【正文】 求橢圓C的方程；（Ⅱ）是否存在過點E（－2，0）的直線m交橢圓C于點M、N，滿足，cot∠MON≠0（O為原點）.若存在，求直線m的方程；若不存在，請說明理由.點評：本小題主要考查直線、橢圓及平面向量的基本知識，平面解析幾何的基本方和綜合解題能力。 函數(shù)與方程的思想，數(shù)形結(jié)合思想（I）解法一：直線， ① 過原點垂直的直線方程為， ②解①②得∵橢圓中心（0，0）關(guān)于直線的對稱點在橢圓C的右準線上，∵直線過橢圓焦點，∴該焦點坐標為（2，0）. 故橢圓C的方程為 ③解法二：直線.設(shè)原點關(guān)于直線對稱點為（p，q），則解得p=3.∵橢圓中心（0，0）關(guān)于直線的對稱點在橢圓C的右準線上， ∵直線過橢圓焦點，∴該焦點坐標為（2，0）. 故橢圓C的方程為 ③（II）解法一：設(shè)M（），N（）.當直線m不垂直軸時，直線代入③，整理得 點O到直線MN的距離 即 即 整理得 當直線m垂直x軸時，也滿足. 故直線m的方程為 或或 經(jīng)檢驗上述直線均滿足.所以所求直線方程為或或解法二：設(shè)M（），N（）. 當直線m不垂直軸時，直線代入③，整理得 ∵E（－2，0）是橢圓C的左焦點， ∴|MN|=|ME|+|NE|= 以下與解法一相同.解法三：設(shè)M（），N（）. 設(shè)直線，代入③，整理得 即 ∴=，整理得 解得或 故直線m的方程為或或 經(jīng)檢驗上述直線方程為 所以所求直線方程為或或 20 探索問題1已知函數(shù)(a,c∈R,a＞0,b是自然數(shù)）是奇函數(shù)，f(x)有最大值，且f(1)＞ （1）求函數(shù)f(x)的解析式；（2）是否存在直線l與y=f(x)的圖象交于P、Q兩點，并且使得P、Q兩點關(guān)于點(1,0)對稱，若存在，求出直線l的方程，若不存在，說明理由 命題意圖 本題考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、最值問題、直線方程及綜合分析問題的能力 知識依托 函數(shù)的奇偶性、重要不等式求最值、方程與不等式的解法、對稱問題 錯解分析 不能把a與b間的等量關(guān)系與不等關(guān)系聯(lián)立求b；忽視b為自然數(shù)而導(dǎo)致求不出b的具體值；P、Q兩點的坐標關(guān)系列不出解 技巧與方法 充分利用題設(shè)條件是解題關(guān)鍵 本題是存在型探索題目，注意在假設(shè)存在的條件下推理創(chuàng)新，若由此導(dǎo)出矛盾，則否定假設(shè)，否則，給出肯定的結(jié)論，并加以論證 轉(zhuǎn)化思想解 （1）∵f(x)是奇函數(shù)∴f(–x)=–f(x)，即∴–bx+c=–bx–c∴c=0∴f(x)=由a＞0，b是自然數(shù)得當x≤0時，f(x)≤0，當x＞0時，f(x)＞0∴f(x)的最大值在x＞0時取得 ∴x＞0時，當且僅當即時，f(x)有最大值∴=1,∴a=b2 ①又f(1)＞，∴＞,∴5b＞2a+2 ②把①代入②得2b2–5b+2＜0解得＜b＜2又b∈N,∴b=1,a=1,∴f(x)=（2）設(shè)存在直線l與y=f(x)的圖象交于P、Q兩點，且P、Q關(guān)于點（1，0）對稱，P(x0,y0)則Q（2–x0,–y0)，∴,消去y0，得x02–2x0–1=0解之，得x0=1177。