【文章內容簡介】 ????? 1－ a20，Δ≤ 0， ∴ ????? － 1a1，(a－ 1)(11a＋ 5)≤ 0， ∴ － 511≤ a ①② 可得－ 511≤ a≤ 1. (2)由題意知，不等式 (1－ a2)x2＋ 3(1－ a)x＋ 6≥ 0 的解集為 [－ 2,1]，顯然 1－a2≠ 0 且－ 2,1 是方程 (1－ a2)x2＋ 3(1－ a)x＋ 6＝ 0 的兩個根． ∴????? 1－ a20，－ 2＋ 1＝ 3(1－ a)a2－ 1 ，－ 2＝ 61－ a2，Δ＝ [3(1－ a)]2－ 24(1－ a2)0∴????? a－ 1或 a1，a＝ 2，a＝ 177。2.a－ 511或 a1∴ a＝ 2. 11．已知 f(x＋ 2)＝ f(x)(x∈ R)，并且當 x∈ [－ 1,1]時， f(x)＝－ x2＋ 1，求當 x∈ [2k－ 1,2k＋ 1](k∈ Z)時、 f(x)的解析式． 解： 由 f(x＋ 2)＝ f(x)，可推知 f(x)是以 2 為周期的周期函數．當 x∈ [2k－ 1,2k＋ 1]時， 2k－ 1≤ x≤ 2k＋ 1，－ 1≤ x－ 2k≤ 1.∴ f(x－ 2k)＝－ (x－ 2k)2＋ 1. 又 f(x)＝ f(x－ 2)＝ f(x－ 4)＝ ? ＝ f(x－ 2k)， ∴ f(x)＝－ (x－ 2k)2＋ 1， x∈ [2k－ 1,2k＋ 1]， k∈ Z. 12．在 2022 年 11 月 4 日珠海航展上，中國自主研制的 ARJ 21 支線客機備受關注，接到了包括美國在內的多國訂單．某工廠有 216 名工人接受了生產 1000 件該支線客機某零部件的總任務，已知每件零 件由 4 個 C 型裝置和 3 個 H 型裝置配套組成，每個工人每小時能加工 6 個 C 型裝置或 3 個 H 型裝置．現將工人分成兩組同時開始加工，每組分別加工一種裝置，設加工 C 型裝置的工人有 x 位，他們加工完 C 型裝置所需時間為 g(x)，其余工人加工完 H 型裝置所需時間為h(x)． (單位： h，時間可不為整數 ) (1)寫出 g(x)， h(x)的解析式； (2)寫出這 216 名工人完成總任務的時間 f(x)的解析式； (3)應怎樣分組，才能使完成總任務的時間最少？ 解： (1)g(x)＝ 20223x (0x216， x∈ N*)， h(x)＝ 1000216－ x(0x216， x∈ N*)． (2)f(x)＝??? 20223x (0x≤ 86， x∈ N*).1000216－ x (87≤ x216， x∈ N*).(3)分別為 8 130 或 8 129. 第二節(jié) 函數的單調性 A 組 1． (2022 年高考福建卷改編 )下列函數 f(x)中，滿足 “ 對任意 x1， x2∈ (0，＋ ∞ )，當 x1x2 時，都有 f(x1)f(x2)” 的是 ________． ① f(x)＝ 1x ② f(x)＝ (x－ 1)2 ③ f(x)＝ ex ④ f(x)＝ ln(x＋ 1) 解析： ∵ 對任意的 x1， x2∈ (0，＋ ∞ )，當 x1x2時，都有 f(x1)f(x2)， ∴ f(x)在 (0，＋ ∞ )上為減函數． 答案： ① 2．函數 f(x)(x∈ R)的圖象如右圖所示，則函數 g(x)＝ f(logax)(0a1)的單調減區(qū)間是 ________． 解析： ∵ 0a1， y＝ logax 為減函數， ∴ logax∈ [0，12]時， g(x)為減函數． 由 0≤ logax≤ 12 a≤ x≤ ： [ a， 1](或 ( a， 1)) 3．函數 y＝ x－ 4＋ 15－ 3x 的值域是 ________． 解析： 令 x＝ 4＋ sin2α， α∈ [0， π2]， y＝ sinα＋ 3cosα＝ 2sin(α＋ π3)， ∴ 1≤ y≤ 2. 答案： [1,2] 4．已知函數 f(x)＝ |ex＋ aex|(a∈ R)在區(qū)間 [0,1]上單調遞增，則實數 a 的取值范圍 __． 解析： 當 a0，且 ex＋ aex≥ 0 時，只需滿足 e0＋ ae0≥ 0 即可，則－ 1≤ a0；當a＝ 0 時， f(x)＝ |ex|＝ ex 符合題意；當 a0 時， f(x)＝ ex＋ aex，則滿足 f′ (x)＝ ex－ aex≥ 0 在 x∈ [0,1]上恒成立．