【文章內(nèi)容簡介】 12 分）設(shè)函數(shù) 0),(,)(31)(2??????mRxmxxf 其 中（Ⅰ）當(dāng) 時 ，m曲線 ） ）（，在 點 （ 1ffy處的切線斜率（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值；（Ⅲ）已知函數(shù) )(xf有三個互不相同的零點 0， 21,x，且 21?。若 對任意的],[21x?， 1?恒成立，求 m 的取值范圍?！敬鸢浮浚?）1（2） )(xf在 ),??和 ),(??內(nèi)減函數(shù)，在 ),(m??內(nèi)增函數(shù)。函數(shù) )(f在 ??處取得極大值 1f，且 )1f= 31223函數(shù) x在 m處取得極小值 )(m，且 (=【解析】解：當(dāng) )(,2,3)(1 39。/2 ????fxfxf 故時 ，所以曲線 ） ）（，在 點 （ 1)(xfy?處的切線斜率為 1. （2）解： 239。 ???m，令 0)(39。xf，得到 mx??1,因為 m?1,0所 以當(dāng) x 變化時， )(,39。xf的變化情況如下表：(??m)1,(??m),1(??)(39。xf+ 0 0 +山東省泰安市第一中學(xué) 18 )(xf 極小值 極大值在 )1,m??和 ),(??內(nèi)減函數(shù)，在 )1,(m??內(nèi)增函數(shù)。函數(shù) (xf在 ?處取得極大值 )f，且 f= 31223?函數(shù) )在 處取得極小值 (，且 )(=（3）解：由題設(shè)， )(31)31() 2122 xxmxxf ????所以方程 122??=0 由兩個相異的實根 2,，故 3??，且0)(34????m，解得 )(??，舍因為 123,2,211 ??xxx故所 以若 0)(3)(???f則 ，而 0)(?xf，不合題意若 ,21x則對任意的 ],[21x?有 ,21??則 )()(1??f 又 )(f，所以函數(shù) )(xf在 ],[21x?的最小值為 0，于是對任意的 ],[2x， ?恒成立的充要條件是31)(2???mf,解得 3?m 綜上，m 的取值范圍是 ),21(【考點定位】本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，導(dǎo)數(shù)的運算，以及函數(shù)與方程的根的關(guān)系解不等式等基礎(chǔ)知識，考查綜合分析問題和解決問題的能力。38.(2022 湖北卷理)(本小題滿分 14 分) 在 R 上定義運算 ??1: 43pqcqbc????（b、c 為實常數(shù)）。記??21fc???， ??2fb?， R?.令 ??21fff????.?如果函數(shù) 在 1處有極什 4,試確定 b、c 的值；??求曲線 ??yf上斜率為 c 的切線與該曲線的公共點；山東省泰安市第一中學(xué) 19 ???記 ???|1gxfx????的最大值為 k?對任意的 b、c 恒成立，試示 k的最大值。 解當(dāng) 1()byfx???時 ， 函 數(shù) 得對稱軸 x=b 位于區(qū)間 [1,]?之外 此時 max{(),1()}Mgb?由 2(1)4,(1)0fff????????m有 ① 若 0ax{(1),}b gb?????則 (),于是 2ax{1,}()()(1)22ffbffbff???????????① 若 ，則 ???(=)， a{(),}于是 2111max{(),}()()()())22Mffbffbffb????????????????綜上，對任意的 b、c 都有 M而當(dāng)， 10,2時， 21()gx?在區(qū)間 [,1]上的最大值 12M 故 MK?對任意的 b，c 恒成立的 k 的最大值為 2 39.（2022 四川卷文）（本小題滿分 12 分）已知函數(shù) 32()fxcx???的圖象在與 x軸交點處的切線方程是 510yx??。（I）求函數(shù) 的解析式；（II）設(shè)函數(shù) 1()3gxfmx，若 ()g的極值存在，求實數(shù) m的取值范圍以及函數(shù)()x取得極值時對應(yīng)的自變量 的值.【解析】（I）由已知,切點為(2,0),故有 (2)0f?,即 430bc??……①又 2()34fxbxc???，由已知 185?