【正文】 導(dǎo)數(shù)．這里可將等式兩端取對數(shù)首先把它變成隱函數(shù)，再利用隱函數(shù)求導(dǎo)法．規(guī)范解法 兩端取對數(shù)lny＝g（x）lnf（x），兩端對x求導(dǎo)思路啟迪 該函數(shù)是由兩個函數(shù)的商構(gòu)成，而商的分子和分母都是由三個函數(shù)的積所構(gòu)成，若直接利用商與積的求導(dǎo)法則就比較麻煩，但若借助于兩端取對數(shù)，再利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法就比較簡單．規(guī)范解法 兩端取對數(shù)lny＝ln（x－1）＋ln（x－2）＋ln（x－3）－ln（x－4）－ln（x－5）－ln（x－6）,兩端對x求導(dǎo)14．怎樣利用導(dǎo)數(shù)判別函數(shù)的單調(diào)性？我們知道，如果函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)是增函數(shù)或是減函數(shù)，那么我們就說函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）具有單調(diào)性，區(qū)間（a，b）稱為f（x）的單調(diào)區(qū)間．那么怎樣利用導(dǎo)數(shù)判別函數(shù)的單調(diào)性呢？設(shè)函數(shù)f（x）在（a，b）可導(dǎo)，則曲線y＝f（x）處處有切線．如圖34，曲線上每點(diǎn)的切線與x軸正向的夾角是銳角，即這時函數(shù)在（a，b）是增函數(shù)．如圖35曲線上每點(diǎn)的切線與x軸正向的夾角為鈍角，即此時函數(shù)f（x）在（a，b）是減函數(shù)．一般地，設(shè)函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間I內(nèi)可導(dǎo)，如果對任意的點(diǎn)x∈I，有則f（x）在I內(nèi)是增函數(shù)，若對于任意的點(diǎn)x∈I，有則f（x）在I內(nèi)為減函數(shù)．思路啟迪 利用導(dǎo)數(shù)判別函數(shù)單調(diào)性，首先要求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后確定導(dǎo)數(shù)在哪些范圍內(nèi)是正值，哪些范圍內(nèi)是負(fù)值，從而確定出函數(shù)的增減區(qū)間．即當(dāng)x∈（－∞，1）∪（3，＋∞）時，f（x）是增函數(shù)．即當(dāng)x∈（1，3）時，f（x）是減函數(shù)．（圖36）．即當(dāng)x∈（－∞，0）時，f（x）是增函數(shù)．即當(dāng)x∈（0，＋∞）時f（x）是減函數(shù)．（如圖37）．分析上面的例題，當(dāng)x1或x3時，單調(diào)增加，當(dāng)1x3時，f（x）單調(diào)減少，而當(dāng)x＝1或x＝3時，．當(dāng)x0時單調(diào)增加；當(dāng)x0時，f（x）單調(diào)減少，而當(dāng)x＝0時，．這說明使點(diǎn)x可能是f（x）單調(diào)增加與單調(diào)減少的分界點(diǎn)．因此討論可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，我們也可以按照以下步驟去作：即求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，解出使的點(diǎn)，用這些點(diǎn)將f（x）的定義域分成若干個區(qū)間，然后在各個區(qū)間上判別的符號，從而可得f（x）在各個區(qū)間上的單調(diào)性．后兩步可用一個表格來完成．列表由上表可知：f（x）在（－∞－1）與（1，＋∞）上是單調(diào)增加的；在（－1，1）上是單調(diào)減少的．15．怎樣利用導(dǎo)數(shù)求可導(dǎo)函數(shù)的極值？已知函數(shù)在點(diǎn)O附近的任意點(diǎn)x，都有即函數(shù)在點(diǎn)O的值要比它附近的任意點(diǎn)的函數(shù)值都要小（如圖38），這時，我們稱函數(shù)在點(diǎn)O取極小值．而函數(shù)在點(diǎn)O附近的任意點(diǎn)x，都有，即函數(shù)在點(diǎn)O的值要比它附近的每一點(diǎn)的函數(shù)值都要大（如圖39），這時，我們就說在點(diǎn)O取極大值．一般地，設(shè)函數(shù)f（x）在點(diǎn)附近內(nèi)有定義，若對點(diǎn)附近的每一點(diǎn)x，都有，我們就稱它為f（x）在點(diǎn)取極大值，是f（x）在點(diǎn)處的極大值，記作稱為函數(shù)f（x）的極大值點(diǎn)．如果對點(diǎn)附近的所有點(diǎn)x，都有，我們就稱函數(shù)f（x）在點(diǎn)取極小值，是f（x）在點(diǎn)處的極小值，記作稱為函數(shù)f（x）的極小值點(diǎn)．極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)．