【導(dǎo)讀】成為高考壓軸題及各級各類競賽試題命題的極好素材。這類問題的求解策略往。nnnnnnn而由均值不等式知道這是顯然成立的，故若存在正整數(shù)km?

　　

【正文】 2754275481 ???? ,所以可以判斷 55)28( ?f ③ 當(dāng)然 ,在這里可能不容易一下子發(fā)現(xiàn)這個結(jié)論 ,所以還可以列項的方法 ,把所有項數(shù)盡可能地列出來 ,然后就可以得到結(jié)論 . 所以 ,綜合①②③有 )28()6()1( fff ?? = 662955 ??? (3)在解決 }{na 的通項公式時也會遇到困難 . nnnnnnn aafffffff 3),3(3)]}3([{)3(,3)]3([ 111 ????? ??? ,所以數(shù)列 *(3 ),nna f n??N的方程為nna 32?? ,從而 )311(41111 21 nnaaa ????? ? , 一方面 41)311(41 ?? n ,另一方面 1222)21(3 1100 ???????? nCC nnnn 所以 2412 241)12 11(41)311(41 ????????? n nn nnn ,所以 ,綜上有 121 1 1 14 2 4nnn a a a? ? ? ?? ≤ . 例 49. 已知函數(shù) f?x?的定義域為 [0,1]，且滿足下列條件： ① 對于任意 x? [0,1]，總有 ?? 3fx? ，且 ??14f ? ； ② 若 1 2 1 20, 0, 1,x x x x? ? ? ?則有? ? ? ?1 2 1 2( ) x x f x f x? ? ? ? （ Ⅰ ）求 f?0?的值；（ Ⅱ ） 求證： f?x?≤4； （ Ⅲ ）當(dāng) 111( , ]( 1, 2, 3, )33nnxn?? ? ???時，試證明： ( ) 3 3f x x??. 解析 : （ Ⅰ ）解：令 120xx??，由 ① 對于任意 x? [0,1]，總有 ? ? 3fx? ， ∴ (0) 3f ? 又由 ② 得 (0) 2 (0) 3,ff??即 (0) 3。f ? ∴ (0) ? （ Ⅱ ） 解 ： 任 取 12, [0,1],xx? 且設(shè) 12,xx? 則2 1 2 1 1 2 1( ) [ ( ) ] ( ) ( ) 3 ,f x f x x x f x f x x? ? ? ? ? ? ? 因為 210xx??，所以 21( ) 3f x x??，即 21( ) 3 0,f x x? ? ? ∴ 12( ) ( )f x f x? . ∴ 當(dāng) x? [0,1]時， ( ) (1) 4f x f??. （ Ⅲ ）證明：先用數(shù)學(xué)歸納法證明： 11( ) 3( *)33nnf n N??? ? ? （ 1） 當(dāng) n=1 時， 0011( ) (1) 4 1 3 333ff? ? ? ? ? ?，不等式成立； （ 2） 假設(shè)當(dāng) n=k 時， 11( ) 3( *)33kkf k N??? ? ? 由 11 1 1 1 1 1 1( ) [ ( ) ] ( ) ( ) 33 3 3 3 3 3 3k k k k k k kf f f f? ? ? ? ? ? ? ? 111( ) ( ) ( ) 6333kkkfff? ? ? 得 111 1 13 ( ) ( ) 6 3 3k k kff??? ? ? ? 即當(dāng) n=k+1 時，不等式成立 由（ 1）、（ 2）可知，不等式 11( ) 333nnf ????對一切正整數(shù)都成立 . 于是，當(dāng) 111( , ]( 1, 2,3, )33nnxn?? ? ???時， 111 1 13 3 3 3 ( )3 3 3n n nxf??? ? ? ? ? ? ?， 而 x? [0,1]， ??fx單調(diào)遞增 ∴ 111( ) ( )33nnff?? 所以， 11( ) ( ) 3 x f x?? ? ? 例 50. 已知： 12 1, 0nia a a a? ? ? ? ? )2,1( ni ?? 求證： 2222 1121 2 2 3 1 1 12nnn n naaaaa a a a a a a a??? ? ? ? ?? ? ? ? 解析 :構(gòu)造對偶式：令 121 2 132 2221 21 aa aaa aaa aaa aA n nnn n ????????? ? ?? 