北大附中高考數(shù)學(xué)專(zhuān)題復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)與微分知識(shí)拓展(一)(編輯修改稿)
2025-09-07 12:04 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 b）內(nèi)的任意不相同的兩點(diǎn)都有即可．規(guī)范證法 任取，不妨設(shè)，因?yàn)閒（x）在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，從而f（x）在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，由微分中值定理，至少存在一點(diǎn)，使得即函數(shù)f（x）在（a，b）內(nèi)是一個(gè)常數(shù)．利用拉格朗日定理可以證明不等式，常用的步驟為：（1）選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)f（x）及相應(yīng)區(qū)間[a，b]．（2）驗(yàn)證條件，應(yīng)用拉格朗日定理得例2 設(shè)f（x）在[0，c]上定義，存在且單調(diào)遞減，f（0）＝0．證明：對(duì)于0≤a≤b≤a＋b≤c，恒有f（a＋b）≤f（a）＋f（b）．思路啟迪 對(duì)函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，a]與[b,a＋b]上分別應(yīng)用拉格朗日中值定理，再結(jié)合的單調(diào)遞減性即可證得．規(guī)范證法 （1）若a＝0時(shí)顯然成立．（2）若a0時(shí)，再由f（x）在[b,a＋b]上應(yīng)用拉格朗日定理得因單調(diào)遞減，故對(duì)ξa≤by，有注意到a≥0，故有，于是從上面可以看出，拉格朗日中值定理是羅爾定理的推廣，而羅爾定理是拉格朗日的一種特殊情況（只要令f（a）＝f（b）即得羅爾定理）．4．怎樣利用導(dǎo)數(shù)求不定式的極限？我們先看幾個(gè)例子：從上面幾個(gè)例子可以看出，有兩個(gè)函數(shù)f（x）和g（x），當(dāng)x→a（或x→∞）時(shí)都趨于零，或都趨于窮大，但這時(shí)的極限可能存在，也可能不存在，通常把這種類(lèi)型的極限稱(chēng)為不定式的極限．若x→a時(shí)，f（x）與g（x）都趨于0，則稱(chēng)極限為型不定式；若當(dāng)x→a時(shí)，f（x）與g（x）都趨于無(wú)窮大，則稱(chēng)極限為型不定式．關(guān)于不定式的極限，我們有下面的結(jié)論．[注：①上面等式的右端分式是左端分式的分子和分母分別求導(dǎo)的結(jié)果，即是，而不是，這一點(diǎn)在利用上面的公式時(shí)一定要注意．②若仍是一個(gè)不定式，并且它仍滿(mǎn)足上面的三個(gè)條件，則此時(shí)對(duì)再用一次洛必達(dá)法則，即此時(shí)有，即洛必達(dá)法則可以重復(fù)應(yīng)用．③上面的x的變化趨勢(shì)x→a可換成，結(jié)論仍成立．]思路啟迪
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