【導(dǎo)讀】成為高考?jí)狠S題及各級(jí)各類競(jìng)賽試題命題的極好素材。這類問題的求解策略往。nnnnnnn而由均值不等式知道這是顯然成立的，故若存在正整數(shù)km?

　　

【正文】 2754275481 ???? ,所以可以判斷 55)28( ?f ③ 當(dāng)然 ,在這里可能不容易一下子發(fā)現(xiàn)這個(gè)結(jié)論 ,所以還可以列項(xiàng)的方法 ,把所有項(xiàng)數(shù)盡可能地列出來 ,然后就可以得到結(jié)論 . 所以 ,綜合①②③有 )28()6()1( fff ?? = 662955 ??? (3)在解決 }{na 的通項(xiàng)公式時(shí)也會(huì)遇到困難 . nnnnnnn aafffffff 3),3(3)]}3([{)3(,3)]3([ 111 ????? ??? ,所以數(shù)列 *(3 ),nna f n??N的方程為nna 32?? ,從而 )311(41111 21 nnaaa ????? ? , 一方面 41)311(41 ?? n ,另一方面 1222)21(3 1100 ???????? nCC nnnn 所以 2412 241)12 11(41)311(41 ????????? n nn nnn ,所以 ,綜上有 121 1 1 14 2 4nnn a a a? ? ? ?? ≤ . 例 49. 已知函數(shù) f?x?的定義域?yàn)?[0,1]，且滿足下列條件： ① 對(duì)于任意 x? [0,1]，總有 ?? 3fx? ，且 ??14f ? ； ② 若 1 2 1 20, 0, 1,x x x x? ? ? ?則有? ? ? ?1 2 1 2( ) x x f x f x? ? ? ? （ Ⅰ ）求 f?0?的值；（ Ⅱ ） 求證： f?x?≤4； （ Ⅲ ）當(dāng) 111( , ]( 1, 2, 3, )33nnxn?? ? ???時(shí)，試證明： ( ) 3 3f x x??. 解析 : （ Ⅰ ）解：令 120xx??，由 ① 對(duì)于任意 x? [0,1]，總有 ? ? 3fx? ， ∴ (0) 3f ? 又由 ② 得 (0) 2 (0) 3,ff??即 (0) 3。f ? ∴ (0) ? （ Ⅱ ） 解 ： 任 取 12, [0,1],xx? 且設(shè) 12,xx? 則2 1 2 1 1 2 1( ) [ ( ) ] ( ) ( ) 3 ,f x f x x x f x f x x? ? ? ? ? ? ? 因?yàn)?210xx??，所以 21( ) 3f x x??，即 21( ) 3 0,f x x? ? ? ∴ 12( ) ( )f x f x? . ∴ 當(dāng) x? [0,1]時(shí)， ( ) (1) 4f x f??. （ Ⅲ ）證明：先用數(shù)學(xué)歸納法證明： 11( ) 3( *)33nnf n N??? ? ? （ 1） 當(dāng) n=1 時(shí)， 0011( ) (1) 4 1 3 333ff? ? ? ? ? ?，不等式成立； （ 2） 假設(shè)當(dāng) n=k 時(shí)， 11( ) 3( *)33kkf k N??? ? ? 由 11 1 1 1 1 1 1( ) [ ( ) ] ( ) ( ) 33 3 3 3 3 3 3k k k k k k kf f f f? ? ? ? ? ? ? ? 111( ) ( ) ( ) 6333kkkfff? ? ? 得 111 1 13 ( ) ( ) 6 3 3k k kff??? ? ? ? 即當(dāng) n=k+1 時(shí)，不等式成立 由（ 1）、（ 2）可知，不等式 11( ) 333nnf ????對(duì)一切正整數(shù)都成立 . 于是，當(dāng) 111( , ]( 1, 2,3, )33nnxn?? ? ???時(shí)， 111 1 13 3 3 3 ( )3 3 3n n nxf??? ? ? ? ? ? ?， 而 x? [0,1]， ??fx單調(diào)遞增 ∴ 111( ) ( )33nnff?? 所以， 11( ) ( ) 3 x f x?? ? ? 例 50. 已知： 12 1, 0nia a a a? ? ? ? ? )2,1( ni ?? 求證： 2222 1121 2 2 3 1 1 12nnn n naaaaa a a a a a a a??? ? ? ? ?? ? ? ? 解析 :構(gòu)造對(duì)偶式：令 121 2 132 2221 21 aa aaa aaa aaa aA n nnn n ????????? ? ?? 