【導讀】題目大多取自高中數(shù)學吧，其來源于不同省市的高考題抑或高水平的模擬題。通常要求an中含有n的指數(shù)。的取值可以任意，當其確定后b1也就確定了。有時候對a1開始就進行等比放縮達。不到要求，則可以考慮從第二項或第三項…開始進行等比放縮，要求保留an前面的項。因此，通項顯然成立。

　　

【正文】 1 n 161。 2 161。 1 n 161。 1 182。184。190。 【 522597089】 導數(shù)壓軸題 構造函數(shù)反證法：減少計算量 【高中數(shù)學吧】已知函數(shù) f (x) = ln x x 的圖像為曲線 C,函數(shù) g (x) = 12ax + b的圖像為直線 L, 設 L 與 C 的交點橫坐標分別為 x1。 x2。 (x1 6= x2)求 證： (x1 + x2) g (x1 + x2) 2。 證明：不妨設 0 x2 x1，并假設 1 2 由題有 1 2 x1 1 2 2 則（ 1）等價于 x1 x2 x1 x2 , 195。(t) = (t +1)lnt 161。2(t 161。1) 6 0。t 1 （ 1） （ 2） 195。0 (t) = lnt + 1 t 161。 1。 195。00 (t) = 1 t 1 t 195。(t) 195。(1) = 0 （ 3） 顯然（ 2）（ 3）矛盾，故假設不成立！ 從而，原命題成立即 (x1 + x2) g (x1 + x2) 2 證 畢！ 【 522597089】X 6 k 3 161。 2 。 8n 1。 k 3 161。 2 181。 182。n161。1 。n 3 X X 1 1 1 1 2 + (161。2)2 k + (161。2) k 3 161。 2 k + (161。2) k k=1 3 k=3 3 X 1 1 1 1 1 2 + (161。2)2 2 + (161。2)2 3 161。 2 k 161。 2k 3 161。 2 163。 312 1 1 7 2 + (161。2)2 3 161。 2 6 1 161。 3 3 X 7 1 13 3n161。1 181。 n!1 181。 181。 182。182。 184。 n!1 181。 182。184。 = lim n 163。 2188。 n!1 182。 184。 161。 0 162。 設 N(x。 y)為過 M切線上任意一點，則 M N ?161。!，即 高中數(shù)學吧 等比放縮 show : Note n k =1 3k 1 + (161。2) k 7 6 3 1 k + (161。2)k 1 k 1 k Hence n n 6 + + + = + + 3 n k=3 7 + + 13 = 3 3 3 1 n + k=3 [522597089] lim n sin (2188。 e n!) n!1 1 1 1 1 = lim n sin 2188。 1 + 1 + + + ::: + + 2! 3! n! (n + 1)! 1 1 = lim n sin 2188。 + o n! (n + 1)! (n + 1)! 1 1 + o n! (n + 1)! (n + 1)! = 2188。 + ::: n! 圓錐曲線切線問題 1 設 M(x0。 y0)為曲線方程： 195。 (x。 y) = ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0上的點， 過曲線外一點 T (s。 t)向曲線做切線，切點分別為 P (x1。 y1)。 Q(x2。 y2)求過 M點切線 方程、切點弦 PQ方程及雙切線方程？ 分析：先求曲線任意一點法向量，求導有 195。0x = 2ax + by + d。 195。0y = by + 2cy + e 則 ~n = 195。 x。 195。0y = (2ax + by + d。 by + 2cy + e) 161。161。! nM 又 (x 161。x0。 y 161。y0)(2ax0 +by0 +d。 by0 +2cy0 +e) = 0 M(x0。 y0)在曲線上有 ax20 + bx0y0 + cy02 + dx0 + ey0 + f = 0 （ 1） （ 2） 由（ 1）（ 2）解得過 M點 切線方程 為 ax0x + b x0y + y0x 2 + cy0y + d x + x0 2 + e y + y0 2 + f =0 （ 3） 類似的，還可以證明以 M 為中點，弦 AB 方程（ A,B 在曲線上）事實上，當 195。(x0。y0) ! 0割線方程就變?yōu)榍芯€方程。 + f = 0 = 。 + f = 0 = 。 181。 X 1 ax0x + b x0y + y0x 2 + cy0y + d x + x0 2 + e y + y0 2 + f = 195。 (x0。 y0) （ 4） 因此 `PN : ax1x + b `QN : ax2x + b T (s。 