高等代數(shù)--第一章行列式-資料下載頁
2024-12-07 18:39本頁面
【正文】 ? 那么線性方程組（ 1）有解，并且解唯一，解可以通過系數(shù)表為 （ 2） 11 12 121 22 2120nnn n nna a aa a aDa a a??1212 , , ,nnDDDx x xD D D? ? ? 其中 j=1,2,…n 。 11 1 , 1 1 1 , 1 121 2 , 1 2 2 , 1 21 , 1 , 1j j nj j njn n j n n j nna a b a aa a b a aDa a b a a????????方程組有解； ?解是唯一的； ?解由公式（ 2）給出 定理中包含三個結(jié)論 證明 把方程（ 1）簡寫成 （ 3） nibxainjjij,2,1,1?????首先證明（ 2）的確是（ 1）的解 . 把（ 2）代 入第 i 個方程左端為 因為 所以 1 1 2 21nj j j n n j s s jsD b A b A b A b A?? ? ? ? ? ?111nn jij ij jjjDa a DDD????? 所以公式（ 2）確為方程（ 1）的解。 1 1 11 1 1 111111111()n n ni j j i j s sjj j sn n n ni j sj s i j sj sj s s jnni j sj s i isja D a b ADDa A b a A bDDa A b D b bDD? ? ?? ? ? ??????? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ???? 設(shè) 是方程（ 1）的另一個解，于是有 （ 4） 為了證明 我們將 A中第 k列元素的代數(shù)余子式 ，乘（ 4）中 n個恒等式，有 ),( 21 nccc ?nibca injjij ,2,11?????kkDcD?nkkk AAA , 21 ?niAbcaA ikinjjijik ,2,11?????把它們加起來，即得 （ 5） 等式右端為 按第 k列展開結(jié)果。（ 5）式左端， 上式用了定理 3 ? ??? ???niniikinjjijik AbcaA1 11kD1 1 1 1 1 1()n n n n n ni k i j j i j i k j i j i k j ki j i j j iA a c a A c a A c D c? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?1,0,nij ikiD j kaAjk???? ????于是（ 8）即為 也就是 這就說明方程組最多有一組解。 2說明方程組僅有一組解，即公式（ 2） . ? 例 解方程組 1 , 2 , ,kkD c D k n??1 , 2 , ,kk Dc k nD????????????????????????067452296385243214324214321xxxxxxxxxxxxxx? 解 系數(shù)行列式 所以方程組有唯一解 ? Cramer法則只對系數(shù)行列式不為零的情況成立，行列式為零的情況將在下一章中介紹 ? 常數(shù)項為零的方程組稱為齊次線性方程組 12342 7 , 8 1 , 1 0 8 ,2 7 , 2 7D D DDD? ? ? ?? ? ?1,1,4,3 4321 ?????? xxxx? 定理 7 如果齊次線性方程組 （ 6） 的系數(shù)行列式 D≠0， 那么它只有零解，換句話說，如果方程組（ 6）有非零解，那么必有D=0. 由 Cramer法則容易證明 . ???????????????????000221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa?????? 例 求 在什么條件下，方程組 有非零解。 ? 解 系數(shù)行列式為 所以，當(dāng) 時，方程組有非零解。 ? Cramer法則理論價值高，實際計算量很大，一般不用此法計算線性方程組。 ????????002121xxxx??1???0111 2??? ??
教學(xué)課件相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1