得 7……②聯(lián)立①②，解得 1,??.山東省泰安市第一中學(xué) 20 所以函數(shù)的解析式為 32()fxx??? …………………………………4 分（II）因為 321()gxm令 2410????當(dāng)函數(shù)有極值時，則 ??，方程 213403x???有實數(shù)解， 由 4(1)0m???，得 1?.①當(dāng) 時 ， (gx??有實數(shù) 23x，在 ?左右兩側(cè)均有 ()0gx??，故函數(shù)()gx無極值②當(dāng) 1m?時 ， ()0x?有兩個實數(shù)根 121(),(),3xmxm????(),x?情況如下表： 1(,)x??112(,)x2x2()x?()gx?+ 0 0 +↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗所以在 (,1)???m時，函數(shù) ()gx有極值；當(dāng) 23?x時， 有極大值；當(dāng) 1(2)3???xm時， ()gx有極小值； …………………………………12 分40.（2022 全國卷Ⅱ理）(本小題滿分 12 分)設(shè)函數(shù) ????21fxaInx??有兩個極值點 12x、 ，且 12x?（I）求 a的取值 范圍，并 討論 f的單調(diào)性；（II）證明： ??24Ifx?? 解: （I）2(1)1axaf x?????山東省泰安市第一中學(xué) 21 令 2()gxa??，其對稱軸為 12x??。由 題意知 12x、 是方程 ()0gx?的兩個均大于 1?的不相等的實根，其充要條件為 480()ag???????，得 12a?⑴當(dāng) 1(,)x?時， ??0,()fxf???在 1,x?內(nèi)為增函數(shù)； ⑵當(dāng) 12(,)時， ,()ff??在 12,)內(nèi)為減函數(shù)；⑶當(dāng) ,x??時， ??0x?在 ,x??內(nèi)為增函數(shù)；（II）由（I） 2(0)ga???， 2()a??+??????2 2211fxlnxxlnx?設(shè) ()()h??，則 ??????2xxlxlx??????⑴當(dāng) 1(,0)?時， 0,()h??在 1[,0)2單調(diào)遞增；⑵當(dāng) x??時， ??x?， 在 ?單調(diào)遞減。 11ln(,0)()224h?????當(dāng) 時故 ??4Infx?． 41.（2022 湖南卷文）（本小題滿分 13 分）已知函數(shù) 32()fxbcx??的導(dǎo)函數(shù)的圖象關(guān)于直線 x=2 對稱.（Ⅰ）求 b 的值；（Ⅱ）若 ()fx在 t處取得最小值，記此極小值為 ()gt，求 ()t的定義域和值域。解: （Ⅰ） 2()3fbc???.因為函數(shù) ()fx?的圖象關(guān)于直線 x=2 對稱，所以 6?，于是 6.?? 山東省泰安市第一中學(xué) 22 （Ⅱ）由（Ⅰ）知， 32()6fxcx???， 22()313()1fxcxc??????.（?。┊?dāng) c ? 12 時， 0??，此 時 f無極值。 （ii）當(dāng) c12 時， ()fx?有兩個互異實根 1x, 1x＜ 2，則 1x＜2＜ 2.當(dāng) x＜ 1時， ?， ()f在區(qū)間 ()??內(nèi)為增函數(shù)； 當(dāng) 1＜x＜ 2時， ()0fx??， ()f在區(qū)間 12(,)x內(nèi)為減函數(shù)。當(dāng) ?時， ?， 在區(qū)間 2?內(nèi)為增函數(shù). 所以 ()fx在 1?處取極大值，在 x?處取極小值.因此，當(dāng)且僅當(dāng) 2c?時，函數(shù) ()f在 2處存在唯一極小值，所以 2tx??.于是 ()gt的定義域為 (,??.由 310ttc????得 231??.于是 322)66,()fttc?????.當(dāng) 2t?時， (1()0t? ?所以函數(shù) gt在區(qū)間 ,)??內(nèi)是減函數(shù)，故 g的值域為 (,8).? 42.（2022 福建卷理）（本小題滿分 14 分）已知函數(shù) 321()fxaxb??,且 39。(1)0f?? (1) 試用含 的代數(shù)式表示 b,并求 x的單調(diào)區(qū)間 ；（2）令 1a?,設(shè)函數(shù) ()fx在 12,()?