高中數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用-資料下載頁(yè)
2025-08-05 18:24本頁(yè)面
【正文】 知函數(shù)為超越函數(shù)，若求其最小值，則采用導(dǎo)數(shù)法，求出 ，解 得 ，再判斷 與 時(shí) 的符號(hào)，確定 為極小值點(diǎn)，也是函數(shù)的最小值，對(duì)（Ⅱ）直接利用數(shù)學(xué)歸納法證明，但由 到 過(guò)渡是難點(diǎn)。 解答： ?。á瘢┖瘮?shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，1） 令 當(dāng) 時(shí)，f′(x)0, ∴f(x)在區(qū)間 是減函數(shù)； 當(dāng) 時(shí)，f′(x)0, ∴f(x)在區(qū)間 是增函數(shù)?！ 鄁（x）在 時(shí)取得最小值且最小值為 (Ⅱ)用數(shù)學(xué)歸納法證明 ?。╥）當(dāng)n=1時(shí)，由（Ⅰ）知命題成立； (ii)假定當(dāng)n=k時(shí)命題成立，即若正數(shù) 滿(mǎn)足 ,則 當(dāng)n=k+1時(shí)，若正數(shù) 滿(mǎn)足 令 , 則 為正數(shù)，且 由歸納假定知 ① 同理，由 ,可得 ≥(1－x)(－k)+(1－x)log2(1－x). ② 綜合①、②兩式 ≥[x+(1－x)](－k)+xlog2x+(1－x)log2(1－x) ≥－(k+1). 即當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立。 根據(jù)（i）、(ii)可知對(duì)一切正整數(shù)n命題成立。 8 函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo)，導(dǎo)函數(shù) 是減函數(shù)，且 ，設(shè) ， 是曲線(xiàn) 在點(diǎn) 處的切線(xiàn)方程，并設(shè)函數(shù) （Ⅰ）用 、 、 表示m； ?。á颍┳C明：當(dāng) 時(shí), （Ⅲ）若關(guān)于x的不等式 在 上恒成立，其中a、b為實(shí)數(shù)，求b的取值范圍及a與b所滿(mǎn)足的關(guān)系。 解答： ?。?I ） 在點(diǎn) 處的切線(xiàn)方程為 即 因而 ； (Ⅱ)證明：令 ，則 因?yàn)?遞減，所以 遞增,因此，當(dāng) 時(shí)， ；當(dāng) 時(shí)， ， 所以 是 唯一的極值點(diǎn)，且是極小值點(diǎn)，可知 的最小值為0 因此 0即 ； ?。á螅 〗夥ㄒ唬?是不等式成立的必要條件，以下設(shè)此條件成立?！ ?，即 對(duì)任意 成立的充要條件是 ， 另一方面，由于 滿(mǎn)足前述題設(shè)中關(guān)于 的條件， 利用(Ⅱ)的結(jié)果可知， 的充要條件是：過(guò)點(diǎn) 與曲線(xiàn) 相切的直線(xiàn)的斜率不大于 ， 該切線(xiàn)的方程為： ， 于是 的充要條件是 綜上，不等式 對(duì)任意 成立的充要條件是 ① 顯然，存在 使①式成立的充要條件是：不等式 ② 有解，解不等式②得 ③ 因此，③式即為 的取值范圍，①式即為實(shí)數(shù) 與 所滿(mǎn)足的關(guān)系?！ 。á螅 〗夥ǘ?是不等式成立的必要條件，以下討論設(shè)此條件成立?！ ?，即 對(duì)任意 成立的充要條件是 令 ，于是 對(duì)任意 成立的充要條件是 ?！ ∮?得 當(dāng) 時(shí)， ；當(dāng) 時(shí)， ，所以，當(dāng) 時(shí)， 取最小值。因此 成立的充要條件是 ，即 綜上，不等式 對(duì)任意 成立的充要條件是 ① 顯然，存在a、b使①式成立的充要條件是：不等式 ② 有解，解不等式②得 ?、邸 ∫虼耍凼郊礊閎的取值范圍，①式即為實(shí)數(shù)a與b所滿(mǎn)足的關(guān)系?！ ↑c(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)概念的幾何意義，函數(shù)極值、最值的判定以及靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想判斷函數(shù)之間的關(guān)系，考查考生的學(xué)習(xí)能力，抽象思維能力，以及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)基本關(guān)系解決問(wèn)題的能力。對(duì)（Ⅰ），曲線(xiàn) 在點(diǎn) 處切線(xiàn)斜率為 ，切線(xiàn)方程為 ， 即 ，因而 ；對(duì)（Ⅱ）即證明 在 時(shí)恒成立，構(gòu)造函數(shù) 則 ∵ ∴ ∴ ，則 由 遞減 ∴ 遞增，則當(dāng) 時(shí) ，當(dāng) 時(shí)， ， 則 是 的極值點(diǎn)，且為極小值點(diǎn)， 所以 極小值為 ，即 恒成立， 因而 ；對(duì)（Ⅲ）有兩種思考方法，是該題難點(diǎn)，其求解過(guò)程比較詳細(xì)?！ ?．設(shè)點(diǎn) 和拋物線(xiàn) 其中 由以下方法得到： ，點(diǎn) 在拋物線(xiàn) 上，點(diǎn) 到 的距離是 到 上點(diǎn)的最短距離，…，點(diǎn) 在拋物線(xiàn) 上，點(diǎn) 到 的距離是 到 上點(diǎn)的最短距離?！ 。á瘢┣?及 的方程； ?。á颍┳C明 是等差數(shù)列。 解答： ?。á瘢┯深}意得 設(shè)點(diǎn) 是 上任一點(diǎn) 則 令 則 由題意得： 即 又 在 上，∴ 解得 故 方程為： ?。á颍┰O(shè)點(diǎn) 是 上任意一點(diǎn)?！ t 令 由題意得 即 又∵點(diǎn) 在 上 ∴ ∴ 即 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： ①當(dāng)n=1時(shí)， ，等式成立?！ 、诩僭O(shè)n=k時(shí)，等號(hào)成立，即 則當(dāng)n=k+1時(shí)，由（*）知： 又 ∴ 即當(dāng)n=k+1時(shí)，等式成立 由①②知，等式 成立 ∴ 是等差數(shù)列 點(diǎn)評(píng)： ?。á瘢┰O(shè) 為 上任一點(diǎn) ∵ ，換句話(huà)說(shuō)：在點(diǎn) 處 取得最小值?！ ? 令 ∴ 此為關(guān)鍵 ?。á颍┓椒ㄍá瘢┩茖?dǎo)出： 然后用數(shù)學(xué)歸納法證明?！ ?0. 已知函數(shù) （Ⅰ）求函數(shù) 的反函數(shù) 及 的導(dǎo)數(shù) ； ?。á颍┘僭O(shè)對(duì)任意 ， 不等式 成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍?！ 〗獯穑骸 。á瘢┙猓河?，得 ， 所以 ?。á颍 〗夥? 由 ，得 即對(duì)于 恒有 ① 設(shè) ，于是不等式①化為 ② 當(dāng) ， 、 時(shí)， ， ， 所以 都是增函數(shù)?！ ∫虼水?dāng) 時(shí)， 的最大值為 的最小值為 而不等式②成立當(dāng)且僅當(dāng) ，即 ， 于是得 解法2：由 ，得 ， 設(shè) ， 于是原不等式對(duì)于 恒成立等價(jià)于 ③ 由 ， ， 注意到 ，故有 ， ， 從而可知 與 均在 上單調(diào)遞增， 因此不等式③成立當(dāng)且僅當(dāng) ，即43
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