【正文】 34 24(1)2()|1|1||Mgghbcbc???????? 22| ()||bc??，即 1M下同解法 150.（2022 寧夏海南卷文）（本小題滿分 12 分）已知函數(shù) 323()9fxax???.(1) 設 1a，求函數(shù) ??f的極值；(2) 若 4?，且當 ??1,4x?時， )(39。xf?12a 恒成立，試確定 a的取值范圍. 解：（Ⅰ）當 a=1時，對函數(shù) ()f求導數(shù)，得 39。 2()?? 令 39。 120,3x解 得 列表討論 39。()fx的變化情況：,)???（1，3） 3 (,)??39。()fx+ 0 — 0 +A極大值 6 A極小值26 A所以， ()fx的極大值是 (1)f??，極小值是 (3)??（Ⅱ） 39。 22369a?的圖像是一條開口向上的拋物線，關于 x=a 對稱.若 39。1,()4fx??則 在 [,4]上是增函數(shù)，從而 39。()fx在 []上的最小值是 39。 2(1)369,fa??最大值是 39。 2(4)?由 39。 22||12,ax???得 于是有 39。 39。()369,(4) f??且由 39。 39。 41205aa得 由 得所以 1(,][,][0,(,].4354a????即 山東省泰安市第一中學 35 若 a1,則 39。 2 39。|()|1.[1,4]|()|12faaxafxa????故 當 時 不恒成立.所以使 39。||[,4])x?恒成立的 a 的取值范圍是 4(,]5 51.(2022 湖南卷理)（本小題滿分 13 分）某地建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩墩相距 m米，余下工程只需要建兩端 橋墩之間的橋面和橋墩，經(jīng)預測，一個 橋墩的工程費用為 256 萬元，距離 為 x米的相鄰兩墩之間的橋面工程費用為 (2)x?萬元。假設橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點，且不考慮其他因素，記余下工程的費用為 y萬元。 （Ⅰ）試寫出 y關于 x的函數(shù)關系式； （Ⅱ）當 m=640 米時，需新建多少個橋墩才能使 y最??？解 （Ⅰ）設需要新建 n個橋墩， (1)1mxx???， 即 n=所以 (2)x?y=f(x)256+256()+ .mx? （Ⅱ） 由（Ⅰ）知， 23322139。()(51).mfx???? 令 39。()0fx?，得3251，所以 =64 當 0 64 時 39。()fx0， ()fx在區(qū)間（0， 64）內(nèi)為減函數(shù)； 當 64?時， 39。0. 在區(qū)間（64，640）內(nèi)為增函數(shù)，所以 ()fx在 =64 處取得最小 值，此時， ???故需新建 9 個橋墩才能使 y最小。52.（2022 天津卷理） （本小題滿分 12 分） 已知函數(shù) 22()3)(),xfxaeR????其中 a①1① 當 0a時，求曲線 1yff在 點 處的切線的斜率； 山東省泰安市第一中學 36 ①2① 當 3a?時，求函數(shù) ()fx的單調(diào)區(qū)間與極值。 本小題主要考查導數(shù)的幾何意義、導數(shù)的運算、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值等基礎知識，考查運算能力及分類討論的思想方法。滿分 12 分。（I）解： .3)1(39。)2()39。)(02 efexxfexfa ????， 故，時 ，當 .31,y處 的 切 線 的 斜 率 為在 點所 以 曲 線（II） ??.42)()(39。2 xeaxaxf??解 ： .232039。 ???? a知 ，由， 或， 解 得令以下分兩種情況討論。（1） a若 ＞ 32，則 a?＜ x變化時， )(39。xf， 的變化情況如下表：x???， ???a， 2?????，a+ 0 — 0 +↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗ .)2()2()() 內(nèi) 是 減 函 數(shù)，內(nèi) 是 增 函 數(shù) ， 在，，在所 以 ????aaxf .3)(efaf??