1211 232 2321 22 aa aaa aaa aaa aB nnn n ????????? ?? 則 12121 22 132 232221 2221 aa aaaa aaaa aaaa aaBA nnnn nn ?????????????? ???＝BAaaaaaaaa nnn ??????????? ? ,0)()()()( 113221 ? 又 ? )(2122 jiji ji aaaa aa ???? （ )2,1, nji ?? 1212122 1322322212221 )(21)(21 aa aaaa aaaa aaaa aaBAAnnnn nn ???????????????????? ? 21)()()()(41 113221 ?????????? ? aaaaaaaa nnn? 十一 、 積分放縮 利用定積分的保號性比大小 保號性是指，定義在 ? ?,ab上的可積函數(shù) ? ? ? ?0fx??，則 ? ? ? ?0ba f x dx??? . 例 ： e e??? . 解析 : ln lne ee e? ?? ?? ? ?， ∵ ln ln ln lneee x xde x x? ??? ? ? ? ?? ? ? ????? ? ? ??21 lne xdxx? ??? ， ? ?,xe?? 時， 21 ln 0xx? ? ， 21 ln 0e xdxx? ? ?? ， ∴ ln lnee?? ? ， e e??? . 利用定積分估計和式的上下界 定積分產(chǎn)生和應(yīng)用的一個主要背景是計算曲邊梯形的面積，現(xiàn)在用它來估計小矩形的面積和 . 例 52. 求證： ? ?1 1 11 2 1 123 nn? ? ? ? ? ? ?， ? ?1,n n N??. 解析 : 考慮函數(shù) ? ? 1fxx? 在區(qū)間 ? ?,1ii? ? ?1,2,3, ,in? 上的定積分 . 如圖，顯然 11 1 11 ii dxi i x?? ? ? ?① 對 i 求和， 111nniiii dxix??????? 11 1n dxx??? 112 nx ??????? ?2 1 1n? ? ? . 例 53. 已知 ,4n Nn??.求證： 1 1 1 1 71 2 3 2 1 0n n n n? ? ? ? ?? ? ?. 解析 :考慮函數(shù) ? ? 11fx x? ? 在區(qū)間 1,iinn???????? ?1,2,3, ,in? 上的定積分 . ∵ 1ni?111 inn??? 1 11inin dxx?? ?? ② ∴ 1 1ni ni? ?? 1111ni in n????? 11 11in nii n dxx??? ??? ? ?1 100 1 ln 11 dx xx? ? ??????? 7l 2 10??. 例 54. （ 2020 年全國高考江蘇卷）設(shè) 0a? ，如圖，已知直線 axyl ?: 及曲線 C ： 2xy? ，C上的點(diǎn) 1Q 的橫坐標(biāo)為 1a （ aa??10 ） .從 C 上的點(diǎn) ? ?1nQn? 作直線平行于 x 軸，交直線 l于點(diǎn) 1?nP ，再從點(diǎn) 1?nP 作直線平行于 y 軸，交曲線 C 于點(diǎn)1nQ? . ? ?1,2, ,nQ n n? 的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列 ??na . （ Ⅰ ）試求 1na? 與 na 的關(guān)系，并求 ??na 的通項公式； （ Ⅱ ）當(dāng) 21,1 1?? aa 時，證明 ?? ?? ??nk kkk aaa1 21 321)( ； （ Ⅲ ）當(dāng) 1a? 時，證明 121 1()3n k k kk a a a??? ??? . 解析 : 121()nn aaaa ?? （過程略） . 證明（ II）：由 1a? 知 21nnaa?? ， ∵ 1 12a? ， ∴ 2311,4 16aa??. ∵ 當(dāng) 1k? 時， 23116kaa? ??， ∴ 1 2 1 1 1111 1 1( ) ( ) ( )1 6 1 6 3 2nnk k k k k nkka a a a a a a? ? ? ???? ? ? ? ? ???. 證明（ Ⅲ ）：由 1a? 知 21kkaa?? . ∴ 21 2 1 1( ) ( )k k k k k ka a a a a a? ? ? ?? ? ?