處取得極值，記點 M ( 1x, )f)，N( 2x,()fx)，P(mf), ,請仔細觀察曲線 ()fx在點 P 處的切線與線段 MP的位置變化趨勢，并解釋以下問題：（I）若 對 任意的 m ?( 1x, x 2)，線段 MP 與曲線 f(x)均有異于 M,P 的公共點，試確定 t的最小值，并證明你的結(jié)論；（II）若存在點 Q(n ,f(n)), x ?n m,使得線段 PQ 與曲線 f(x)有異于 P、Q 的公共點， 請山東省泰安市第一中學(xué) 23 直接寫出 m 的取 值范圍（不必給出求解過程） 解法一:(Ⅰ)依題意,得 239。()fxaxb??由 39。101fab??得 .從而 32()(),39。()(21).xxxfxa???故令 39。0, a???得 或 ①當(dāng) a1 時, 2?當(dāng) x 變化時， 39。()fx與 f的變化情況如下表：x (,12)a??(,1)?(,)???39。()f+ － +x單調(diào)遞增 單調(diào)遞減 單調(diào)遞增由此得，函數(shù) ()f的單調(diào)增區(qū)間為 (,12)a??和 (,)?，單調(diào)減區(qū)間為(12,a?。②當(dāng) ?時 ，12a?此時有 39。()0fx?恒成立，且僅在 1x??處 39。()0fx，故函數(shù) ()fx的單調(diào)增區(qū)間為 R③當(dāng) a?時 ， ?同理可得，函數(shù) ()fx的單調(diào)增區(qū)間為 (,)?和(12,)???，單調(diào)減區(qū)間為 (1,2a? 綜上：當(dāng) a?時，函數(shù) ()fx的單調(diào)增區(qū)間為 (,1)??和 (,)?，單調(diào)減區(qū)間為(12,)?；當(dāng) ?時，函數(shù) ()fx的單調(diào)增區(qū)間為 R；當(dāng) a?時，函數(shù) 的單調(diào)增區(qū)間為 (,1)??和 (2,)a?，單調(diào)減區(qū)間為(1,2)?.山東省泰安市第一中學(xué) 24 (Ⅱ)由 1a??得 32()fxx?令 2()30fx??得 12,3x??由（1）得 增區(qū)間為 ,1)?和 ,?，單調(diào)減區(qū)間為 (,)，所以函數(shù) ()fx在處 2,3x取得極值，故 M（ 53）N（ ,9）。觀察 ()f的圖象，有如下現(xiàn)象：①當(dāng) m 從1（不含1）變化到 3 時， 線段 MP 的斜率與曲線 ()fx在點 P 處切線的斜率 ()fx之差 Kmp 39。()f的 值由正連續(xù)變?yōu)樨摗＂诰€段 MP 與曲 線是否有異于 H，P 的公共點與 Kmp－ 39。()f的 m 正負有著密切的關(guān)聯(lián)；③Kmp－ 39。()fm=0 對應(yīng)的位置可能是臨界點，故推測：滿足 Kmp－ 39。()f的 m 就是所求的 t 最小 值，下面給出證明并確定的 t ()fx在點 ,P處的切線斜率 239。()3f??；線段 MP 的斜率 Kmp 45m當(dāng) Kmp－ 39。()f=0 時，解得 12??或直線 MP 的方程為2454()33myx? 令22()()mgxf???當(dāng) 時， 239。)x在 (1,上只有一個零點 0x?，可判斷 ()fx函數(shù)在(1,0)?上單調(diào)遞增，在 0,)上單調(diào)遞減，又 (1)2g?，所以 g在 1,2?上沒有零點，即線段 MP 與曲 線 (fx沒有異于 M，P 的公共點。當(dāng) ??2,3m?時，24(0)03mg???. 2)()0gm???所以存在 ,使得 ?山東省泰安市第一中學(xué) 25 即當(dāng) ??2,3m?時 MP 與曲線 ()fx有異于 M,P 的公共點 綜上，t 的最小值為 2.（2）類似（1）于中的觀察，可得 m 的取值范圍為 ??1,3解法二：（1）同解法一.（2）由 a??得 321()fxx?，令 239。()0fx??，得 12,3x??由（1）得的 單調(diào)增區(qū)間為 (,?和 3,?，單調(diào)減區(qū)間為 (,)，所以函數(shù)在處取得極值。故 M( 51,3).N( 9) (Ⅰ) 直線 MP 的方程為????由223245