,∴P點坐標為()或()進而相應(yīng)Q點坐標為Q（）或Q() 過P、Q的直線l的方程 x–4y–1=0即為所求 2如圖，三條直線a、b、c兩兩平行，直線a、b間的距離為p，直線b、c間的距離為，A、B為直線a上兩定點，且｜AB｜=2p，MN是在直線b上滑動的長度為2p的線段 （1）建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，求△AMN的外心C的軌跡E；（2）接上問，當△AMN的外心C在E上什么位置時，d+｜BC｜最小，最小值是多少？（其中d是外心C到直線c的距離） 命題意圖 本題考查軌跡方程的求法、拋物線的性質(zhì)、數(shù)形結(jié)合思想及分析、探索問題、綜合解題的能力 知識依托 求曲線的方程、拋物線及其性質(zhì)、直線的方程 錯解分析 ①建立恰當?shù)闹苯亲鴺讼凳墙鉀Q本題的關(guān)鍵，如何建系是難點，②第二問中確定C點位置需要一番分析 技巧與方法 本題主要運用拋物線的性質(zhì)，尋求點C所在位置，然后加以論證和計算，得出正確結(jié)論，是條件探索型題目 數(shù)形結(jié)合思想解 （1）以直線b為x軸，以過A點且與b直線垂直的直線為y軸建立直角坐標系 設(shè)△AMN的外心為C(x,y)，則有A(0,p)、M（x–p,0)，N(x+p,0)，由題意，有｜CA｜=｜CM｜∴,化簡，得x2=2py它是以原點為頂點，y軸為對稱軸，開口向上的拋物線 （2）由（1）得，直線c恰為軌跡E的準線 由拋物線的定義知d=｜CF｜，其中F（0,）是拋物線的焦點 ∴d+｜BC｜=｜CF｜+｜BC｜由兩點間直線段最短知，線段BF與軌跡E的交點即為所求的點直線BF的方程為聯(lián)立方程組得 即C點坐標為() 此時d+｜BC｜的最小值為｜BF｜= 3. 在數(shù)列中，若是正整數(shù)，且，則稱為“絕對差數(shù)列”.（Ⅰ）舉出一個前五項不為零的“絕對差數(shù)列”（只要求寫出前十項）；（Ⅱ）若“絕對差數(shù)列”中，數(shù)列滿足，分別判斷當時，與的極限是否存在，如果存在，求出其極限值；（Ⅲ）證明：任何“絕對差數(shù)列”中總含有無窮多個為零的項.分析：本題主要考查數(shù)列的概念和性質(zhì)、不等式的性質(zhì)，綜合運送知識分析問題和解決問題、探索問題的綜合能力。 分類討論思想方法答案：（Ⅰ）解：（答案不惟一）（Ⅱ）解：因為絕對差數(shù)列，所以自第20項開始，該數(shù)列是。即自第20項開始，每三個相鄰的項周期地取值3，0，3，所以當時，an的極限不存在。當（Ⅲ）證明：根據(jù)定義，數(shù)列必在有限項后出現(xiàn)零項，證明如下：假設(shè)中沒有零項，由于，所以對于任意的n，都有，從而當；當即的值要么比至少小1，那么比至少小1。令則由于c1是確定的正整數(shù)，這樣減少下去，必然存在某項c10，這與0（n=1,2,3,…）矛盾，從而必有零項。若第一次出現(xiàn)的零項為第n項，記，則自第n項開始，每三個相鄰的項周期地取值0，A，A即所以絕對差數(shù)列中有無窮多個零的項。4. 設(shè)f(x)是定義在[0, 1]上的函數(shù)，若存在x*∈(0，1)，使得f(x)在[0, x*]上單調(diào)遞增，在[x*，1]上單調(diào)遞減，則稱f(x)為[0, 1]上的單峰函數(shù)，x*為峰點，包含峰點的區(qū)間為含峰區(qū)間． 對任意的[0，l]上的單峰函數(shù)f(x)，下面研究縮短其含峰區(qū)間長度的方法．（I）證明：對任意的x1，x2∈(0，1)，x1＜x2，若f(x1)≥f(x2)，則(0，x2)為含峰區(qū)間；若f(x1)≤f(x2)，則(x*，1)為含峰區(qū)間；（II）對給定的r（0＜r＜），證明：存在x1，x2∈(0，1)，滿足x2－x1≥2r，使得由（I）所確定的含峰區(qū)間的長度不大于 ＋r；（III）選取x1，x2∈(0, 1)，x1＜x2，由（I）可確定含峰區(qū)間為(0，x2)或(x1，1)，在所得的含峰區(qū)間內(nèi)選取x3，由x3與x1或x3與x2類似地可確定一個新的含峰區(qū)間．