只需滿足 a≤ (e2x)min成立即可，故 a≤ 1，綜上－ 1≤ a≤ 1. 答案： － 1≤ a≤ 1 5． (原創(chuàng)題 )如果對于函數 f(x)定義域內任意的 x，都有 f(x)≥ M(M 為常數 )，稱 M為 f(x)的下界，下界 M 中的最大值叫做 f(x)的下確界，下列函數中，有下確界的所有函數是 ________． ① f(x)＝ sinx； ② f(x)＝ lgx； ③ f(x)＝ ex； ④ f(x)＝????? 1 (x0)0 (x＝ 0)－ 1 (x－ 1) 解析： ∵ sinx≥ － 1， ∴ f(x)＝ sinx 的下確界為－ 1，即 f(x)＝ sinx 是有下確界的函數； ∵ f(x)＝ lgx 的值域為 (－ ∞ ，＋ ∞ )， ∴ f(x)＝ lgx 沒有下確界； ∴ f(x)＝ ex的值域為 (0，＋ ∞ )， ∴ f(x)＝ ex 的下確界為 0，即 f(x)＝ ex 是有下確界的函數； ∵ f(x)＝????? 1 (x0)0 (x＝ 0)－ 1 (x－ 1)的下確界為－ 1.∴ f(x)＝????? 1 (x0)0 (x＝ 0)－ 1 (x－ 1)是有下確界的函數． 答案： ①③④ 6．已知函數 f(x)＝ x2， g(x)＝ x－ 1. (1)若存在 x∈ R 使 f(x)bg(x)，求實數 b 的取值范圍； (2)設 F(x)＝ f(x)－ mg(x)＋ 1－ m－ m2，且 |F(x)|在 [0,1]上單調遞增，求實數 m的取值范圍 . 解： (1) x∈ R， f(x)bg(x x∈ R， x2－ bx＋ b ＝ (－ b)2－ 4b b0或 b4.(2)F(x)＝ x2－ mx＋ 1－ m2， Δ＝ m2－ 4(1－ m2)＝ 5m2－ 4， ① 當 Δ≤ 0 即－ 2 55 ≤ m≤ 2 55 時，則必需 ??? m2≤ 0－ 2 55 ≤ m≤ 2 55－ 2 55 ≤ m≤ 0. ② 當 Δ0即 m－ 2 55 或 m2 55 時，設方程 F(x)＝ 0 的根為 x1， x2(x1x2)，若m2≥ 1，則 x1≤ 0. ????? m2≥ 1F(0)＝ 1－ m2≤ 0m≥ 2. 若 m2≤ 0，則 x2≤ 0， ????? m2≤ 0F(0)＝ 1－ m2≥ 0－ 1≤ m－ 2 55 .綜上所述：－ 1≤ m≤ 0 或 m≥ 2. B 組 1． (2022 年山東東營模擬 )下列函數中，單調增區(qū)間是 (－ ∞ ， 0]的是 ________． ① y＝－ 1x ② y＝－ (x－ 1) ③ y＝ x2－ 2 ④ y＝－ |x| 解析： 由函數 y＝－ |x|的圖象可知其增區(qū)間為 (－ ∞ ， 0]． 答案： ④ 2．若函數 f(x)＝ log2(x2－ ax＋ 3a)在區(qū)間 [2，＋ ∞ )上是增函數，則實數 a 的取值范圍是 ________． 解析： 令 g(x)＝ x2－ ax＋ 3a，由題知 g(x)在 [2，＋ ∞ )上是增函數，且 g(2)0. ∴????? a2≤ 2，4－ 2a＋ 3a0，∴ － 4a≤ ： － 4a≤ 4 3．若函數 f(x)＝ x＋ ax(a0)在 (34，＋ ∞ )上是單調增函數，則實數 a 的取值范圍 __． 解析： ∵ f(x)＝ x＋ ax(a0)在 ( a，＋ ∞ )上為增函數， ∴ a≤ 34， 0a≤ 916. 答案： (0， 916] 4． (2022 年高考陜西卷改編 )定義在 R 上的偶函數 f(x)，對任意 x1， x2∈ [0，＋∞ )(x1≠ x2)，有 f(x2)－ f(x1)x2－ x10，則下列結論正確的是 ________． ① f(3)f(－ 2)f(1) ② f(1)f(－ 2)f(3) ③ f(－ 2)f(1)f(3) ④ f(3)f(1)f(－ 2) 解析： 由已知 f(x2)－ f(x1)x2－ x10，得 f(x)在 x∈ [0，＋ ∞ )上單調遞減，由偶函數性質得 f(2)＝ f(－ 2)，即 f(3)f(－ 2)f(1)． 