高考數(shù)學(xué)三角函數(shù)練習(xí)題及答案解析-資料下載頁(yè)
2025-06-26 04:56本頁(yè)面
【正文】 任意位置相遇，設(shè) D(90), 103tanRtD? ??????則 在 中 ， ，OD= 103cos，由于從出發(fā)到相遇，輪船與小艇所需要的時(shí)間分別為 tt?和 tv??，所以 103tan??103cosv?，解得 1533,0,sin(+)sin(+) 2vv??????又 故 ，從而 9,ta????由 于 時(shí) ， 取 得 最 小 值，且最小值為 3，于是當(dāng) 30???時(shí) ， 103tnt??取得最小值，且最小值為 2。此時(shí)，在 OAB?中， 20AB?，故可設(shè)計(jì)航行方案如下：航行方向?yàn)楸逼珫| ?，航行速度為 30 海里/小時(shí)，小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇。（2022 安徽理數(shù)）1（本小題滿分 12 分） 設(shè) ABC?是銳角三角形， ,abc分別是內(nèi)角 ,ABC所對(duì)邊長(zhǎng)，并且2 2sini() sin() sin3A?????。 (Ⅰ) 求角 的值；(Ⅱ)若 1,7BCa??，求 ,bc（其中 c?）。（2022 江蘇卷）1（本小題滿分 14 分）某興趣小組測(cè)量電視塔 AE 的高度 H(單位：m ），如示意圖，垂直放置的標(biāo)桿 BC 的高度h=4m，仰角∠ ABE=?，∠ADE= ?。(1)該小組已經(jīng)測(cè)得一組 、 的值，tan ?=，tan ?=，請(qǐng)據(jù)此算出 H 的值；(2)該小組分析若干測(cè)得的數(shù)據(jù)后，認(rèn)為適當(dāng)調(diào)整標(biāo)桿到電視塔的距離d（單位：m），使 ?與 ?之差較大，可以提高測(cè)量精確度。若電視塔的實(shí)際高度為 125m，試問(wèn) d 為多少時(shí)， ? ?最大？[解析] 本題主要考查解三角形的知識(shí)、兩角差的正切及不等式的應(yīng)用。（1） tantanHHAD?????，同理： tanHAB??， tanhD?。 AD—AB=DB，故得 tth??，解得：??????。因此，算出的電視塔的高度 H 是 124m。（2）由題設(shè)知 dAB?，得 tan,tHhHdADBd?????，2tatan() ()1t ()1h??????? ??? ?2()Hhdh?，（當(dāng)且僅當(dāng) 125dHh???時(shí)，取等號(hào)）故當(dāng) 5?時(shí)， tan()???最大。因?yàn)?02???，則 02??，所以當(dāng) 5d?時(shí)， ? ?最大。故所求的 d是 m。（2022 江蘇卷）23.（本小題滿分 10 分）已知△ABC 的三邊長(zhǎng)都是有理數(shù)。求證 cosA 是有理數(shù)；（ 2）求證：對(duì)任意正整數(shù) n，cosnA 是有理數(shù)。[解析] 本題主要考查余弦定理、數(shù)學(xué)歸納法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證的能力與分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。滿分 10 分。（方法一）（1）證明：設(shè)三邊長(zhǎng)分別為 ,abc，22osbcaA???，∵ ,bc是有理數(shù)，22bca??是有理數(shù)，分母 2為正有理數(shù)，又有理數(shù)集對(duì)于除法的具有封閉性，∴22c必為有理數(shù)，∴cosA 是有理數(shù)。（2）①當(dāng) 1n?時(shí)，顯然 cosA 是有理數(shù)；當(dāng) 時(shí)，∵ 2oscs1A??，因?yàn)?cosA 是有理數(shù)， ∴ cos2A也是有理數(shù)；②假設(shè)當(dāng) ()nk??時(shí)，結(jié)論成立，即 coskA、 cos(1)k?均是有理數(shù)。當(dāng) 1??時(shí)， cos1cosinAkA?，1()[s()cos()]2k k??，1cos1cosco2kkA，解得： ()s()A???∵cosA ， cosk， 1?均是有理數(shù)，∴ cosco(1)kk?是有理數(shù)，∴ cos(1)kA?是有理數(shù)。即當(dāng) n?時(shí)，結(jié)論成立。綜上所述，對(duì)于任意正整數(shù) n，cosnA 是有理數(shù)。（方法二）證明：（1）由 AB、BC、AC 為有理數(shù)及余弦定理知22cosABC????是有理數(shù)。（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明 cosnA 和 sinA?都是有理數(shù)。①當(dāng) 1n時(shí)，由（ 1）知 co是有理數(shù)，從而有 2sin1cosAA???也是有理數(shù)。②假設(shè)當(dāng) ()k??時(shí)， sk和 ink?都是有理數(shù)。當(dāng) 1n?時(shí)，由 co1cosisnAA?????，si()sin(s)(i)cos(ins)coAkkkkAk?? ?????，及①和歸納假設(shè)，知 co(1)?和 ins(1)??都是有理數(shù)。即當(dāng) 1nk??時(shí)，結(jié)論成立。綜合①、②可知，對(duì)任意正整數(shù) n，cosnA 是有理
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