【正文】 例 3 計(jì)算 對行列式按第一行展開，得： ?nD2 ?1aD 21)1( Dd n??00)1(2 ?? nadD ? )1(2111 )1()1( ???? ?? nnn Ddc.00002dcdcdcbababaDn????? 解 例 3 計(jì)算 對行列式按第一行展開，得： ?nD2 ?1aD 21)1( Dd n??00)1(2 ?? nadD ? )1(2111 )1()1( ???? ?? nnn Ddc )1(2 ?? nd c D )1(2)( ??? nDdcad 解 對行列式按第一行展開，得： ?nD2 ?1aD 21)1( Dd n??)1(2 ?? nadD )1(2 ?? nd c D )1(2)( ??? nDdcad)2(22)( ??? nDdcad21)( Ddcad n ???dcbadcad n 1)( ???.)( ndcad ????遞推法 解 計(jì)算 .00002dcdcdcbababaDn?????例 3 )1(222222 )1()1( ??? ????nnnn DdcbaD 最后一行和最后列逐次向上和向左換行和換列 ,得 .)( )1(2 ??? nDbcad ◆ 行列式按行 (列 )展開是把高階行列式的計(jì)算化為低階行列式計(jì)算的重要工具 . ,1 ijnk kjkiDAa ????,1 ijnk jkikDAa ??????????.,0,1jijiij 當(dāng)，當(dāng)其中 ?三、小結(jié) ◆ 本次課的教學(xué)要求 理解克拉默法則，會(huì)使用克拉默法則求解線性方程組。 通過練習(xí)鞏固行列式的性質(zhì)和運(yùn)算。 第五節(jié) 克拉默法則 ???????????????????nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa???????????????22112222212111212111設(shè)線性方程組 , 21 不全為零若常數(shù)項(xiàng) nbbb ?則稱此方程組為 非 齊次線性方程組 。 , 21 全為零若常數(shù)項(xiàng) nbbb ?此時(shí)稱方程組為 齊次線性方程組 . 非齊次線性方組與齊次線性方程組的概念 如果線性方程組 )1(22112222212111212111???????????????????nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa???????????????的系數(shù)行列式不等于零，即 nnnnnnaaaaaaaaaD??????????212222111211?0?一、 定理 5 克拉默 (Cramer)法則 ., 332211 DDxDDxDDxDDx nn ???? ?nnjnnjjnnnjjjaaaaaaaaaaD???????????????1,1,111,111,111?????那么線性方程組 有解，并且解是唯一的，且解可以表示為 ??1jnbb?1其中： 證明 ? ? 得個(gè)方程的依次乘方程組列元素的代數(shù)余子式中第用,1, 21nAAAjD njjj ?證明 ? ? 得個(gè)方程的依次乘方程組列元素的代數(shù)余子式中第用,1, 21nAAAjD njjj ?在把 個(gè)方程依次相加，得 n)1( 11222121111111??????????????????????nnnnjnjnnnjjnnjjbxaxaxabxaxaxabxaxaxa??????????????????( ) jA1 jA1)2(111 xAankkjk ???????? ??jnkkjkj xAa ?????????? ?? 1? nnkkjkn xAa ?????????? ?? 1?,1???nkkjk Ab( ) jA2 jA2( ) njA njA,111111???????????????????????????????nkkjknnkkjknjnkkjkjnkkjkAbxAaxAaxAa ??由上一節(jié) 定理 3和定理 4可知 , ? ? .,2,1 njDDx jj ???DDxDDxDDxDDx nn ???? ,332211 ?,Dx j的系數(shù)等于上式中? ? 。0的系數(shù)均為而其余 jix i ? .jD又等式右端為于是 ?3當(dāng) 時(shí) , 方程組 有唯一的一個(gè)解 0?D ??3DDxDDxDDx nnjj ??? ,11 ??也是方程組的 解 . ??1另外，可以證明 有 ,2,1 ni ?? ??nnnnniiniinbaaabaaabaaa????????????2121111211iinii baaa ?21,0?ininjiji bDDaDDaDDa ???? ??11nnnnniiniinbaaabaaabaaa????????????2121111211iinii baaa ?21,0?得行展開按第 , 1 111 )1( ??ia 11)1( Dn ??2ia? 2221 )1()1( Dn ?? ??jjnjij Da ?? ???? )1()1( 1?nnnnin Da ?? ???? )1()1( 1?Db ni )1(1)1( ???? ,0?DbDaDaDaninninjnijni111111)1()1()1()1(???????????? ??DbDaDaDa ininjiji ????? ??11.11 ininjiji bDDaDDaDDa ????? ??例 1 用克拉默則解方程組 ??????????????????????.0674,522,963,85243214324214321xxxxxxxxxxxxxx解 6741212060311512??????D,027 ??67402125603915181???????D,81? ,1082 ??D??????????????????????.0674,522,963,85243214324214321xxxxxxxxxxxxxx6741212060311512??????D27?,27 ,27 43 ??? DD,311 ??? DDx ,422 ??? DDx .1 ,1 4433 ????? DDxDDx例 2 已知多項(xiàng)式函數(shù) 解 將 代入函數(shù) .由題設(shè)得到關(guān)于 的線性方程組 : ).(.6)2(,6)2()1()1(2,1)( 332210xfffffxxxaxaxaaxf試求處的值：在????????????? ????2,2,1,1 ?????x3210 , aaaa結(jié)論 1 如果線性方程組 的系數(shù)行列式 則 一定有解 ,且解是唯一的 . ??1??1,0?D結(jié)論 2 如果線性方程組 無解或有兩個(gè)不同的 解，則它的系數(shù)行列式必為零 . ??1二、重要結(jié)論 )1(22112222212111212111???????????????????nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa???????????????齊次線性方程組的相關(guān)定理 ? ?2000221122221211212111???????????????????nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa???????????????定理 0,0,0 21 ??? nxxx ?.)2( 的零解稱為方程組.)2(, 的非零解稱為方程組不是零解的解?????????????00031321321xxxxxxxx,0321 ??? xxx.0,1,1 231 ???? xxx???????002121xxxx.無非零解.,有零解則該齊次線性方程組只數(shù)行列式不為零若齊次線性方程組的系???????????????????000221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa???????????????必有非零解 . 另外，以后將證明：若系數(shù)行列式 0?D定理 6 齊次線性方程組有非零解的充要條件 是系數(shù)行列式等于零 . ◎ .,零解則該齊次性方程組只有數(shù)行列式不為零若齊次線性方程組的系例 3 問 取何值時(shí)，齊次方程組 ? ?? ?? ??????????????????,01,032,0421321321321xxxxxxxxx???有非零解？ ?解 ????????111132421D因?yàn)?D=0時(shí)，齊次方程組有非零解 所以 或 時(shí)齊次方程組有非零解 . 20 ?? ?? , 3??? ?? ?,23 ??? ???1. 用克拉默法則解方程組的兩個(gè)條件 (1)方程個(gè)數(shù)等于未知量個(gè)數(shù)（ 方形的 ） . (2)系數(shù)行列式不等于零 . 2. 克拉默法則建立了線性方程組的解和已知的系 數(shù)與常數(shù)項(xiàng)之間的關(guān)系 . 三、小結(jié) 3. 克拉默法則的不足或缺點(diǎn) : 一般來說 , 其計(jì)算量較大 . 第一章 行列式小結(jié) 克萊默（ Cramer）法則 二階行列式、三階行列式 n階行列式 行列式的性質(zhì) 行列式按行（列）展開 返回