【正文】 全國(guó)I文21，恒成立，一次，提出一部分再處理的技巧）設(shè)函數(shù).⑴若a =，求的單調(diào)區(qū)間；⑵若當(dāng)≥0時(shí)≥0，求a的取值范圍.解：⑴時(shí)，.當(dāng)時(shí)。當(dāng)時(shí)。當(dāng)時(shí)，.故在，單調(diào)增加，在(－1，0)單調(diào)減少.⑵.令，則.①若，則當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，而，從而當(dāng)x≥0時(shí)≥0，即≥0，符合題意.②若，則當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，而，從而當(dāng)時(shí)＜0，即＜0,不合題意. 綜合得的取值范圍為81. （2011全國(guó)新理21，恒成立，反比例，提出公因式再處理的技巧，本題的創(chuàng)新之處是將一般的過定點(diǎn)（0,0）變?yōu)檫^定點(diǎn)（1,0），如果第2問范圍變?yōu)閯t更間單）已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為.⑴求、的值；⑵如果當(dāng)，且時(shí)，求的取值范圍。解：⑴，依意意且，即，解得，.⑵由⑴知，所以.設(shè)，則.（注意h(x)恒過點(diǎn)(1,0)，由上面求導(dǎo)的表達(dá)式發(fā)現(xiàn)討論點(diǎn)0和1）① 當(dāng)，由，（變形難想，法二）當(dāng)時(shí)，.而，故當(dāng)時(shí)，可得；當(dāng)x(1,+)時(shí)，0，可得0,從而當(dāng)x0,且x1時(shí)，－(+)0，即+.法二：的分子≤＜0，∴. ②當(dāng)0 k 1，由于當(dāng)x(1,)時(shí)，(k－1)(x2 +1)+2x0,故0,而=0，故當(dāng)x(1,)時(shí)，0，可得0,不合題意.③當(dāng)k≥1，此時(shí)0，則x(1，+)時(shí)，遞增，∴0,不合題意. 綜上，k的取值范圍為(－,0]82. (恒成立，討論,較容易，但說明原理)已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）若對(duì)上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）.當(dāng)時(shí)，在上增,無(wú)極值；當(dāng)時(shí)，在上減，在上增,∴有極小值，無(wú)極大值.（2）當(dāng)時(shí)，在上恒成立，則是單調(diào)遞增的，則只需恒成立，所以.當(dāng)時(shí)，在上減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，這與恒成立矛盾，故不成立.綜上：.83. （2010新課程理21，恒成立，討論，二次，用到結(jié)論）設(shè)函數(shù).⑴若，求的單調(diào)區(qū)間；⑵若當(dāng)時(shí)，求的取值范圍. 解：命題意圖：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)、不等式恒成立問題以及參數(shù)取值范圍問題，考查分類討論、轉(zhuǎn)化與劃歸解題思想及其相應(yīng)的運(yùn)算能力.⑴時(shí)，.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.故在單調(diào)減少，在單調(diào)增加.⑵①當(dāng)≤時(shí)，由⑴結(jié)論知≥，則，故，從而當(dāng)，即時(shí)，而，于是當(dāng)時(shí)，符合題意.②時(shí)，由可得.（太難想，法二），故當(dāng)時(shí),，而，于是當(dāng)時(shí),.綜合得的取值范圍為.法二：設(shè),則,令，得.當(dāng)，在此區(qū)間上是增函數(shù)，∴≤，∴在此區(qū)間上遞增，∴≤，不合題意.84. （恒成立，2010全國(guó)卷2理數(shù)，利用⑴結(jié)論，較難的變形討論）設(shè)函數(shù)．⑴證明：當(dāng)時(shí)，；⑵設(shè)當(dāng)時(shí)，求a的取值范圍．解：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用和利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，考查考生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力及分類討論的思想，考查考生的計(jì)算能力及分析問題、解決問題的能力.【點(diǎn)評(píng)】導(dǎo)數(shù)常作為高考的壓軸題，對(duì)考生的能力要求非常高，它不僅要求考生牢固掌握基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能。作為壓軸題，主要是涉及利用導(dǎo)數(shù)求最值解決恒成立問題，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式等，常伴隨對(duì)參數(shù)的討論，這也是難點(diǎn)之所在.85. 