導(dǎo)數(shù)高考題含答案資料-資料下載頁
2025-06-20 12:26本頁面
【正文】 函數(shù)，h（x）≤h（0）=0，即f（x）≤（ii）當(dāng)a＞時，由（i）知x≥f（x）h39。（x）=af（x）﹣axf（x）+ax﹣f（x）≥af（x）﹣axf（x）+af（x）﹣f（x）=（2a﹣1﹣ax）f（x）當(dāng)0＜x＜時，h39。（x）＞0，所以h39。（x）＞0，所以h（x）＞h（0）=0，即f（x）＞綜上，a的取值范圍是[0，]12．已知函數(shù)f（x）=（x+1）lnx﹣x+1．（Ⅰ）若xf′（x）≤x2+ax+1，求a的取值范圍；（Ⅱ）證明：（x﹣1）f（x）≥0．解：（Ⅰ），xf′（x）=xlnx+1，題設(shè)xf′（x）≤x2+ax+1等價于lnx﹣x≤a．令g（x）=lnx﹣x，則，當(dāng)0＜x＜1，g′（x）＞0；當(dāng)x≥1時，g′（x）≤0，x=1是g（x）的最大值點，g（x）≤g（1）=﹣1 綜上，a的取值范圍是[﹣1，+∞）．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，g（x）≤g（1）=﹣1即lnx﹣x+1≤0．當(dāng)0＜x＜1時，f（x）=（x+1）lnx﹣x+1=xlnx+（lnx﹣x+1）＜0；當(dāng)x≥1時，f（x）=lnx+（xlnx﹣x+1）==≥0所以（x﹣1）f（x）≥0．13．設(shè)函數(shù)f（x）=x2+aln（1+x）有兩個極值點xx2，且x1＜x2，（Ⅰ）求a的取值范圍，并討論f（x）的單調(diào)性；（Ⅱ）證明：f（x2）＞．解：（I），令g（x）=2x2+2x+a，其對稱軸為．由題意知xx2是方程g（x）=0的兩個均大于﹣1的不相等的實根，其充要條件為，得（1）當(dāng)x∈（﹣1，x1）時，f39。（x）＞0，∴f（x）在（﹣1，x1）內(nèi)為增函數(shù)；（2）當(dāng)x∈（x1，x2）時，f39。（x）＜0，∴f（x）在（x1，x2）內(nèi)為減函數(shù)；（3）當(dāng)x∈（x2，+∞）時，f39。（x）＞0，∴f（x）在（x2，+∞）內(nèi)為增函數(shù)；（II）由（I）g（0）=a＞0，∴，a=﹣（2x22+2x2）∴f（x2）=x22+aln（1+x2）=x22﹣（2x22+2x2）ln（1+x2）設(shè)h（x）=x2﹣（2x2+2x）ln（1+x），（﹣＜x＜0）則h39。（x）=2x﹣2（2x+1）ln（1+x）﹣2x=﹣2（2x+1）ln（1+x）（1）當(dāng)時，h39。（x）＞0，∴h（x）在單調(diào)遞增；（2）當(dāng)x∈（0，+∞）時，h39。（x）＜0，h（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減．∴故．14．已知函數(shù)f（x）=（x3+3x2+ax+b）e﹣x．（1）如a=b=﹣3，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若f（x）在（﹣∞，α），（2，β）單調(diào)增加，在（α，2），（β，+∞）單調(diào)減少，證明：β﹣α＞6．解：（Ⅰ）當(dāng)a=b=﹣3時，f（x）=（x3+3x2﹣3x﹣3）e﹣x，故f′（x）=﹣（x3+3x2﹣3x﹣3）e﹣x+（3x2+6x﹣3）e﹣x=﹣e﹣x（x3﹣9x）=﹣x（x﹣3）（x+3）e﹣x 當(dāng)x＜﹣3或0＜x＜3時，f′（x）＞0；當(dāng)﹣3＜x＜0或x＞3時，f′（x）＜0．從而f（x）在（﹣∞，﹣3），（0，3）單調(diào)增加，在（﹣3，0），（3，+∞）單調(diào)減少；（Ⅱ）f′（x）=﹣（x3+3x2+ax+b）e﹣x+（3x2+6x+a）e﹣x=﹣e﹣x[x3+（a﹣6）x+b﹣a]．由條件得：f′（2）=0，即23+2（a﹣6）+b﹣a=0，故b=4﹣a，從而f′（x）=﹣e﹣x[x3+（a﹣6）x+4﹣2a]．因為f′（α）=f′（β）=0，所以x3+（a﹣6）x+4﹣2a=（x﹣2）（x﹣α）（x﹣β）=（x﹣2）（x2﹣（α+β）x+αβ）．將右邊展開，與左邊比較系數(shù)得，α+β=﹣2，αβ=a﹣2．故．，又（β﹣2）（α﹣2）＜0，即αβ﹣2（α+β）+4＜0．由此可得a＜﹣6．于是β﹣α＞6．
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