高中數學高考復習導數及其應用-資料下載頁
2025-08-05 18:24本頁面
【正文】 知函數為超越函數，若求其最小值，則采用導數法，求出 ，解 得 ，再判斷 與 時 的符號，確定 為極小值點，也是函數的最小值，對（Ⅱ）直接利用數學歸納法證明，但由 到 過渡是難點?！ 〗獯穑骸 。á瘢┖瘮礷（x）的定義域為（0，1） 令 當 時，f′(x)0, ∴f(x)在區(qū)間 是減函數； 當 時，f′(x)0, ∴f(x)在區(qū)間 是增函數?！ 鄁（x）在 時取得最小值且最小值為 (Ⅱ)用數學歸納法證明 ?。╥）當n=1時，由（Ⅰ）知命題成立； (ii)假定當n=k時命題成立，即若正數 滿足 ,則 當n=k+1時，若正數 滿足 令 , 則 為正數，且 由歸納假定知 ① 同理，由 ,可得 ≥(1－x)(－k)+(1－x)log2(1－x). ② 綜合①、②兩式 ≥[x+(1－x)](－k)+xlog2x+(1－x)log2(1－x) ≥－(k+1). 即當n=k+1時命題也成立?！ 「鶕╥）、(ii)可知對一切正整數n命題成立。 8 函數 在區(qū)間 內可導，導函數 是減函數，且 ，設 ， 是曲線 在點 處的切線方程，并設函數 ?。á瘢┯?、 、 表示m； ?。á颍┳C明：當 時, ?。á螅┤絷P于x的不等式 在 上恒成立，其中a、b為實數，求b的取值范圍及a與b所滿足的關系?！ 〗獯穑骸 。?I ） 在點 處的切線方程為 即 因而 ； (Ⅱ)證明：令 ，則 因為 遞減，所以 遞增,因此，當 時， ；當 時， ， 所以 是 唯一的極值點，且是極小值點，可知 的最小值為0 因此 0即 ； ?。á螅 〗夥ㄒ唬?是不等式成立的必要條件，以下設此條件成立?！ ?，即 對任意 成立的充要條件是 ， 另一方面，由于 滿足前述題設中關于 的條件， 利用(Ⅱ)的結果可知， 的充要條件是：過點 與曲線 相切的直線的斜率不大于 ， 該切線的方程為： ， 于是 的充要條件是 綜上，不等式 對任意 成立的充要條件是 ① 顯然，存在 使①式成立的充要條件是：不等式 ② 有解，解不等式②得 ③ 因此，③式即為 的取值范圍，①式即為實數 與 所滿足的關系?！ 。á螅 〗夥ǘ?是不等式成立的必要條件，以下討論設此條件成立?！ ?，即 對任意 成立的充要條件是 令 ，于是 對任意 成立的充要條件是 ?！ ∮?得 當 時， ；當 時， ，所以，當 時， 取最小值。因此 成立的充要條件是 ，即 綜上，不等式 對任意 成立的充要條件是 ① 顯然，存在a、b使①式成立的充要條件是：不等式 ② 有解，解不等式②得 ?、邸 ∫虼?，③式即為b的取值范圍，①式即為實數a與b所滿足的關系?！ ↑c評：本題考查導數概念的幾何意義，函數極值、最值的判定以及靈活運用數形結合的思想判斷函數之間的關系，考查考生的學習能力，抽象思維能力，以及綜合運用數學基本關系解決問題的能力。對（Ⅰ），曲線 在點 處切線斜率為 ，切線方程為 ， 即 ，因而 ；對（Ⅱ）即證明 在 時恒成立，構造函數 則 ∵ ∴ ∴ ，則 由 遞減 ∴ 遞增，則當 時 ，當 時， ， 則 是 的極值點，且為極小值點， 所以 極小值為 ，即 恒成立， 因而 ；對（Ⅲ）有兩種思考方法，是該題難點，其求解過程比較詳細?！ ?．設點 和拋物線 其中 由以下方法得到： ，點 在拋物線 上，點 到 的距離是 到 上點的最短距離，…，點 在拋物線 上，點 到 的距離是 到 上點的最短距離?！ 。á瘢┣?及 的方程； ?。á颍┳C明 是等差數列?！ 〗獯穑骸 。á瘢┯深}意得 設點 是 上任一點 則 令 則 由題意得： 即 又 在 上，∴ 解得 故 方程為： （Ⅱ）設點 是 上任意一點?！ t 令 由題意得 即 又∵點 在 上 ∴ ∴ 即 下面用數學歸納法證明： ①當n=1時， ，等式成立?！ 、诩僭On=k時，等號成立，即 則當n=k+1時，由（*）知： 又 ∴ 即當n=k+1時，等式成立 由①②知，等式 成立 ∴ 是等差數列 點評： （Ⅰ）設 為 上任一點 ∵ ，換句話說：在點 處 取得最小值?！ ? 令 ∴ 此為關鍵 （Ⅱ）方法同（Ⅰ）推導出： 然后用數學歸納法證明。 10. 已知函數 ?。á瘢┣蠛瘮?的反函數 及 的導數 ； （Ⅱ）假設對任意 ， 不等式 成立，求實數m的取值范圍。 解答： ?。á瘢┙猓河?，得 ， 所以 ?。á颍 〗夥? 由 ，得 即對于 恒有 ?、佟 ≡O ，于是不等式①化為 ② 當 ， 、 時， ， ， 所以 都是增函數?！ ∫虼水?時， 的最大值為 的最小值為 而不等式②成立當且僅當 ，即 ， 于是得 解法2：由 ，得 ， 設 ， 于是原不等式對于 恒成立等價于 ③ 由 ， ， 注意到 ，故有 ， ， 從而可知 與 均在 上單調遞增， 因此不等式③成立當且僅當 ，即43
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