高考導數(shù)壓軸題題型-資料下載頁
2025-04-17 13:13本頁面
【正文】 切線方程為y=e（x﹣1）+2．（ 1）求a、b；（ 2）證明：f（x）＞1．【解析】（1）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞）， f′（x）=+，由題意可得f（1）=2，f′（1）=e， 故a=1，b=2；（2）由（1）知，f（x）=exlnx+，從而f（x）＞1等價于xlnx＞xe﹣x﹣，設(shè)函數(shù)g（x）=xlnx，則g′（x）=1+lnx，∴當x∈（0，）時，g′（x）＜0；當x∈（，+∞）時，g′（x）＞0．故g（x）在（0，）上單調(diào)遞減，在（，+∞）上單調(diào)遞增，從而g（x）在（0，+∞）上的最小值為g（）=﹣．設(shè)函數(shù)h（x）=，則h′（x）=e﹣x（1﹣x）．∴當x∈（0，1）時，h′（x）＞0；當x∈（1，+∞）時，h′（x）＜0，故h（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，從而h（x）在（0，+∞）上的最大值為h（1）=﹣．綜上，當x＞0時，g（x）＞h（x），即f（x）＞1．17.【2016新課標2】(1)討論函數(shù)的單調(diào)性，并證明當時， 【解析】⑴ ∵當時， ∴在上單調(diào)遞增∴時， ∴18.【2013新課標2】21．已知函數(shù)f(x)＝ex－ln(x＋m)．(1)設(shè)x＝0是f(x)的極值點，求m，并討論f(x)的單調(diào)性；(2)當m≤2時，證明f(x)＞0.【解析】(1)f′(x)＝. 由x＝0是f(x)的極值點得f′(0)＝0，所以m＝1.于是f(x)＝ex－ln(x＋1)，定義域為(－1，＋∞)，f′(x)＝.函數(shù)f′(x)＝在(－1，＋∞)單調(diào)遞增，且f′(0)＝0.因此當x∈(－1,0)時，f′(x)＜0； 當x∈(0，＋∞)時，f′(x)＞0.所以f(x)在(－1,0)單調(diào)遞減，在(0，＋∞)單調(diào)遞增．(2)當m≤2，x∈(－m，＋∞)時，ln(x＋m)≤ln(x＋2)，故只需證明當m＝2時，f(x)＞0.當m＝2時，函數(shù)f′(x)＝在(－2，＋∞)單調(diào)遞增．又f′(－1)＜0，f′(0)＞0，故f′(x)＝0在(－2，＋∞)有唯一實根x0，且x0∈(－1,0)．當x∈(－2，x0)時，f′(x)＜0；當x∈(x0，＋∞)時，f′(x)＞0，從而當x＝x0時，f(x)取得最小值．由f′(x0)＝0得＝，ln(x0＋2)＝－x0，故f(x)≥f(x0)＝＋x0＝＞0. 綜上，當m≤2時，f(x)＞0.15
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