已知函數(shù)，且函數(shù)是上的增函數(shù)。 （1）求的取值范圍； （2）若對(duì)任意的，都有（e是自然對(duì)數(shù)的底），求滿足條件的最大整數(shù)的值。解析：（1）設(shè)，所以，得到．所以的取值范圍為………2分（2）令，因?yàn)槭巧系脑龊瘮?shù)，且，所以是上的增函數(shù)?！?分由條件得到（兩邊取自然對(duì)數(shù)），猜測(cè)最大整數(shù)，現(xiàn)在證明對(duì)任意恒成立。…………6分等價(jià)于，………………8分設(shè)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以對(duì)任意的都有，即對(duì)任意恒成立，所以整數(shù)的最大值為2．……………………………………………………14分86. （2008山東卷21）已知函數(shù)其中n∈N*,a為常數(shù).⑴當(dāng)n=2時(shí)，求函數(shù)f(x)的極值；⑵當(dāng)a=1時(shí)，證明：對(duì)任意的正整數(shù)n,當(dāng)x≥2時(shí)，有f(x)≤x－1.解：⑴由已知得函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x|x＞1}，當(dāng)n=2時(shí)， 所以①當(dāng)a＞0時(shí)，由f(x)=0得＞1，＜1，此時(shí)=.當(dāng)x∈（1，x1）時(shí)，＜0,f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（x1+∞）時(shí)，＞0, f(x)單調(diào)遞增.②當(dāng)a≤0時(shí)，＜0恒成立，所以f(x)無(wú)極值.綜上所述，n=2時(shí)，當(dāng)a＞0時(shí)，f(x)在處取得極小值，極小值為當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)無(wú)極值.⑵證法一：因?yàn)閍=1,所以 ①當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，令則）=1+＞0（x≥2）.所以當(dāng)x∈[2,+∞]時(shí)，g(x)單調(diào)遞增，又g(2)=0，因此≥g(2)=0恒成立， 所以f(x)≤x－1成立.②當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，要證≤x－1,由于＜0，所以只需證ln(x－1) ≤x－1, 令h(x)=x－1－ln(x－1),則=1－≥0(x≥2), 所以,當(dāng)x∈[2，+∞]時(shí)，單調(diào)遞增，又h(2)=1＞0， 所以當(dāng)x≥2時(shí)，恒有h(x)＞0,即ln(x－1)＜x－1命題成立.綜上所述，結(jié)論成立.證法二：當(dāng)a=1時(shí)， 當(dāng)x≤2，時(shí)，對(duì)任意的正整數(shù)n，恒有≤1， 故只需證明1+ln(x－1) ≤x－1. 令 則 當(dāng)x≥2時(shí)，≥0，故h(x)在上單調(diào)遞增， 因此，當(dāng)x≥2時(shí)，h(x)≥h(2)=0，即1+ln(x－1) ≤x－1成立. 故當(dāng)x≥2時(shí)，有≤x－1. 即f（x）≤x－1.五、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用87. （綜合運(yùn)用）已知函數(shù)⑴求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；⑵已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，證明當(dāng)時(shí)，⑶如果，且，證明解：本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力及用函數(shù)思想分析解決問題的能力.⑴，令=0,得.當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表()1()+0極大值∴在()內(nèi)是增函數(shù)，在()內(nèi)是減函數(shù)；極大值.⑵證明：由題意可知g(x)=f(2－x)，∴g(x)=(2－x).令F(x)=f(x)－g(x)＝，則當(dāng)時(shí)，2x－20,從而,從而在[1,+∞)是增函數(shù)。又F(1)=F(x)F(1)=0,即f(x)g(x).⑶證明：①若 ②若∴根據(jù)①②得由⑵可知，,則=，所以,從而.因?yàn)椋?，又由⑴可知函?shù)在區(qū)間（－∞，1）內(nèi)是增函數(shù)，所以,即2.88. （2010天津理數(shù)21，綜合運(yùn)用）已知函數(shù)⑴求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；⑵已知函數(shù)對(duì)任意滿足，證明：當(dāng)時(shí)，⑶如果，且，證明：解：⑴∵=，∴=.