【正文】 數 eefxf 1)()(m ax ??? （Ⅲ） ? 0?a ，由（ 2）知： 45 )(xF 在 ),0( e 上單調遞增，在 ),( ??e 上單調遞減． ? )(xF 在 ? ?aa2, 上的最小值 )}2(),(m in {)(m in aFaFxf ? 2ln21)2()( aaFaF ??? ?當 20 ??a 時， ,0)2()( ?? aFaF ?)(min xf aaF ln)( ? 當 a?2 時 0)2()( ?? aFaF ， ?)(min xf aaF 2ln21)2( ? 例 2 (1)依題有 321() 3f x x x??， 故 ? ? ? ?2 22f 39。 x x x x x? ? ? ?. 由 x ? ?,0?? 0 ? ?0, 2 2 ? ?2,?? ??f39。 x + 0 － 0 + ??fx ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗ 得 ??fx在 0x? 時取得極 大值 ? ?00f ? ， ??fx在 2x? 時取得極小值 ? ? 42 3f ?? . (2) 因為 ? ? ? ?? ?222 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )f 39。 x x ax a x a x a? ? ? ? ? ? ? ? ?， 所以方程 ? ? 0f39。 x ? 的兩根為 a－ 1和 a+1， 顯然，函數 ()fx在 x= a－ 1取得極大值，在 x=a+1是取得極小值 . 因為 方程 ()fx=0有三個不等實根， 所以 ( 1) 0,( 1) 0,fafa???? ??? 即 221 ( 2) ( 1) 0,31 ( 2) ( 1) 0,3aaaa? ? ? ???? ? ? ?? 解得 22a? ? ? 且 1a?? . 故 a的取值范圍 是 ( 2 , 1) ( 1, 1) (1, 2)? ? ? . 例 3（ 1）由題意 ，211() singx xx?? ? ? ??≥ 0在 ? ?1,?? 上恒成立 ， 即2sin 1 0sin xx????? ≥． ∵ θ ∈（ 0， π ），∴ sin 0?? ． 故 sin 1 0x???≥ 在 ? ?1,?? 上恒成立 ， 只須 sin 1 1 0???≥ ， 即 sin 1?≥ ， 只有 sin 1?? ． 結合 θ ∈（ 0， π ）， 得 π2??． （ 2）由（ 1） ，得 ( ) ( )f x g x?? 2lnmmx xx??． ? ? 222( ) ( ) m x x mf x g x x???? ? ?． ∵ ( ) ( )f x g x? 在其定義域內為單調函數 ， ∴ 2 20mx x m??≥ 或者 2 20mx x m??≤ 在 [1，＋∞） 恒成立 ． 2 20mx x m??≥ 等價于 45 2(1 ) 2m x x? ≥ ， 即 221 xm x?≥ ， 而 22211xxx x?? ?，（ 21x x?） max=1，∴ 1m≥ ． 2 20mx x m??≤ 等價于 2(1 ) 2m x x? ≤ ， 即221 xm x?≤在 [1，＋∞） 恒成立 ， 而221xx?∈（ 0， 1]， 0m≤ ． 綜上 ， m的取值范圍 是 ? ? ? ?,0 1,?? ?? ． （ 3）構造 ( ) ( ) ( ) ( )F x f x g x h x? ? ?， 2( ) 2 lnmeF x m x xxx? ? ? ?． 當 0m≤ 時， [1, ]xe? ， 0mmxx? ≤， 22ln 0exx??， 所以 在 [1， e]上 不 存在一 個 0x ，使得0 0 0( ) ( ) ( )f x g x h x??成立． 當 0m? 時， 22 2 22 2 2 2( ( ) ) 39。 m e m x x m eF x m x x x x? ? ?? ? ? ? ?． 因為 [1, ]xe? ，所以 2 2 0ex? ≥ ，2 0mx m??，所以 ( ( ))39。 0Fx? 在 [1, ]xe? 恒成立 ． 故 ()Fx在 [1,]e 上單調遞增，m a x( ) ( ) 4mF x F e m e e? ? ? ?， 只要 40mmee? ?， 解得24 1em e? ?． 故 m 的取值范圍是24( , )1ee ???． 【課堂互動】 1. )35,3( ?? ， 2. [ 2, )? ?? ， 3. 635 16a? ? ?? ， 4. 0， 5. ． 223, 333??????? 6. 1）由 )0()1()21( fgg ??? ，得 3)()42( ?????? cbcb ∴ b、 c所滿足的關系式為 01???cb ． （ 2）由 0?b ， 01???cb ，可得 1??c ． 方程 )()( xgxf ? ，即 23 ???? xax ，可化為 313 ?? ?? xxa ， 令 tx ??1 ，則由題意可得， 33 tta ?? 在 ),0( ?? 上有唯一解，令 33)( ttth ?? )0(?t ，由 033)( 2 ???? tth ，可得 1?t ， 45 當 10 ??t 時，由 0)( ??th ，可知 )(th 是增函數； 當 1?t 時，由 0)( ??th ，可知 )(th 是減函數．故當 1?t 時， )(th 取極大值 2 ．由函數 )(th 的圖象可知，當2?a 或 0?a 時，方程 )()( xgxf ? 有且僅有一個正實數解． 故所求 a 的取值范圍是 2|{ ?aa 或 }0?a ． （ 3 ）由 1?b ， 01???cb ，可得 0?c ．由 )()(|{ xgxfxA ?? 且 }0)( ?xgxaxx 13|{ ???且}0?x 013|{ 2 ???? xaxx 且 }0?x ．