t)在 `P N， `QN上 x1y + y1x 2 x2y + y2x 2 + cy1y + d + cy2y + d x + x1 2 x + x2 2 + e + e y + y1 2 y + y2 2 9 + f = 0 ax1s + b ax2s + b 可知 切點弦 PQ方程 x1t + y1s 2 x2t + y2s 2 + cy1t + d + cy2t + d s + x1 2 s + x2 2 + e + e t + y1 2 t + y2 2 9 + f = 0 asx + b sy + tx 2 + cty + d x + s 2 + e y + t 2 + f = 0 （ 5） 它與曲線上的切線方程形式一樣。 設曲線外一點 T (s。 t)，由曲線簇的概念知 P T。 QT 雙切線方程 也可表示 為 ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f sy + tx x + s +184。 asx + b + cty + d 2 2 + e y + t 2 + f 182。2 =0 （ 6） T (s。 t)代入可確定 184。 注：以上幾個方程非常有用！后面將舉例說明討論。 【 522597089】 一個不等式講解 【高中數(shù)學吧】證明： n k=1 k ln (n + 1) + 1 n 2 n +1 。 作差法 考慮證明其通項成立（必要不充分）X 1 X 1 1 n 1 n , s (n) = 161。 ln (n + 1) 161。 181。 182。 n 161。 1 181。 182。 181。 182。 181。 182。193。181。 182。184。 181。 161。 ln 1 + 161。 161。 ln 1 + 181。 182。 1 t t 161。 ln (1 + t) 。 t 2 (0。 1) 。 195。0 (t) = 2(1 + t)2 X 195。 (t) %。 195。 (t) 195。 (0) = 0。 ) 195。 (n) 0。 ) X 1 1 n ) 1 X X 1 1 X Z n+1 X f (k) + f (k + 1) 1 X P 為拋物線 y2 = 2x上 的動點，點 B,C 在 y 軸上圓 (x 161。 1)2 + y2 = 1內(nèi)切于三角形 163。 161。 162。 n n ln (n + 1) + 0 k 2 n +1 k 2 n +1 k=1 k=1 195。 (n) = s (n) 161。 s (n 161。 1) = n 161。 ln n 161。 2 n +1 161。 n 1 1 1 1 1 1 1 1 = + = 1+ 2 n n +1 n 2 n n n 195。 (t) = t + 0 2 1+ t n ln (n + 1) + k 2 n +1 k=1 用定積分 注意到 1 n +1 1 n n k =1 195。 (k) 0 2 1 n 182。 1 n 2 n +1 = 2 n k =1 181。 1 k 161。 1 k +1 182。 則原命題可等價為 n k =1 k ln (n + 1) + 1 n 2 n +1 , 2 n k =1 181。 1 k + 1 k +1 182。 ln (n + 1) 考慮到 f(x) = x1為 [1。 +1)上的凹函數(shù)，由幾何意義有 n f (x) d x 2 1 k=1 即 2 n k =1 181。 1 k + 1 k +1 182。 Z1 n+1 1 x d x = ln (n + 1) 因此， 原命題成立！ 【 522597089】 切線問題 1 雙切線方程的運用 PBC， 求三角形 PBC 最小值。 分析：不妨設 yB yC P 為拋物線 y2 = 2x上的點可設為 P (2s2。 2s)。 圓方程可寫為 x2 161。 2x + y2 = 0，則切點弦方程可寫為 2s2x 161。 (x + 2s2) + 2sy = 0，雙切線方程可寫為 x2 161。 2x + y2 + 184。 2s 2x 161。 x + 2s2 + 2sy 164。2 =0 （ 1）s 161。 1 1 161。 s 181。 1 161。 s 161。 2 162。 184。 +2 8 s 161。 1 + 2 （ 1） 證明： ln (1 + x) p1+x。 x 0。 1 + x ln (1 + x) (x + 1) 161。 1。 x 0 163。 161。 162。164。 故要使 f(x)為 (0。 1)上的增函數(shù)，只需 a2 161。 2a 6 0，解得 a 2 [0。2]。 b 6 x 161。 e 161。 1 e2x 161。 exx2 161。 2ex + 1 195。0 (x) = 2(ex 161。 1)2 2(ex 161。 1)2 161。 x 162。 0 2e 161。 x2 161。 2x 161。 2 = ex175。 (x) 161。 e x 161。 2xe 161。 2e = e 39。 (x) = 2e P (2s2。 2s)代入解得 184。代入（ 1）并令 x = 0，得 184。 = 161。 1 4s4 當僅當 s = p2取等號。 sMP BC = 2s 4 = 2 s s yB = 。 yC = 。s 1 1+ s 1 1 s s 2 (yB 161。 yC) xP = 2 1+ s 161。 1 =2 s 161。 1 182。 162。 2s 2 因此，三角形