答案： ① 5． (2022 年陜西西安模擬 )已知函數 f(x)＝????? ax (x0)，(a－ 3)x＋ 4a (x≥ 0) 滿足對任意x1≠ x2，都有 f(x1)－ f(x2)x1－ x20 成立，則 a 的取值范圍是 ________． 解析： 由題意知， f(x)為減函數，所以????? 0a1，a－ 30，a0≥ (a－ 3) 0＋ 4a，解得 0a≤ 14. 6． (2022 年寧夏石嘴山模擬 )函數 f(x)的圖象是如下圖所示的折線段 OAB，點 A 的坐標為 (1,2)，點 B 的坐標為 (3,0)，定義函數 g(x)＝ f(x)(x－ 1)，則函數 g(x)的最大值為 ________． 解析： g(x)＝????? 2x(x－ 1) (0≤ x1)，(－ x＋ 3)(x－ 1) (1≤ x≤ 3)， 當 0≤ x1 時，最大值為 0；當 1≤ x≤ 3 時， 在 x＝ 2 取得最大值 ： 1 7． (2022 年安徽合肥模擬 )已知定義域在 [－ 1,1]上的函數 y＝ f(x)的值域為 [－ 2,0]，則函數 y＝ f(cos x)的值域是 ________． 解析： ∵ cos x∈ [－ 1,1]，函數 y＝ f(x)的值域為 [－ 2,0]， ∴ y＝ f(cos x)的值域為 [－ 2,0]． 答案： [－ 2,0] 8．已知 f(x)＝ log3x＋ 2， x∈ [1,9]，則函數 y＝ [f(x)]2＋ f(x2)的最大值是 ________． 解析： ∵ 函數 y＝ [f(x)]2＋ f(x2)的定義域為 ????? 1≤ x≤ 9，1≤ x2≤ 9， ∴ x∈ [1,3]，令 log3x＝ t， t∈ [0,1]， ∴ y＝ (t＋ 2)2＋ 2t＋ 2＝ (t＋ 3)2－ 3， ∴ 當 t＝ 1 時， ymax＝ ： 13 9．若函數 f(x)＝ loga(2x2＋ x)(a0， a≠ 1)在區(qū)間 (0， 12)內恒有 f(x)0，則 f(x)的單調遞增區(qū)間為 __________． 解析： 令 μ＝ 2x2＋ x，當 x∈ (0， 12)時， μ∈ (0,1)，而此時 f(x)0 恒成立， ∴ 0a1. μ＝ 2(x＋ 14)2－ 18，則減區(qū)間為 (－ ∞ ，－ 14)．而必然有 2x2＋ x0，即 x0 或 x－ 12.∴ f(x)的單調遞增區(qū)間為 (－ ∞ ，－ 12)． 答案： (－ ∞ ，－ 12) 10．試討論函數 y＝ 2(log12x)2－ 2log12x＋ 1 的單調性． 解： 易知函數的定義域為 (0，＋ ∞ )．如果令 u＝ g(x)＝ log12x， y＝ f(u)＝ 2u2－ 2u＋ 1，那么原函數 y＝ f[g(x)]是由 g(x)與 f(u)復合而成的復合函數，而 u＝ log12x 在 x∈ (0，＋ ∞ )內是減函數， y＝ 2u2－ 2u＋ 1＝ 2(u－ 12)2＋ 12在 u∈ (－ ∞ ， 12)上是減函數，在 u∈ (12，＋ ∞ )上是增函數．又 u≤ 12， 即 log12x≤ 12，得 x≥ 22 ； u12，得 0x 22 .由此，從下表討論復合函數 y＝ f[g(x)]的單調性： 函數 單調性 (0， 22 ) ( 22 ，＋ ∞ ) u＝ log12x f(u)＝ 2u2－ 2u＋ 1 y＝ 2(log12x)2－ 2log12x＋ 1 故函數 y＝ 2(log12x)2－ 2log12x＋ 1 在區(qū)間 (0， 22 )上單調遞減，在區(qū)間 ( 22 ，＋ ∞ )上單調遞增． 11． (2022 年廣西河池模擬 )已知定義在區(qū)間 (0，＋ ∞ )上的函數 f(x)滿足 f(x1x2)＝ f(x1)－ f(x2)，且當 x1 時， f(x)0. (1)求 f(1)的值； (2)判斷 f(x)的單調性； (3)若 f(3)＝－ 1，解不等式 f(|x|)－ 2. 解： (1)令 x1＝ x20，代入得 f(1)＝ f(x1)－ f(x1)＝ 0，故 f(1)＝ 0. (2)任取 x1， x2∈ (0，＋ ∞ )，且 x1x2，則 x1x21，由于當 x1 時， f(x)0， 所以 f(x1x2)0，即 f(x1)－ f(x2)0，因此 f(x1)f(x2)， 所以函數 f(x)在區(qū)間 (0，＋ ∞ )上是單調遞減函數． (