已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是，在點(diǎn)O的值是0，即在點(diǎn)O的左側(cè)，即當(dāng)x0時，有導(dǎo)數(shù)；在點(diǎn)O的右側(cè)，即當(dāng)x0時，導(dǎo)數(shù)函數(shù)在點(diǎn)O取極小值．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是在點(diǎn)O的左側(cè)，即當(dāng)x0時，有導(dǎo)數(shù)；在點(diǎn)O的右側(cè)，即當(dāng)時，有導(dǎo)數(shù)．函數(shù)在點(diǎn)O取極大值．一般地，當(dāng)函數(shù)f（x）在點(diǎn)的附近可導(dǎo)時，我們判別函數(shù)f（x）在點(diǎn)處取極大（?。┲档姆椒ㄊ牵海?）若在點(diǎn)的左側(cè)，右側(cè)則是極小值．（2）若在點(diǎn)的左側(cè)，右側(cè)則是極大值．從上面的討論，我們可以看到，若f（x）在點(diǎn)可導(dǎo)，且在點(diǎn)取極值，則有，即可導(dǎo)的極值點(diǎn)滿足．但是滿足的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，如，在O點(diǎn)處的值，但O不是f（x）的極值點(diǎn)．一般地，我們求函數(shù)極值的步驟是：（Ⅲ）判別函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)在每個根兩側(cè)的符號，并根據(jù)的符號確定f（x）在是否取極值．思路啟迪 求出并令得其根等，用將函數(shù)的定義域分成若干個區(qū)間，在每個區(qū)間上用的符號列出y的增減性．所以，當(dāng)x＝－1時，有極小值；當(dāng)x＝1時，有極大值．列表16．怎樣利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值與最小值？對于實際問題該怎樣解決？在生產(chǎn)實踐和工程技術(shù)中，常常遇到這樣一類問題：在一定條件下，怎樣使“產(chǎn)品最多”、“收益最大”、“用料最省”、“成本最低”和“效率最高”等問題，這類問題在數(shù)學(xué)上有時可歸納為求某函數(shù)的最大值或最小值問題．如圖3－11，在閉區(qū)間[a，b]上，對于[a，b]，都有f（x）≥f（b），f（b）就稱為f（x）在[a，b]上的最小值；對于[a，b]，有就稱為f（x）在[a，b]上的最大值．一般地，設(shè)f（x）在區(qū)間I上有定義，若存在點(diǎn)，使對每一點(diǎn)x∈[a，b]都有，則稱f（x）在I上有最大值，記為M，即；若存在點(diǎn)，使對每一點(diǎn)x∈[a，b]都有，則稱函數(shù)f（x）在I上有最小值，記為m．即．一般地，若y＝f（x）在[a，b]上連續(xù)，則f（x）在[a，b]上必有最大值與最小值．但函數(shù)y＝f（x）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)連續(xù)，則不一定有最大值與最小值．如在（0，＋∞）內(nèi)連續(xù)，但f（x）在（0，＋∞）內(nèi)沒有最大值與最小值．從圖3－11可以看出，若函數(shù)的最小值在區(qū)間[a，b]的內(nèi)部間取得，則必在極小值點(diǎn)取得；若函數(shù)的最大值在區(qū)間[a，b]的內(nèi)部取得，則必在極大值點(diǎn)取得．最大值與最小值也可能在端點(diǎn)取得，而在極值的討論中，我們可以看出，對于可導(dǎo)函數(shù)來說，極值點(diǎn)可能在使的點(diǎn)x處取得．因此，對于可導(dǎo)函數(shù)來說，它的最大值與最小值若在區(qū)間的內(nèi)部取得，只可能在使得的點(diǎn)取得．根據(jù)以上分析，若f（x）在[a，b]上連續(xù)且可導(dǎo)，則求f（x）在[a，b]上的最大值與最小值的步驟為：（2）將f（a）,f（b），進(jìn)行比較，其中最大的一個就是最大值，最小的一個就是最小值．思路啟迪 因為所給函數(shù)在[－3，4]上可導(dǎo)，所以，只需把的點(diǎn)與端點(diǎn)的值比較而可得出．比較可得，函數(shù)f（x）在x＝4取得它在[－3，4]上的最大值f（4）＝142；在x＝1取得它在[－3，4]上的最小值f（1）＝7．對于一個實際問題而言，如果在（a，b）內(nèi)部的根只有一個，而從實際含義分析知在（a，b）內(nèi)一定有最大值或最小值存在．那么一般來說，就是所要求的最大值或最小值．例2 已知一木材有直徑為d的圓截面，如何把它加工成為最堅固的矩形截面的橫梁．思路啟迪 依題意，要使橫梁最堅固，也即是使得橫梁的抗彎強(qiáng)度最大，因此，首先應(yīng)找出抗彎強(qiáng)度與矩形截面的關(guān)系，然后確定矩形截面的長寬為何值時抗彎強(qiáng)度為最大．規(guī)范解法 如圖3—12所示，設(shè)橫梁矩形截面的底邊長為x，則其高為，由材料力學(xué)的知識得，強(qiáng)度同成正比，設(shè)強(qiáng)度為f(x)，于是有：而從實際問題分析知，f（x）應(yīng)有最大值，所以當(dāng)時，f（x）為最大，這時相應(yīng)的高Wisdomamp。Love 第 34 頁 （共 34 頁） 2022年8月24日星期三