三角函數(shù)恒等變換含答案及高考題-資料下載頁(yè)
2025-06-24 20:23本頁(yè)面
【正文】 ，再利用“化一公式”簡(jiǎn)化方程.5 “升降冪變換”技巧當(dāng)所給條件出現(xiàn)根式時(shí)，常用升冪公式去根號(hào)，當(dāng)所給條件出現(xiàn)正、余弦的平方時(shí)，常用“降冪”技巧，常見(jiàn)的公式有：，，可以看出，從左至右是“冪升角變半”，而從右至左則是“冪降角變倍”.例7 化簡(jiǎn)：【分析】含有根號(hào)，需“升冪”去根號(hào).【簡(jiǎn)解】原式= =因?yàn)?，所以，所以，原?例8 求函數(shù)，的最大值與最小值．【分析】函數(shù)式中第一項(xiàng)是正弦的平方，若“降冪”后“角變倍”，與第二項(xiàng)的角一致..【簡(jiǎn)解】． 又，即，．【反思】以上兩例表明，“升降冪技巧”僅僅是解題過(guò)程中的一個(gè)關(guān)鍵步驟，只有有效地整合各種技巧與方法才能順利地解題。如例7中用到了常數(shù)“變換技巧”，例8中用到了“輔助角”變換技巧.6 “公式變用”技巧幾乎所有公式都能變形用或逆向用，如，等，實(shí)際上，“常數(shù)變換”技巧與“升降冪”技巧等也是一種公式變用或逆用技巧. 例9 求值：（1）；（2）。【分析】第（1）小題中，除是特殊角外，其他角成倍角，于是考慮使用倍角公式；第（2）小題中兩角差為，而是兩角差的正切值，所以與兩角差的正切公式有關(guān)?！竞?jiǎn)解】（1）原式＝。（2）原式＝＝。【反思】第（1）小題的一般性結(jié)論是： .例10 求證：?！痉治觥孔筮呁?xiàng)是兩角正切的積，且兩角差為定值，而在正切的和、差角公式中出現(xiàn)了兩角正切的積，可嘗試.【簡(jiǎn)證】因?yàn)椋? 所以，左邊==【反思】這里通過(guò)“角變換”和公式變形得出裂項(xiàng)公式，然后累加消項(xiàng)，這也是數(shù)列求和的一種常見(jiàn)技巧.7 “輔助角變換”技巧通常把叫做輔助角公式（也叫化一公式），其作用是把同角的正弦、余弦的代數(shù)和化為的形式，來(lái)研究其圖象與性質(zhì). 尤其是當(dāng)，時(shí)，要熟記其變換式，如，等.例11 求函數(shù)的值域.【分析】初看此題，似無(wú)從下手，若把分式變成整式，就出現(xiàn)了，然后利用三角函數(shù)的有界性建立關(guān)于y的不等式.【簡(jiǎn)解】由得，所以，從而，其中輔助角由，決定. 所以，由解得.【反思】（1）解答本題的方法很多，比較多用的方法是類比斜率計(jì)算公式，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線斜率問(wèn)題，也有用萬(wàn)能置換后，轉(zhuǎn)化為分式函數(shù)求解的.（2）輔助角公式的形成，也可以看成是“常數(shù)變換”的結(jié)果. 事實(shí)上，=，可設(shè)，再進(jìn)行“切化弦”變換，就得到了“化一公式”..8 “換元變換”技巧有些函數(shù)，式子里同時(shí)出現(xiàn)（或）與，這時(shí)，可設(shè)（或），則（或），把三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)來(lái)求解.例12 求函數(shù)的值域．【分析】同時(shí)出現(xiàn)與時(shí)，可用.【簡(jiǎn)解】設(shè)，因?yàn)?，所以，又由得， 所以? 由得，.【反思】（1）本題若不換元，則需要用到“添、湊、配”技巧，而怎樣進(jìn)行“添、湊、配”，則是因題而異，無(wú)明顯特征.；（2）引進(jìn)“新元”后，一定要說(shuō)明“新元”的取值范圍；（3）平方關(guān)系的變式應(yīng)用廣泛，如在解答命題“已知，是方程的兩根，求的值．”時(shí)，關(guān)鍵步驟是在運(yùn)用韋達(dá)定理后，利用變式消元后求解。例13 求證：。【分析】所證等式中每個(gè)分式與兩角差的正切相似，而所證等式與三角形中的結(jié)論相似，從而嘗試換元，利用三角知識(shí)證代數(shù)問(wèn)題?！竞?jiǎn)解】設(shè)，因?yàn)?，所以，變形整理得所以，即，【反思】本題解法也體現(xiàn)了類比思維的作用，若用常規(guī)方法處理，則運(yùn)算十分繁瑣.9 “萬(wàn)能置換”技巧“萬(wàn)能置換”技巧，實(shí)際從屬于“名變換”技巧，其特征是用半角的正切值表示原角的正弦、余弦與正切.例14 討論函數(shù)的最大值與最小值.【分析】本題可通過(guò)求導(dǎo)或利用基本不等式求解. 但類比函數(shù)式的結(jié)構(gòu)與萬(wàn)能置換公式相同，于是問(wèn)題得到轉(zhuǎn)化.【簡(jiǎn)解】設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)也就是時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)也就是時(shí)，.【反思】（1）當(dāng)問(wèn)題條件中出現(xiàn)單角的正切與倍角三角函數(shù)問(wèn)題時(shí)，可考慮使用萬(wàn)能置換公式；（2）運(yùn)用萬(wàn)能置換技巧既可以把代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)問(wèn)題，也可以把三角問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，如例11中，可設(shè)，則，即，然后可用判別式法求解.
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