在第一次確定的含峰區(qū)間為(0，x2)的情況下，試確定x1，x2，x3的值，.（區(qū)間長度等于區(qū)間的右端點與左端點之差）分析：本題考查函數(shù)的定義、單調(diào)性及不等式等基礎(chǔ)知識，及理解分析問題、解決問題的探索創(chuàng)新的能力 分類討論思想方法答案：（I）證明：設(shè)x*為f(x) 的峰點，則由單峰函數(shù)定義可知，f(x)在[0, x*]上單調(diào)遞增，在[x*, 1]上單調(diào)遞減． 當f(x1)≥f(x2)時，假設(shè)x*(0, x2)，則x1x2x*，從而f(x*)≥f(x2)f(x1)， 這與f(x1)≥f(x2)矛盾，所以x*∈(0, x2)，即(0, x2)是含峰區(qū)間. 當f(x1)≤f(x2)時，假設(shè)x*( x2, 1)，則x*≤x1x2，從而f(x*)≥f(x1)f(x2)， 這與f(x1)≤f(x2)矛盾，所以x*∈(x1, 1)，即(x1, 1)是含峰區(qū)間.（II）證明：由（I）的結(jié)論可知： 當f(x1)≥f(x2)時，含峰區(qū)間的長度為l1＝x2； 當f(x1)≤f(x2)時，含峰區(qū)間的長度為l2=1－x1； 對于上述兩種情況，由題意得 ① 由①得 1＋x2－x1≤1+2r，即x1－x1≤2r. 又因為x2－x1≥2r，所以x2－x1=2r, ② 將②代入①得 x1≤－r, x2≥－r， ③ 由①和③解得 x1＝－r， x2＝＋r． 所以這時含峰區(qū)間的長度l1＝l1＝＋r，即存在x1，＋r．（III）解：對先選擇的x1；x2，x1x2，由（II）可知 x1＋x2＝l， ④ 在第一次確定的含峰區(qū)間為(0, x2)的情況下，x3的取值應(yīng)滿足 x3＋x1＝x2， ⑤ 由④與⑤可得, 當x1x3時，含峰區(qū)間的長度為x1． 由條件x1－x3≥，得x1－(1－2x1)≥，從而x1≥． 因此，只要取x1＝，x2＝，x3=．1．設(shè)函數(shù)，其中，記函數(shù)的最大值與最小值的差為。（I）求函數(shù)的解析式； （II）畫出函數(shù)的圖象并指出的最小值。2．已知函數(shù),數(shù)列滿足, 。 數(shù)列滿足, .求證:（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）若則當n≥2時,.3．已知定義在R上的函數(shù)f(x) 同時滿足：（1）（R，a為常數(shù)）；（2）；（3）當時，≤2 求：（Ⅰ）函數(shù)的解析式；（Ⅱ）常數(shù)a的取值范圍．4．設(shè)上的兩點，滿足，橢圓的離心率短軸長為2，0為坐標原點. （1）求橢圓的方程； （2）若直線AB過橢圓的焦點F（0，c），（c為半焦距），求直線AB的斜率k的值；（3）試問：△AOB的面積是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由.5．已知數(shù)列中各項為：個個 111211122……、 …… （1）證明這個數(shù)列中的每一項都是兩個相鄰整數(shù)的積. （2）求這個數(shù)列前n項之和Sn . 設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點. （Ⅰ）若P是該橢圓上的一個動點，求的最大值和最小值； （Ⅱ）是否存在過點A（5，0）的直線l與橢圓交于不同的兩點C、D，使得|F2C|=|F2D|？