恰表示陰影部分面積， 顯然 12211() kkak k k aa a a x dx??????④ ∴ 21 2 1 111( ) ( )nnk k k k k kkka a a a a a? ? ? ???? ? ???1 21 kkn aak xdx????? 1 20axdx?? 311133a??. 奇巧積累 : 將定積分構(gòu)建的不等式略加改造即得 “初等 ”證明，如： ① 111ii dxix???? ? ?21ii? ? ? ； ② 1ni? 1 11inin dxx?? ?? 1ln 1 ln 1iinn?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?； ③ 12 1sin sin1 siniii??? ???? 1sin 12sin 11ii iidxx?? ??? ?? ? ??? ； ④ ? ?12 2 3 31 1 11() 3kkak k k k kaa a a x dx a a?? ? ?? ? ? ??. 十二 、 部分放縮 (尾式放縮 ) 例 : 74123 1123 113 1 1 ????????? ?n? 解析 : 1211 23 123 12811123 17141123 1123 113 1 ??? ???????????????????? nnn ??? 748448844721141312811 ??????? 例 56. 設(shè) ??? ana 211 .2,131 ??? anaa ? 求證： .2?na 解 析 : ??? ana 211 .131211131 222 nn aa ??????? ?? 又 2),1(2 ????? kkkkkk （只將其中一個 k 變成 1?k ，進(jìn)行部分放縮），kkkkk 111)1( 112 ?????? ， 于是 )111()3121()211(1131211 222 nnna n ?????????????? ??.21??? n 例 ??na 滿足 ? ??? ???? Nnnaaa nnn 121 ，當(dāng) 31?a 時 證明對所有 ,1?n 有 2)( ??nai n ； 211 11 11 1)( 21 ??????? naaaii ? 解析 : )(i 用數(shù)學(xué)歸納法：當(dāng) 1?n 時顯然成立，假設(shè)當(dāng) kn? 時成立即 2??kak ，則當(dāng) 1??kn 時 312)2(1)2(1)(1 ?????????????? kkkkakaaa kkkk ，成立。 )(ii 利用 上述部 分放縮的 結(jié)論 121 ??? kk aa 來放 縮通項， 可得????? )1(211 kk aa .2 111242)1(21 11111 ???? ?????????? kkkkkk aaa ? .21211)21(1412 11 1 111 ??????? ??? ??niniini a 注：上述證明 )(i 用到部分放縮，當(dāng)然根據(jù)不等式的性質(zhì)也可以整體放縮：31)2)(2(1 ???????? kkkka k ；證明 )(ii 就直接使用了部分放縮的結(jié)論 121 ??? kk aa 十三 、 三角不等式的放縮 例 : )(|||sin| Rxxx ?? . 解析 :(i)當(dāng) 0?x 時 , |||sin| xx? (ii)當(dāng) 20 ???x 時 ,構(gòu)造單位圓 ,如圖所示 : TPBAOyx 因為三角形 AOB的面積小于扇形 OAB的面積 所以可以得到 |||sin|sin xxxx ??? 當(dāng) 2??x 時 |||sin| xx? 所以當(dāng) 0?x 時 xx?sin 有 |||sin| xx? (iii)當(dāng) 0?x 時 , 0??x ,由 (ii)可知 : |||sin| xx? 所以綜上有 )(|||sin| Rxxx ?? 十四 、 使用加強(qiáng)命題法證明不等式 (i)同側(cè)加強(qiáng) 對所證不等式的同一方向 (可以是左側(cè) ,也可以是右側(cè) )進(jìn)行加強(qiáng) .如要證明 Axf ?)( ,只要證明 )0()( ??? BBAxf ,其中 B通過尋找分 析 ,歸納完成 . 例 :對一切 *)( Nnn ? ,都