【正文】 是(－∞，0).命題角度二　證明不等式【例4】 (2017四川卷節(jié)選)設(shè)函數(shù)f(x)＝ax2－a－lnx，g(x)＝－，其中a∈R，e＝…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)證明：當(dāng)x1時(shí)，g(x)0.(1)解　由題意得f′(x)＝2ax－＝(x0).當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)0，f(x)在(0，＋∞)0時(shí)，由f′(x)＝0有x＝，當(dāng)x∈時(shí)，f′(x)0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈時(shí)，f′(x)0，f(x)單調(diào)遞增.(2)證明　令s(x)＝ex－1－x，則s′(x)＝ex－1－1時(shí)，s′(x)0，所以ex－1x，從而g(x)＝－0. 考點(diǎn)二　求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【例2】 (2015全國(guó)Ⅱ卷)已知曲線y＝x＋ln x在點(diǎn)(1，1)處的切線與曲線y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，則a＝________.解析　由y＝x＋ln x，得y′＝1＋，得曲線在點(diǎn)(1，1)處的切線的斜率為k＝y(tǒng)′|x＝1＝2，所以切線方程為y－1＝2(x－1)，即y＝2x－＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，消去y，得ax2＋ax＋2＝0，∴a≠0且Δ＝a2－8a＝0，解得a＝　8【訓(xùn)練4】(x)＝ln x＋ax的圖象存在與直線2x－y＝0平行的切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.函數(shù)f(x)＝ln x＋ax的圖象存在與直線2x－y＝0平行的切線，即f′(x)＝2在(0，＋∞)上有解，而f′(x)＝＋a，即＋a在(0，＋∞)上有解，a＝2－，因?yàn)閍＞0，所以2－＜2，所以a的取值范圍是(－∞，2).答案　 (2)(－∞，2)－y－ln x＝0上的任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線y＝x－2的最小距離為(　　) B. C. D.解析　點(diǎn)P是曲線y＝x2－ln x上任意一點(diǎn)，當(dāng)過點(diǎn)P的切線和直線y＝x－2平行時(shí)，點(diǎn)P到直線y＝x－2的距離最小，直線y＝x－2的斜率為1，令y＝x2－ln x，得y′＝2x－＝1，解得x＝1或x＝－(舍去)，故曲線y＝x2－ln x上和直線y＝x－2平行的切線經(jīng)過的切點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1)，點(diǎn)(1，1)到直線y＝x－2的距離等于，∴點(diǎn)P到直線y＝x－　D第2講　導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用知 識(shí) 梳 理函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系函數(shù)y＝f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則：(1)若f′(x)0，則f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；(2)若f′(x)0，則f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；(3)若f′(x)＝0，則f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)是常數(shù)函數(shù).考點(diǎn)一　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性【例1】設(shè)f(x)＝ex(ax2＋x＋1)(a＞0)，試討論f(x)的單調(diào)性.解　f′(x)＝ex(ax2＋x＋1)＋ex(2ax＋1)＝ex[ax2＋(2a＋1)x＋2]＝ex(ax＋1)(x＋2)＝aex(x＋2)①當(dāng)a＝時(shí)，f′(x)＝ex(x＋2)2≥0恒成立，∴函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增；②當(dāng)0＜a＜時(shí)，有＞2，令f′(x)＝aex(x＋2)＞0，有x＞－2或x＜－，令f′(x)＝aex(x＋2)＜0，有－＜x＜－2，∴函數(shù)f(x)在和(－2，＋∞)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；③當(dāng)a＞時(shí)，有＜2，令f′(x)＝aex(x＋2)＞0時(shí)，有x＞－或x＜－2，令f′(x)＝aex(x＋2)＜0時(shí)，有－2＜x＜－，∴函數(shù)f(x)在(－∞，－2)和上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減.【訓(xùn)練1】(2016昆明一中月考)已知函數(shù)f(x)＝ln x－.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)證明：當(dāng)x1時(shí)，f(x)x－1.(1)解　f′(x)＝－x＋1＝，x∈(0，＋∞).由f′(x)0得解得0x.故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是.(2)證明　令F(x)＝f(x)－(x－1)，x∈(0，＋∞).則有F′(x)＝.當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，F(xiàn)′(x)0，所以F(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，故當(dāng)x1時(shí)，F(xiàn)(x)F(1)＝0，即當(dāng)x1時(shí)，f(x)x－1時(shí)，f(x)x－1.【訓(xùn)練4】 (2017全國(guó)Ⅲ卷)已知f(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)＝e－x－1－x，則曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，2)　(1)設(shè)x0，則－x0，f(－x)＝ex－1＋(x)為偶函數(shù)，f(x)＝f(－x)＝ex－1＋x，所以當(dāng)x0時(shí)，f(x)＝ex－1＋，當(dāng)x0時(shí)，f′(x)＝ex－1＋1，f′(1)＝e0＋1＝＝f(x)在點(diǎn)(1，2)處的切線的斜率為f′(1)＝2，所以切線方程為y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0. 答案　2x－y＝0【訓(xùn)練2】(2017西安模擬)已知函數(shù)f(x)＝ln x，g(x)＝ax2＋2x(a≠0).(1)若函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍；(2)若函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)在[1，4]上單調(diào)遞減，求a的取值范圍.解　(1)h(x)＝ln x－ax2－2x，x0.∴h′(x)＝－ax－(x)在(0，＋∞)上存在單調(diào)減區(qū)間，則當(dāng)x0時(shí)，－ax－20有解，即a－