高考文科數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)專題復(fù)習(xí)-資料下載頁(yè)
2025-04-17 13:17本頁(yè)面
【正文】 在區(qū)間(1，]上僅有一個(gè)零點(diǎn).(1)解 由f(x)＝－kln x(k0)，得x0且f′(x)＝x－＝.由f′(x)＝0，解得x＝(負(fù)值舍去).f(x)與f′(x)在區(qū)間(0，＋∞)上的情況如下：x(0，)(，＋∞)f′(x)－0＋f(x)所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0，)，單調(diào)遞增區(qū)間是(，＋∞).f(x)在x＝處取得極小值f()＝.(2)證明 由(1)知，f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上的最小值為f()＝.因?yàn)閒(x)存在零點(diǎn)，所以≤0，從而k≥＝e時(shí)，f(x)在區(qū)間(1，)上單調(diào)遞減，且f()＝0，所以x＝是f(x)在區(qū)間(1，]e時(shí)，f(x)在區(qū)間(0，)上單調(diào)遞減，且f(1)＝0，f()＝0，所以f(x)在區(qū)間(1，]，若f(x)存在零點(diǎn)，則f(x)在區(qū)間(1，]上僅有一個(gè)零點(diǎn).【訓(xùn)練2】 (2016北京卷節(jié)選)設(shè)函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c.(1)求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線方程；(2)設(shè)a＝b＝4，若函數(shù)f(x)有三個(gè)不同零點(diǎn)，求c的取值范圍.解 (1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax＋(0)＝c，f′(0)＝b，所以曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線方程為y＝bx＋c.(2)當(dāng)a＝b＝4時(shí)，f(x)＝x3＋4x2＋4x＋c，所以f′(x)＝3x2＋8x＋′(x)＝0，得3x2＋8x＋4＝0，解得x＝－2或x＝－.當(dāng)x變化時(shí)，f(x)與f′(x)的變化情況如下：x(－∞，－2)－2－f′(x)＋0－0＋f(x)cc－所以，當(dāng)c0且c－0，存在x1∈(－4，－2)，x2∈，x3∈，使得f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝(x)的單調(diào)性知，當(dāng)且僅當(dāng)c∈時(shí)，函數(shù)f(x)＝x3＋4x2＋4x＋c有三個(gè)不同零點(diǎn).考點(diǎn)三 導(dǎo)數(shù)在不等式中的應(yīng)用命題角度一 不等式恒成立問題【例3】 (2017合肥模擬)已知f(x)＝xln x，g(x)＝x3＋ax2－x＋2.(1)如果函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為，求函數(shù)g(x)的解析式；(2)對(duì)任意x∈(0，＋∞)，2f(x)≤g′(x)＋2恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解 (1)g′(x)＝3x2＋2ax－1，由題意3x2＋2ax－10的解集是，即3x2＋2ax－1＝0的兩根分別是－，＝1或－代入方程3x2＋2ax－1＝0，得a＝－(x)＝x3－x2－x＋2.(2)由題意2xln x≤3x2＋2ax－1＋2在x∈(0，＋∞)上恒成立，可得a≥ln x－x－，設(shè)h(x)＝ln x－x－，則h′(x)＝－＋＝－，令h′(x)＝0，得x＝1或－(舍)，當(dāng)0x1時(shí)，h′(x)0，當(dāng)x1時(shí)，h′(x)0，所以當(dāng)x＝1時(shí)，h(x)取得最大值，h(x)max＝－2，所以a≥－2，所以a的取值范圍是[－2，＋∞).【訓(xùn)練3】已知函數(shù)f(x)＝x2－ln x－ax，a∈R.(1)當(dāng)a＝1時(shí)，求f(x)的最小值；(2)若f(x)x，求a的取值范圍.解 (1)當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝x2－ln x－x，f′(x)＝.當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，f′(x)0；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f′(x)(x)的最小值為f(1)＝0.(2)由f(x)x，得f(x)－x＝x2－ln x－(a＋1)x0，所以f(x)x等價(jià)于x－a＋(x)＝x－，則g′(x)＝.當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，g′(x)0；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，g′(x)(x)有最小值g(1)＝＋11，a0，即a的取值范圍是(－∞，0).命題角度二 證明不等式【例4】 (2017昆明一中月考)已知函數(shù)f(x)＝ln x－.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)證明：當(dāng)x1時(shí)，f(x)x－1.(1)解 f′(x)＝－x＋1＝，x∈(0，＋∞).由f′(x)0得解得0x.故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是.(2)證明 令F(x)＝f(x)－(x－1)，x∈(0，＋∞).則有F′(x)＝.當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，F(xiàn)′(x)0，所以F(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，故當(dāng)x1時(shí)，F(xiàn)(x)F(1)＝0，即當(dāng)x1時(shí)，f(x)x－1時(shí)，f(x)x－1.【訓(xùn)練4】 (2017泰安模擬)已知函數(shù)f(x)＝ln x.(1)求函數(shù)F(x)＝＋的最大值；(2)證明：＋x－f(x)； (1)解 F(x)＝＋＝＋，F(xiàn)′(x)＝，當(dāng)F′(x)0時(shí)，0xe；當(dāng)F′(x)0時(shí)，xe，故F(x)在(0，e)上是增函數(shù)，在(e，＋∞)上是減函數(shù)，故F(x)max＝F(e)＝＋.(2)證明 令h(x)＝x－f(x)＝x－ln x，則h′(x)＝1－＝，當(dāng)h′(x)0時(shí)，0x1；當(dāng)h′(x)0時(shí)，x1，故h(x)在(0，1)上是減函數(shù)，在(1＋∞)上是增函數(shù)，故h(x)min＝h(1)＝(x)max＝＋1，故F(x)h(x)，即＋x－f(x).
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