1211 232 2321 22 aa aaa aaa aaa aB nnn n ????????? ?? 則 12121 22 132 232221 2221 aa aaaa aaaa aaaa aaBA nnnn nn ?????????????? ???＝BAaaaaaaaa nnn ??????????? ? ,0)()()()( 113221 ? 又 ? )(2122 jiji ji aaaa aa ???? （ )2,1, nji ?? 1212122 1322322212221 )(21)(21 aa aaaa aaaa aaaa aaBAAnnnn nn ???????????????????? ? 21)()()()(41 113221 ?????????? ? aaaaaaaa nnn? 十一 、 積分放縮 利用定積分的保號(hào)性比大小 保號(hào)性是指，定義在 ? ?,ab上的可積函數(shù) ? ? ? ?0fx??，則 ? ? ? ?0ba f x dx??? . 例 ： e e??? . 解析 : ln lne ee e? ?? ?? ? ?， ∵ ln ln ln lneee x xde x x? ??? ? ? ? ?? ? ? ????? ? ? ??21 lne xdxx? ??? ， ? ?,xe?? 時(shí)， 21 ln 0xx? ? ， 21 ln 0e xdxx? ? ?? ， ∴ ln lnee?? ? ， e e??? . 利用定積分估計(jì)和式的上下界 定積分產(chǎn)生和應(yīng)用的一個(gè)主要背景是計(jì)算曲邊梯形的面積，現(xiàn)在用它來估計(jì)小矩形的面積和 . 例 52. 求證： ? ?1 1 11 2 1 123 nn? ? ? ? ? ? ?， ? ?1,n n N??. 解析 : 考慮函數(shù) ? ? 1fxx? 在區(qū)間 ? ?,1ii? ? ?1,2,3, ,in? 上的定積分 . 如圖，顯然 11 1 11 ii dxi i x?? ? ? ?① 對(duì) i 求和， 111nniiii dxix??????? 11 1n dxx??? 112 nx ??????? ?2 1 1n? ? ? . 例 53. 已知 ,4n Nn??.求證： 1 1 1 1 71 2 3 2 1 0n n n n? ? ? ? ?? ? ?. 解析 :考慮函數(shù) ? ? 11fx x? ? 在區(qū)間 1,iinn???????? ?1,2,3, ,in? 上的定積分 . ∵ 1ni?111 inn??? 1 11inin dxx?? ?? ② ∴ 1 1ni ni? ?? 1111ni in n????? 11 11in nii n dxx??? ??? ? ?1 100 1 ln 11 dx xx? ? ??????? 7l 2 10??. 例 54. （ 2020 年全國(guó)高考江蘇卷）設(shè) 0a? ，如圖，已知直線 axyl ?: 及曲線 C ： 2xy? ，C上的點(diǎn) 1Q 的橫坐標(biāo)為 1a （ aa??10 ） .從 C 上的點(diǎn) ? ?1nQn? 作直線平行于 x 軸，交直線 l于點(diǎn) 1?nP ，再?gòu)狞c(diǎn) 1?nP 作直線平行于 y 軸，交曲線 C 于點(diǎn)1nQ? . ? ?1,2, ,nQ n n? 的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列 ??na . （ Ⅰ ）試求 1na? 與 na 的關(guān)系，并求 ??na 的通項(xiàng)公式； （ Ⅱ ）當(dāng) 21,1 1?? aa 時(shí)，證明 ?? ?? ??nk kkk aaa1 21 321)( ； （ Ⅲ ）當(dāng) 1a? 時(shí)，證明 121 1()3n k k kk a a a??? ??? . 解析 : 121()nn aaaa ?? （過程略） . 證明（ II）：由 1a? 知 21nnaa?? ， ∵ 1 12a? ， ∴ 2311,4 16aa??. ∵ 當(dāng) 1k? 時(shí)， 23116kaa? ??， ∴ 1 2 1 1 1111 1 1( ) ( ) ( )1 6 1 6 3 2nnk k k k k nkka a a a a a a? ? ? ???? ? ? ? ? ???. 證明（ Ⅲ ）：由 1a? 