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(2分)令=0，解得.2＋0－↗極大值↘∴在內(nèi)是增函數(shù)，在內(nèi)是減函數(shù). 　　　　　　　　　　(3分)∴當(dāng)時(shí)，取得極大值=.　 (4分)⑵證明：,則=.　　　　　　　　　　　　 　(6分)當(dāng)時(shí)，＜0，＞3，從而＜0，∴＞0，在是增函數(shù).　　　　　　　　　　　　　　　　(7分) 　　　 　 　(8分)⑶證明：∵在內(nèi)是增函數(shù)，在內(nèi)是減函數(shù). ∴當(dāng)，且，、不可能在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi).不妨設(shè)，由⑵可知，又，∴.∵，∴.∵，且在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，∴，即　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(12分)89. 已知函數(shù)(1) 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2) 若函數(shù)對(duì)任意滿足,求證：當(dāng),(3) 若，且，求證：解：⑴∵=，∴=.　　　　　　　　　　　(2分)令=0，解得.2＋0－↗極大值↘∴在內(nèi)是增函數(shù)，在內(nèi)是減函數(shù). 　　　　　　　　　　(3分)∴當(dāng)時(shí)，取得極大值=.　 (4分)⑵證明：，,∴=.　　　　　　　　　　　 　(6分)當(dāng)時(shí)，＜0，＞4，從而＜0，∴＞0，在是增函數(shù). 　　　　 　(8分)⑶證明：∵在內(nèi)是增函數(shù)，在內(nèi)是減函數(shù). ∴當(dāng)，且，、不可能在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi).不妨設(shè)，由⑵可知，又，∴.∵，∴.∵，且在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，∴，即90. 已知函數(shù)，（Ⅰ）若，求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）對(duì)于任意的，比較與的大小，并說明理由．解：（Ⅰ），1分①當(dāng)時(shí)，在上恒成立，的遞增區(qū)間為；2分②當(dāng)時(shí)，的遞增區(qū)間為；3分 ③當(dāng)時(shí)，的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；4分（Ⅱ）令，令，在上恒成立，當(dāng)時(shí)，成立，在上恒成立，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)時(shí)，恒成立， 對(duì)于任意的時(shí)，又，，即．91. （2011遼寧理21，利用2的對(duì)稱）已知函數(shù)．⑴討論的單調(diào)性；⑵設(shè)，證明：當(dāng)時(shí)，；（作差）⑶若函數(shù)的圖像與x軸交于A、B兩點(diǎn)，線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，證明：.解：⑴ ①若單調(diào)增加.②若且當(dāng)所以單調(diào)增加，在單調(diào)減少. ⑵設(shè)函數(shù)則當(dāng).故當(dāng)， ⑶由⑴可得，當(dāng)?shù)膱D像與x軸至多有一個(gè)交點(diǎn)，故，從而的最大值為不妨設(shè)由⑵得從而由⑴知， 92. （恒成立，思路不常見）已知函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)． (1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程； (2)是否存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意，恒成立?若不存在，請(qǐng)說明理由，若存在，求出的值并加以證明．解：⑴時(shí)，，又，所以切線方程為.⑵①當(dāng)時(shí)，則令，再令，當(dāng)時(shí)，∴在上遞減，∴當(dāng)時(shí)，∴，所以在上遞增，所以②時(shí)，則由①知當(dāng)時(shí)，在上遞增當(dāng)時(shí)，所以在上遞增，∴，∴；由①②得.93. 已知函數(shù)，在區(qū)間上有最大值4，最小值1，設(shè)．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的范圍；（Ⅲ）方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的范圍．解:（Ⅰ）(1) 當(dāng)時(shí)，上為增函數(shù) 故 當(dāng)上為減函數(shù)故 即. .