若存在，求直線l的方程；若不存在，請說明理由.已知動圓過定點P（1，0），且與定直線L:x=1相切，點C在l上. (1)求動圓圓心的軌跡M的方程；（i）問：△ABC能否為正三角形？若能，求點C的坐標；若不能，說明理由（ii）當△ABC為鈍角三角形時，求這種點C的縱坐標的取值范圍. 定義在R上的函數(shù)y=f(x)，f(0)≠0，當x0時，f(x)1，且對任意的a、b∈R，有f(a+b)=f(a)f(b)，（1）求證：f(0)=1；（2）求證：對任意的x∈R，恒有f(x)0；（3）證明：f(x)是R上的增函數(shù)；（4）若f(x)f(2xx2)1，求x的取值范圍。已知二次函數(shù)滿足，且關(guān)于的方程的兩實數(shù)根分別在區(qū)間（3，2），（0，1）內(nèi)。 （1）求實數(shù)的取值范圍； （2）若函數(shù)在區(qū)間（1，1）上具有單調(diào)性，求實數(shù)C的取值范圍已知函數(shù)且任意的、都有 （1）若數(shù)列 （2）求的值.，△ABC的兩個頂點為 A （0，－1），B （0, 1）平面內(nèi)兩點G、M同時滿足① , ②= = ③∥ （1）求頂點C的軌跡E的方程 （2）設(shè)P、Q、R、N都在曲線E上 ，定點F的坐標為（, 0） ，已知∥ , ∥且= .12．已知為銳角，且，函數(shù)，數(shù)列{an}的首項. ⑴ 求函數(shù)的表達式； ⑵ 求證：；⑶ 求證：13．（本小題滿分14分）已知數(shù)列滿足（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）若數(shù)列滿足，證明：是等差數(shù)列；（Ⅲ）證明：14．已知函數(shù)（I）當時，若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；（II）當時，（1）求證：對任意的，的充要條件是；（3）若關(guān)于的實系數(shù)方程有兩個實根，求證：且的充要條件是15．已知數(shù)列{a n}前n項的和為S n，前n項的積為，且滿足。①求 ；②求證：數(shù)列{a n}是等比數(shù)列；③是否存在常數(shù)a，使得對都成立？ 若存在，求出a，若不存在，說明理由。1已知函數(shù)是定義域為R的偶函數(shù)，其圖像均在x軸的上方，對任意的，都有，且，又當時，其導(dǎo)函數(shù)恒成立。（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）解關(guān)于x的不等式：，其中1一個函數(shù)，如果對任意一個三角形，只要它的三邊長都在的定義域內(nèi)，就有也是某個三角形的三邊長，則稱為“保三角形函數(shù)”．（I）判斷，中，哪些是“保三角形函數(shù)”，哪些不是，并說明理由；（II）如果是定義在上的周期函數(shù)，且值域為，證明不是“保三角形函數(shù)”；（III）若函數(shù)，是“保三角形函數(shù)”，求的最大值．（可以利用公式）1已知數(shù)列的前n項和滿足：（a為常數(shù)，且）． （Ⅰ）求的通項公式；（Ⅱ）設(shè)，若數(shù)列為等比數(shù)列，求a的值；（Ⅲ）在滿足條件（Ⅱ）的情形下，設(shè)，數(shù)列的前n項和為Tn .求證：．1數(shù)列中，（是常數(shù)，），且成公比不為的等比數(shù)列。（I）求的值；（II）求的通項公式。（III）由數(shù)列中的第2……項構(gòu)成一個新的數(shù)列{b