，－11－x0，此時(shí)f′(x)0；當(dāng)x2時(shí)，1－x－1，此時(shí)f′(x)0，由此可以得到函數(shù)f(x)在x＝－2處取得極大值，在x＝ D命題角度二 求函數(shù)的極值【例2】 求函數(shù)f(x)＝x－aln x(a∈R)的極值.解 由f′(x)＝1－＝，x0知：(1)當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)0，函數(shù)f(x)為(0，＋∞)上的增函數(shù)，函數(shù)f(x)無(wú)極值；(2)當(dāng)a0時(shí)，令f′(x)＝0，解得x＝∈(0，a)時(shí)，f′(x)0；當(dāng)x∈(a，＋∞)，f′(x)0，從而函數(shù)f(x)在x＝a處取得極小值，且極小值為f(a)＝a－aln a，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f(x)無(wú)極值；當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)在x＝a處取得極小值a－aln a，無(wú)極大值.命題角度三 已知極值求參數(shù)【例3】 已知關(guān)于x的函數(shù)f(x)＝－x3＋bx2＋cx＋bc在x＝1處有極值－，試求b，c的值.解 ∵f′(x)＝－x2＋2bx＋c，由f(x)在x＝1處有極值－，可得解得或若b＝1，c＝－1，則f′(x)＝－x2＋2x－1＝－(x－1)2≤0，f(x)＝－1，c＝3，則f′(x)＝－x2－2x＋3＝－(x＋3)(x－1).當(dāng)x變化時(shí)，f(x)與f′(x)的變化情況如下表：x(－∞，－3)－3(－3，1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋01f(x)極小值－12極大值－∴當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)有極大值－，＝－1，c＝3為所求.【訓(xùn)練1】 設(shè)函數(shù)f(x)＝ax3－2x2＋x＋c(a0).(1)當(dāng)a＝1，且函數(shù)圖象過(guò)(0，1)時(shí)，求函數(shù)的極小值；(2)若f(x)在R上無(wú)極值點(diǎn)，求a的取值范圍.解 由題意得f′(x)＝3ax2－4x＋1.(1)函數(shù)圖象過(guò)(0，1)時(shí)，有f(0)＝c＝＝1時(shí)，f′(x)＝3x2－4x＋′(x)0，解得x或x1；令f′(x)0，解得x(1，＋∞)上單調(diào)遞增；(x)的極小值是f(1)＝13－212＋1＋1＝1.(2)若f(x)在R上無(wú)極值點(diǎn)，則f(x)在R上是單調(diào)函數(shù)，故f′(x)≥0或f′(x)≤＝0時(shí)，f′(x)＝－4x＋1，顯然不滿足條件；當(dāng)a≠0時(shí)，f′(x)≥0或f′(1)≤0恒成立的充要條
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