高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)專題復(fù)習(xí)-資料下載頁(yè)
2025-08-05 17:15本頁(yè)面
【正文】 ＝，令g′(x)＝0，得x＝2，且g(x)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2，＋∞)上單調(diào)遞增，所以g(x)min＝g(2)＝ln 3－1，故當(dāng)x＞0時(shí)，有g(shù)(x)≥g(2)＝ln 3－1＞0，即f(x＋1)＞e2x－1得證．(3)證明 由(2)得ln(x＋1)＞，即ln(x＋1)＞2－，所以ln[k(k＋1)＋1]＞2－＞2－，所以ln(12＋1)＋ln(23＋1)＋…＋ln[n(n＋1)＋1]＞＋＋…＋＝2n－3＋＞2n－3.12．設(shè)函數(shù)f(x)＝－a＋x＋a，x∈(0,1]，a∈R*(1)若f(x)在(0,1]上是增函數(shù)，求a的取值范圍；(2)求f(x)在(0,1]上的最大值．解析 (1)當(dāng)x∈(0,1]時(shí)，f′(x)＝－a＋1.要使f(x)在x∈(0,1]上是增函數(shù)，需使f′(x)＝－＋1≥0在(0,1]上恒成立．即a≤＝ 在(0,1]上恒成立．而 在(0,1]上的最小值為，又a∈R*，∴0＜a≤為所求． (2)由(1)知：①當(dāng)0＜a≤時(shí)，f(x)在(0,1]上是增函數(shù)．∴[f(x)]max＝f(1)＝(1－)a＋1；②當(dāng)a＞時(shí)，令f′(x)＝0，得x＝ ∈(0,1]．∵0＜x＜時(shí)，f′(x)＞0；∵ ＜x≤1時(shí)，f′(x)＜0.∴[f(x)]max＝f＝a－.綜上，當(dāng)0＜a≤時(shí)，[f(x)]max＝(1－)a＋1；當(dāng)a＞時(shí)，[f(x)]max＝a－.
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