， 且處 取 得 極 大 值在函 數(shù) .)4(()2)( 2?axf ， 且處 取 得 極 小 值在函 數(shù)（2） a若 ＜ 3，則 a2?＞ ，當 x變化時， 39。xf， 的變化情況如下表：x???， ??a?， ????，a2+ 0 — 0 +↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗ 內(nèi) 是 減 函 數(shù) 。，內(nèi) 是 增 函 數(shù) ， 在，，在所 以 )2()2()() aaxf ???? .342( 2??? eff， 且處 取 得 極 大 值在函 數(shù) .)())( 2axf ?， 且處 取 得 極 小 值在函 數(shù)53.（2022 四川卷理）（本小題滿分 12 分）山東省泰安市第一中學 37 已知 0,1a??且 函數(shù) ()log(1)xafx??。（I）求函數(shù) ()fx的定義域，并判斷 f的單調(diào)性；（II）若()*,lim。fnnNa????求（III）當 ae?（ 為自然對數(shù)的底數(shù)）時，設 ()2()11)fxhem???，若函數(shù) ()hx的極值存在，求實數(shù) 的取值范圍以及函數(shù) 的極值。本小題主要考查函數(shù)、數(shù)列的極限、導數(shù)應用等基礎知識、考 查分類整合思想、推理和運算能力。解：（Ⅰ）由題意知 10xa??當 0() 1()0af afx??????時 ， 的 定 義 域 是 （ ， ） ； 當 時 ， 的 定 義 域 是 （ ， ）lnog11ae? ???xxf()=當 0(0,).0,xxa??????時 ， 因 為 故 f,所 以 f()是 減 函 數(shù)當 ()0,()axffx???時 ， 因 為 故 所 以 是 減 函 數(shù) ….（4 分）（Ⅱ）因為 ()()log(1),1nfnnafn????所 以由函數(shù)定義域知 0,因 為 n 是正整數(shù)，故 0a1.所以()limlifnnaa????? （Ⅲ） 2 2)(1)(0,()1)x xhexhem??????（ 所 以令 (0, 0? ??即 由 題 意 應 有 ， 即① 當 m=0 時 ， ()x??有實根 1x?，在 點左右兩側(cè)均有 ()0hx??故無極值① 當 1m?時， 0h?有兩個實根 2,1mx???當 x 變化時， ()x、 的 變化情況如下表所示：1,??1x12(,)x2x2(,0)x山東省泰安市第一中學 38 ()hx?+ 0 0 +↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗()hx?的極大值為 12()me??， (hx的極小值為 12()me??① 當 ?時， )0hx??在定義域內(nèi)有一個實根， x? 同上可得 (的極大值為 1()me?綜上所述， ???（ ， ） 時，函數(shù) hx有極值；當 01m?時 ()hx的極大值為 12()me??， (hx的極小值為 12()me??當 ?時， 的極大值為 54.（2022 福建卷文）（本小題滿分 12 分）已知函數(shù) 321(),fxaxb??且 39。(1)0f?? （I）試用含 a的代數(shù)式表示 ； （Ⅱ）求 ()fx的單調(diào)區(qū)間； （Ⅲ）令 1??，設函數(shù) ()fx在 12,()x?處取得極值，記點12(,),(MxfNxf，證明：線段 MN與曲線 (f存在異于 M、N的公共點；解法一：（I）依 題 意，得 239。()faxb?? 由 39。10?得 21??（Ⅱ）由（I）得 32()()fxxx（ 故 239。 ()aa??? 令 39。*()0fx，則 1?或 2x? ①當 1?時， 2? 當 x變化時， 39。()fx與 f的變化情況如下表： 山東省泰安市第一中學 39 x(,12)a??(2,1)a?(1)???39。()f+ — +單調(diào)遞增 單調(diào)遞減 單調(diào)遞增由此得，函數(shù) ()fx的單調(diào)增區(qū)間為 (,12)a??