高考數(shù)學(xué)真題導(dǎo)數(shù)專題及答案-資料下載頁
2025-06-26 04:56本頁面
【正文】 數(shù)f（x）=x3﹣ax2，a∈R，（1）當a=2時，求曲線y=f（x）在點（3，f（3））處的切線方程；（2）設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）+（x﹣a）cosx﹣sinx，討論g（x）的單調(diào)性并判斷有無極值，有極值時求出極值．【解答】解：（1）當a=2時，f（x）=x3﹣x2，∴f′（x）=x2﹣2x，∴k=f′（3）=9﹣6=3，f（3）=27﹣9=0，∴曲線y=f（x）在點（3，f（3））處的切線方程y=3（x﹣3），即3x﹣y﹣9=0（2）函數(shù)g（x）=f（x）+（x﹣a）cosx﹣sinx=x3﹣ax2+（x﹣a）cosx﹣sinx，∴g′（x）=（x﹣a）（x﹣sinx），令g′（x）=0，解得x=a，或x=0，①若a＞0時，當x＜0時，g′（x）＞0恒成立，故g（x）在（﹣∞，0）上單調(diào)遞增，當x＞a時，g′（x）＞0恒成立，故g（x）在（a，+∞）上單調(diào)遞增，當0＜x＜a時，g′（x）＜0恒成立，故g（x）在（0，a）上單調(diào)遞減，∴當x=a時，函數(shù)有極小值，極小值為g（a）=﹣a3﹣sina當x=0時，有極大值，極大值為g（0）=﹣a，②若a＜0時，當x＞0時，g′（x）＞0恒成立，故g（x）在（﹣∞，0）上單調(diào)遞增，當x＜a時，g′（x）＞0恒成立，故g（x）在（﹣∞，a）上單調(diào)遞增，當a＜x＜0時，g′（x）＜0恒成立，故g（x）在（a，0）上單調(diào)遞減，∴當x=a時，函數(shù)有極大值，極大值為g（a）=﹣a3﹣sina當x=0時，有極小值，極小值為g（0）=﹣a③當a=0時，g′（x）=x（x+sinx），當x＞0時，g′（x）＞0恒成立，故g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，當x＜0時，g′（x）＞0恒成立，故g（x）在（﹣∞，0）上單調(diào)遞增，∴g（x）在R上單調(diào)遞增，無極值． 11．（2017?天津）設(shè)a，b∈R，|a|≤1．已知函數(shù)f（x）=x3﹣6x2﹣3a（a﹣4）x+b，g（x）=exf（x）．（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）已知函數(shù)y=g（x）和y=ex的圖象在公共點（x0，y0）處有相同的切線，（i）求證：f（x）在x=x0處的導(dǎo)數(shù)等于0；（ii）若關(guān)于x的不等式g（x）≤ex在區(qū)間[x0﹣1，x0+1]上恒成立，求b的取值范圍．【解答】（Ⅰ）解：由f（x）=x3﹣6x2﹣3a（a﹣4）x+b，可得f39。（x）=3x2﹣12x﹣3a（a﹣4）=3（x﹣a）（x﹣（4﹣a）），令f39。（x）=0，解得x=a，或x=4﹣a．由|a|≤1，得a＜4﹣a．當x變化時，f39。（x），f（x）的變化情況如下表：x（﹣∞，a）（a，4﹣a）（4﹣a，+∞）f39。（x）+﹣+f（x）↗↘↗∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（﹣∞，a），（4﹣a，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（a，4﹣a）；（Ⅱ）（i）證明：∵g39。（x）=ex（f（x）+f39。（x）），由題意知，∴，解得．∴f（x）在x=x0處的導(dǎo)數(shù)等于0；（ii）解：∵g（x）≤ex，x∈[x0﹣1，x0+1]，由ex＞0，可得f（x）≤1．又∵f（x0）=1，f39。（x0）=0，故x0為f（x）的極大值點，由（I）知x0=a．另一方面，由于|a|≤1，故a+1＜4﹣a，由（Ⅰ）知f（x）在（a﹣1，a）內(nèi)單調(diào)遞增，在（a，a+1）內(nèi)單調(diào)遞減，故當x0=a時，f（x）≤f（a）=1在[a﹣1，a+1]上恒成立，從而g（x）≤ex在[x0﹣1，x0+1]上恒成立．由f（a）=a3﹣6a2﹣3a（a﹣4）a+b=1，得b=2a3﹣6a2+1，﹣1≤a≤1．令t（x）=2x3﹣6x2+1，x∈[﹣1，1]，∴t39。（x）=6x2﹣12x，令t39。（x）=0，解得x=2（舍去），或x=0．∵t（﹣1）=﹣7，t（1）=﹣3，t（0）=1，故t（x）的值域為[﹣7，1]．∴b的取值范圍是[﹣7，1]． 12．（2017?新課標Ⅰ）已知函數(shù) f（x）=ex（ex﹣a）﹣a2x．（1）討論 f（x）的單調(diào)性；（2）若f（x）≥0，求a的取值范圍．【解答】解：（1）f（x）=ex（ex﹣a）﹣a2x=e2x﹣exa﹣a2x，∴f′（x）=2e2x﹣aex﹣a2=（2ex+a）（ex﹣a），①當a=0時，f′（x）＞0恒成立，∴f（x）在R上單調(diào)遞增，②當a＞0時，2ex+a＞0，令f′（x）=0，解得x=lna，當x＜lna時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，當x＞lna時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，③當a＜0時，ex﹣a＞0，令f′（x）=0，解得x=ln（﹣），當x＜ln（﹣）時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，當x＞ln（﹣）時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，綜上所述，當a=0時，f（x）在R上單調(diào)遞增，當a＞0時，f（x）在（﹣∞，lna）上單調(diào)遞減，在（lna，+∞）上單調(diào)遞增，當a＜0時，f（x）在（﹣∞，ln（﹣））上單調(diào)遞減，在（ln（﹣），+∞）上單調(diào)遞增，（2）①當a=0時，f（x）=e2x＞0恒成立，②當a＞0時，由（1）可得f（x）min=f（lna）=﹣a2lna≥0，∴l(xiāng)na≤0，∴0＜a≤1，③當a＜0時，由（1）可得f（x）min=f（ln（﹣））=﹣a2ln（﹣）≥0，∴l(xiāng)n（﹣）≤，∴﹣2≤a＜0，綜上所述a的取值范圍為[﹣2，1] 第20頁（共20頁）
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