知 21kkaa?? . ∴ 21 2 1 1( ) ( )k k k k k ka a a a a a? ? ? ?? ? ?恰表示陰影部分面積， 顯然 12211() kkak k k aa a a x dx??????④ ∴ 21 2 1 111( ) ( )nnk k k k k kkka a a a a a? ? ? ???? ? ???1 21 kkn aak xdx????? 1 20axdx?? 311133a??. 奇巧積累 : 將定積分構(gòu)建的不等式略加改造即得 “初等 ”證明，如： ① 111ii dxix???? ? ?21ii? ? ? ； ② 1ni? 1 11inin dxx?? ?? 1ln 1 ln 1iinn?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?； ③ 12 1sin sin1 siniii??? ???? 1sin 12sin 11ii iidxx?? ??? ?? ? ??? ； ④ ? ?12 2 3 31 1 11() 3kkak k k k kaa a a x dx a a?? ? ?? ? ? ??. 十二 、 部分放縮 (尾式放縮 ) 例 : 74123 1123 113 1 1 ????????? ?n? 解析 : 1211 23 123 12811123 17141123 1123 113 1 ??? ???????????????????? nnn ??? 748448844721141312811 ??????? 例 56. 設(shè) ??? ana 211 .2,131 ??? anaa ? 求證： .2?na 解 析 : ??? ana 211 .131211131 222 nn aa ??????? ?? 又 2),1(2 ????? kkkkkk （只將其中一個(gè) k 變成 1?k ，進(jìn)行部分放縮），kkkkk 111)1( 112 ?????? ， 于是 )111()3121()211(1131211 222 nnna n ?????????????? ??.21??? n 例 ??na 滿足 ? ??? ???? Nnnaaa nnn 121 ，當(dāng) 31?a 時(shí) 證明對(duì)所有 ,1?n 有 2)( ??nai n ； 211 11 11 1)( 21 ??????? naaaii ? 解析 : )(i 用數(shù)學(xué)歸納法：當(dāng) 1?n 時(shí)顯然成立，假設(shè)當(dāng) kn? 時(shí)成立即 2??kak ，則當(dāng) 1??kn 時(shí) 312)2(1)2(1)(1 ?????????????? kkkkakaaa kkkk ，成立。 )(ii 利用 上述部 分放縮的 結(jié)論 121 ??? kk aa 來放 縮通項(xiàng)， 可得????? )1(211 kk aa .2 111242)1(21 11111 ???? ?????????? kkkkkk aaa ? .21211)21(1412 11 1 111 ??????? ??? ??niniini a 注：上述證明 )(i 用到部分放縮，當(dāng)然根據(jù)不等式的性質(zhì)也可以整體放縮：31)2)(2(1 ???????? kkkka k ；證明 )(ii 就直接使用了部分放縮的結(jié)論 121 ??? kk aa 十三 、 三角不等式的放縮 例 : )(|||sin| Rxxx ?? . 解析 :(i)當(dāng) 0?x 時(shí) , |||sin| xx? (ii)當(dāng) 20 ???x 時(shí) ,構(gòu)造單位圓 ,如圖所示 : TPBAOyx 因?yàn)槿切?AOB的面積小于扇形 OAB的面積 所以可以得到 |||sin|sin xxxx ??? 當(dāng) 2??x 時(shí) |||sin| xx? 所以當(dāng) 0?x 時(shí) xx?sin 有 |||sin| xx? (iii)當(dāng) 0?x 時(shí) , 0??x ,由 (ii)可知 : |||sin| xx? 所以綜上有 )(|||sin| Rxxx ?? 十四 、 使用加強(qiáng)命題法證明不等式 (i)同側(cè)加強(qiáng) 對(duì)所證不等式的同一方向 (可以是左側(cè) ,也可以是右側(cè) )進(jìn)行加強(qiáng) .如要證明 Axf ?)( ,只要證明 )0()( ??? BBAxf ,其中 B通過尋找分 析 ,歸納完成 . 例 :對(duì)一切 *)( Nnn ? ,都