和 (,)?，單調(diào)減區(qū)間為(12,a?②由 ?時 ，12a?，此時， 39。()0fx?恒成立，且僅在 1x??處 39。()0fx，故函數(shù) ()fx的單調(diào)區(qū)間為 R③當 a?時 ， ?，同理可得函數(shù) ()fx的單調(diào)增區(qū)間為 (,)?和(12,)???，單調(diào)減區(qū)間為 (1,2a?綜上： 當 a?時，函數(shù) ()fx的單調(diào)增區(qū)間為 (,1)??和 (,)?，單調(diào)減區(qū)間為(12,)?；當 ?時，函數(shù) ()fx的單調(diào)增區(qū)間為 R；當 a?時，函數(shù) 的單調(diào)增區(qū)間為 (,1)??和 (2,)a?，單調(diào)減區(qū)間為(1,2)?（Ⅲ）當 ?時，得 321()fxx? 由 339。()20fx?，得 12,3?? 由（Ⅱ）得 f的單調(diào)增區(qū)間為 ()?和 (,)?，單調(diào)減區(qū)間為 (1,3)? 所以函數(shù) ()x在 ?處取得極值。 故 5,.3,9MN? 所以直線 的方程為 813yx?山東省泰安市第一中學 40 由2138yx??????得 230x??? 令 32()Fx? 易得 0,()30????，而 ()Fx的圖像在 (0,2)內(nèi)是一條連續(xù)不斷的曲線， 故 ()Fx在 ,2內(nèi)存在零點 0x，這表明線段 MN與曲線 ()fx有異于 ,MN的公共點解法二：（I）同解法一（Ⅱ）同解法一。（Ⅲ）當 1a??時，得 321()fxx??，由 239。()30fx??，得12,3x由（Ⅱ）得 ()fx的單調(diào)增區(qū)間為 (,1)?和 (3,)?，單調(diào)減區(qū)間為 (1,)，所以函數(shù)()f在 12,??處取得極值， 故 5(39)MN所以直線 的方程為 813yx?? 由3218yx??????得 320?解得 123,.xx??312519,yy??????????所以線段 MN與曲線 ()fx有異于 ,MN的公共點 1(,)3? 55.（2022 重慶 卷理）（本小題滿分 13 分， （Ⅰ）問 5 分， （Ⅱ）問 8 分）山東省泰安市第一中學 41 設函數(shù) 2()(0)fxabk???在 x?處取得極值，且曲線 ()yfx?在點(1,)f處的切線垂直于直線 1y．（Ⅰ）求 ,的值；（Ⅱ）若函數(shù) ()xegf?，討論 ()gx的單調(diào)性． 解（Ⅰ）因 2(0,2fxabkfab?????故又 ()f在 x=0 處取得極限值，故 ),x從而 0 由曲線 y= fx在（1，f（1））處的切線與直線 1y?相互垂直可知該切線斜率為 2，即 (),??有 2a=,從 而（Ⅱ）由（Ⅰ）知， 20)xegk??2())(xekg???令 2(0,0???有（1）當 4,k?????即 當 1時 ， g(x)在 R上 恒 成 立 ，故 函 數(shù) g(x)在 R上 為 增 函 數(shù)（2）當 40,k即 當 =時 ， 2(1))0()xegxk??????K=1時，g（x）在 R 上為增函數(shù)（3） 40,k????即 當 1時 ， 方程 20xk??有兩個不相等實根12xxk?? 當 (,)(0,(),1)gxk?????是 故 在 （ 上 為 增 函數(shù)當 1xk?（ ） 時， ,??故 (),1gxk???在 （ ） 上為減函數(shù)?（ ， +）時， (),x?故 k?在 （ ， +） 上為增函數(shù)山東省泰安市第一中學 42 56.（2022 重慶 卷文）（本小題滿分 12 分， （Ⅰ）問 7 分， （Ⅱ）問 5 分）已知 2()fxbc??為偶函數(shù)，曲線 ()yfx?過點 2,)， ()(gxafx??．（Ⅰ）求曲線 ()yg有斜率為 0 的切線，求實數(shù) a的取值范圍；（Ⅱ）若當 1x?時函數(shù) ()yx?取得極值，確定 ()yx的單調(diào)區(qū)間．解: （Ⅰ） ?2()fbc?為偶函數(shù),故 ()ff??即有2()xbcx? 解