（Ⅱ）方程化為，令，∵ ∴ 記∴ ∴ （Ⅲ）方程化為，令， 則方程化為 （）∵方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，∴由的圖像知，有兩個(gè)根、 且 或 ， 記則 或 ∴94. 已知函數(shù)， 設(shè) （1）是否存在唯一實(shí)數(shù)，使得，若存在，求正整數(shù)m的值；若不存在，說明理由。（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求正整數(shù)n的最大值。解：（1）由得 則因此在內(nèi)單調(diào)遞增?！?分因?yàn)?，即存在唯一的根，于?……………6分（2）由得，且恒成立，由第（1）題知存在唯一的實(shí)數(shù)，使得，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，因此當(dāng)時(shí)，取得最小值 ……………9分由，得 即 于是 又由，得，從而，故正整數(shù)n的最大值為3?！?2分95. (第3問難想)已知函數(shù)，其中ｅ是自然數(shù)的底數(shù)。（１） 當(dāng)時(shí)，解不等式；（２） 若在［－１，１］上是單調(diào)增函數(shù)，求的取值范圍；（３） 當(dāng)時(shí)，求整數(shù)ｋ的所有值，使方程在［ｋ，ｋ＋１］上有解。⑴因?yàn)?，所以不等式即為，又因?yàn)?，所以不等式可化為，所以不等式的解集為．……………………………………?分⑵，①當(dāng)時(shí)，在上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故符合要求；………………………………………………………6分②當(dāng)時(shí)，令，因?yàn)?，所以有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，不妨設(shè)，因此有極大值又有極小值．若，因?yàn)?，所以在?nèi)有極值點(diǎn)，故在上不單調(diào)．………………………………………………………8分若，可知，因?yàn)榈膱D象開口向下，要使在上單調(diào)，因?yàn)?，必須滿足即所以.綜上可知，的取值范圍是．………………………………………10分⑶當(dāng)時(shí), 方程即為，由于，所以不是方程的解，所以原方程等價(jià)于，令，因?yàn)閷?duì)于恒成立，所以在和內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)，……………………………13分又，，所以方程有且只有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且分別在區(qū)間和上，所以整數(shù)的所有值為．………………………………………………………16分96. （2011高考，單調(diào)性應(yīng)用，第2問難）已知a、b是實(shí)數(shù)，函數(shù) 和是的導(dǎo)函數(shù)，若在區(qū)間I上恒成立，則稱和在區(qū)間I上單調(diào)性一致.（1）設(shè)，若函數(shù)和在區(qū)間上單調(diào)性一致,求實(shí)數(shù)b的取值范圍；（2）設(shè)且，若函數(shù)和在以a，b為端點(diǎn)的開區(qū)間上單調(diào)性一致，求|a－b|的最大值.解：⑴因?yàn)楹瘮?shù)和在區(qū)間上單調(diào)性一致，所以，即即實(shí)數(shù)b的取值范圍是⑵由若,則由,和在區(qū)間上不是單調(diào)性一致,所以.。又.所以要使,只有,取,當(dāng)時(shí), 因此當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，函?shù)和在區(qū)間（b,a）上單調(diào)性一致，所以，即，設(shè)，考慮點(diǎn)(b,a)的可行域，函數(shù)的斜率為1的切線的切點(diǎn)設(shè)為則；當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，函?shù)和在區(qū)間（a, b）上單調(diào)性一致，所以，即，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，函?shù)和在區(qū)間（a, b）上單調(diào)性一致，所以，即而x=0時(shí)，不符合題意， 當(dāng)時(shí)，由題意：，綜上可知。97. （2010湖南文數(shù)，另類區(qū)間）已知函數(shù)其中a0,且a≠1.（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅱ）設(shè)函數(shù)（e是自然數(shù)的底數(shù)）。是否存在a，使在[a,－a]上為減函數(shù)？若存在，求a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由。79. （2008遼寧理22，第2問無(wú)從下手，思路太難想）設(shè)函數(shù).⑴求的單調(diào)區(qū)間和極值。⑵是否存在實(shí)數(shù),使得關(guān)于的不等式的解集為?若存在,求的