高等代數(shù)【北大版】(36)-資料下載頁(yè)
2024-12-07 18:39本頁(yè)面
【正文】 級(jí)子式等于 0； ? ?R A r A?? 1r?② 若 則 的不為 0的 級(jí)子式所在行 (列 ) ? ?R A r A? r就是 A行 (列 )向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組 . 167。 矩陣的秩 則 A的任意 個(gè)行向量 1r?11 12 1112nr r r na a aAa a a???????由定理 5的推論 2， 證： ? ? ? ,R A r?設(shè) 都線性相關(guān)， 從而 A的任意 級(jí)子式的行向量也 1r?線性相關(guān) . A的 級(jí)子式全為 0. 1r?下證 A至少有一個(gè) 級(jí)子式不為 0. r ? ? ,ijsnAa ??設(shè) ? ? ,R A r?因?yàn)? 所以 A有 個(gè)行向量線性無(wú)關(guān) ， r不妨設(shè) A的前 個(gè)行向量線性無(wú)關(guān) ， r 作矩陣 167。 矩陣的秩 .tr???則行列式 顯然 的行秩為 ， 1A r 從而 的列秩也為 ， 1A r不妨設(shè)在 中前 列線性無(wú)關(guān) ， 1A r11 12 1120.rr r r ra a aa a a?此即 A 的一個(gè) 級(jí)非零子式 . r若 A 的所有 級(jí)子式全為 0， 1r?所有級(jí)數(shù)大于 的子式全為 0. r則 A 的 ( ) .R A t?設(shè) 由必要性 ,不可能有 .tr? 否則 A的 級(jí)子式全為 0. r同樣 ,不可能有 .tr? 否則 A有 級(jí)子式不為 0. ( 1 )tr??167。 矩陣的秩 三、矩陣秩的計(jì)算 方法一 按定義求出 A的行 (列 )向量組的秩 . 級(jí)數(shù) . 方法二 利用定理 6， 等于 中非零子式的最大 ()R A A例 1 求下列矩陣的秩 2 1 0 3 21 2 30 3 1 2 52 3 5 ,0 0 0 4 34 7 10 0 0 0 0AB?????? ???? ? ??? ???????167。 矩陣的秩 方法三 用初等變換化 A 為階梯陣 J， 等于 ()R A J中非零行的行數(shù) . 原理： 初等變換不改變矩陣的秩； 階梯陣的秩等于其中非零行的行數(shù)． 3 2 0 5 03 2 3 6 12 0 1 5 31 6 4 1 4A??????????????例 2 求矩陣 A的秩
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