當 0?a 時， )0,2 493( a aA ??? ；當 0?a 時， )0,31(??A ； 當49??a時（ 049 ???? a ）， )0,( ???A ；當49??a時， |{xA? 0?x 且 }32??x ； 當 049 ??? a時， )2 493,( a aA ????? ∪ )0,2 493( a a?? ． 注：可直接通過研究函數 3??axy 與xy 1?的圖象來解決問題． 【好題精練】 1. 1,e????????， 2. ( ,0)?? ， 3. 1b?? ， 4. (0, )?? ， 5. 2 ， 6. 32, 7. a=4,b=11, 8. 11 或 18, 9. ［ 1， 2］ , 10. (－ ∞，－ 3)∪ (0， 3), 11. （ 1） )2)(2(4)1(2)( 2 axxaxaxxf ???????? .u. . m 由 1?a 知，當 2?x 時， 0)( ?? xf ，故 )(xf 在區(qū)間 )2,(?? 是增函數； 當 ax 22 ?? 時， 0)( ?? xf ，故 )(xf 在區(qū)間 )2,2( a 是減函數； 當 ax 2? 時， 0)( ?? xf ，故 )(xf 在區(qū)間 ),2( ??a 是增函數。 綜上，當 1?a 時， )(xf 在區(qū)間 )2,(?? 和 ),2( ??a 是增函數，在區(qū)間 )2,2( a 是減函數。 （ 2）由（ I）知，當 0?x 時， )(xf 在 ax 2? 或 0?x 處取得最小值。 aaaaaaaf 2424)2)(1()2(31)2( 23 ?????? aaa 24434 23 ???? af 24)0( ? 45 由假設知 . . m ????????,0)0(,0)2(1fafa 即?????????????.024,0)6)(3(34,1aaaaa 解得 1a6 故 a 的取值范圍是（ 1， 6） 12. （Ⅰ） 239。( ) ( 1 2 1 )xf x e a x x a x? ? ? ? ?.有條件知， 39。(1) 0f ? ，故 3 2 0 1a a a? ? ? ? ? ?. 于是 239。( ) ( 2) ( 2) ( 1 )xxf x e x x e x x? ? ? ? ? ? ? ?. 故當 ( , 2) (1, )x ? ?? ? ? ??時， 39。()fx＜ 0； 當 ( 2,1)x?? 時， 39。()fx＞ 0. 從而 ()fx在 ( , 2)??? ， (1, )?? 單調減少，在 ( 2,1)? 單調增加 . （Ⅱ）由（Ⅰ）知 ()fx在 [0,1] 單調增加，故 ()fx在 [0,1] 的最大值為 (1)fe? ， 最小值為 (0) 1f ? . 從而對任意 1x ， 2x [0,1]? ，有 12( ) ( ) 1 2f x f x e? ? ? ?. 而當 [0, ]2??? 時， cos ,sin??? [0,1] . 從而 (c o s ) (sin ) 2ff???? 13. ⑴ 由 ? ? lnf x x x?? ? 得 ? ? 11fx x? ?? ? ，令 ? ? 1fx? ? 得 12x? ∴ 所求距離的最小值即為 11,22Pf????????????到直線 30xy? ? ? 的距離 ? ?11 l n 2 322 1 4 l n 2 222d??? ? ? ?????? ? ? ⑵ 假設存在正數 a ，令 ? ? ? ? ? ?F x f x g x?? ? ?0x? 則 ? ?max 0Fx ? 由 ? ? 21 20F x a a xx? ? ? ? ?得： 1x a? ∵ 當 1x a? 時， ? ? 0Fx? ? ， ∴ ??Fx為減函數； 45 當 10 x a?? 時， ? ? 0Fx? ? ， ∴ ??Fx為增函數 . ∴ ? ?m a x 11lnF x F aa???????? ∴ 1ln 0a? ∴ ae? ∴ a 的取值范圍為 ? ?,e?? 14. （ 1）因為： xaxxf ??? )( )0( ?x ，又 )(xf 在 2?x 處的切線方程為 bxy ?? 所以 ????? ?? ??? 12222ln2 a ba 解得： ,2?a 2ln2??b （ 2）若函數 )(xf 在 ),1( ?? 上恒成立。則 0)( ???? xaxxf 在 ),1( ?? 上恒成立， 即： 2xa? 在 ),1( ?? 上恒成立。所以有 1?a （ 3）當 0?a 時， )(xf 在定義域 ),0( ?? 上恒大于 0 ，此時方程無解； 當 0?a 時， 0)( ???? xaxxf 在 ),0( ?? 上恒成立，所以 )(xf 在定義域 ),0( ?? 上為增函數。 021)1( ??f? ， 0121)( 221 ??? aeef ，所以方程有惟一解。 當 0?a 時， x axaxx axxaxxf ))(()( 2 ???????? 因為當 ),0( ax? 時， 0)( ?? xf ， )(xf 在 ),0( a 內為減函數； 當 ),( ??? ax 時， )(xf 在 ),( ??a 內為增函數。 所以當事人 ax? 時，有極小值即為最小值 )ln1(21ln21)( aaaaaaf ???? 。 當 ),0( ea? 時， 0)ln1(21)( ??? aaaf ，此方程無解； 當 ea? 時， .0)ln1(21)( ??? aaaf 此方程有惟一解 ax? 。 當 ),( ??? ea 時， 0)ln1(21)( ??? aaaf 因為 021)21( ??f 且 a?1 ，所以方程 0)( ?xf 在區(qū)間 ),0( a 上有惟一解， 因為當 1?x 時， 0)ln( ??? xx ，所以 1ln ?? xx 45 所以 axxxaxxfxx ????? 2