【正文】 n ?? ?? ?212 ( ) ( )n 1 nD c o s n , D c o s n ,???? ? ? ?69 。c o s)2c o s (])2c o s ([ c o s)2c o s ()1c o s (c o s2???????nnnnnnD n??????????.結(jié)論成立所以對一切自然數(shù) n四、降階遞推法 例 7 計算 dcdcdcbababaDn?????20000方法 :降階 找遞推公式 . 70 解 按第 1行展開 ,有 ddcdcbabaaDn00002?????????0000)1(12????????cdcdcbababn ???)1(2)1(2 ?? ?? nn b c DadD)1(2)( ??? nDbcad71 遞推公式 2nD ? )1(21)( ?? nDbcad )2(22)(??? nDbcad??121)( ???? Dbcad n 21)( Dbcad n ???nbcad )( ??例 8 1011nD , ,? ? ? ?? ? ? ????????????? ??72 ? ? ???? ??? ? 1nn DD11101????n???????????????21)( ?? ??? nn DD ????)( 211 ??? ??? nnnn DDDD ??? )( 322 ?? ?? nn DD ?? ??)( 122 DDn ?? ?? ?解 ,)( 22 ???? ???D ?? ??1D?nnn DD ?? ?? ? 1 (1) 121 ??? ?? nnn DD ??(2) 212 ?? ?? DD(n1) 73 2222111 ???????? ???? ?????? nnnnnn DD ?)1()3()2()1( 22 ???????? ? nn??? ?).(122221 ?????????? ??????? ???? nnnnnnD ?五、加邊升階 法 121212111nnnna a aa a aDa a a????例 9 計算 74 12121212 11010101nnnnn na a aa a aa a aDa a a? ? ?????12111 1 0 01 0 1 01 0 0 1nna a a? ? ??? ??121110 1 0 00 0 1 00 0 0 1ninina a a a?? ? ????11niia????75 122 2 212121 1 11 1 11 1 1nnnn n nnx x xx x xDx x x? ? ?? ? ??? ? ?例 10 計算 122 2 21212 11 1 1 1 10 1 1 10 1 1 10 1 1 1()nnnn n nn nx x xx x xDx x x?? ? ?? ? ??? ? ?解： 76 122 2 21212 11 1 1 1 1111()nnn n nn nx x xx x xx x x?????122 2 212122 1 1 1 1000nnn n nnx x xx x xx x x??122 2 212121 1 1 1 1111nnn n nnx x xx x xx x x77 122 2 21 121 1 1121 1 1 12nnii nn n nnx x xxx x xx x x?? ? ????111( ) ( )ni i ji j i nx x x? ? ? ?????1 1 11[ 2 ( ) ] ( )nni i i ji i j i nx x x x? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?說明： 計算行列式的方法是多種多樣的，這里僅列出了比較常見的幾種方法。在計算行列式的時候，需要將行列式的有關(guān)性質(zhì)、結(jié)論以及多種方法結(jié)合起來使用，才能更容易的求出行列式的值。 78 利用分塊矩陣的廣義初等變換，可以證明以下結(jié)果： 設(shè) ABM A , B , C , D n P nCD??? ????， 是 階 方 陣 ， 是 任 一 階 方 陣則： ? A B P A P B AP BP C D C D CP D??? A B A B A AP BC D P A C P B D C CP D???? ? ?A , B , C , D n A A C = C A是 階 方 陣 ， 且 可 逆 ， , 則例 11 AB AD CBCD ??79 1A B E O A BC D CA E C D?? ?證明 ： 1ABO C A B?? ?1A D CA B??? 1A D A C A B???AD CB??A , B n ?是 階 方 陣 ， ， 明 ：為 一 實 數(shù) 證例 12 E A B E AB?? ??證明 E A A E AB E O B EEE?? ?? E A B OBE?? E A B??AE A E AB E B E OEE?????EOBAB E ??? BAE E ???E B A??EAB?? E B A??80 例 13 證明 ? ?111 TTTA A + A A ? ? ? ? ?? ?? ? ?? ?11 11 1 + TT T A A AA O A ?? ??? ? ? ?? ? ?1 1TTTA A + A+ O ? ? ? ? ??? ??? ?111 TTTA A + A A ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?1nAn ?? ?， 矩 陣是 兩 個 證階 可 逆 方 陣 是 列， ， 明 ：81 定義 行列式 的各個元素的代數(shù)余子式 所 構(gòu)成的如下矩陣 A ijA????????????????nnnnnnAAAAAAAAAA???????212221212111稱為矩陣 的 伴隨矩陣 . A167。 6 再論可逆矩陣 82 ??????????????????????nnnnnnnnAAAAAaaaaA????????1111*1111???????????????AAAAA?*EA?AA*?證明： 矩陣 的 伴隨矩陣 具有如下性質(zhì)： A**AA A A A E??83 定理 6 設(shè) A是 n階方陣 , A可逆的充分必要條件是 證 先證充分性 。 設(shè) A的伴隨矩陣為 A*,則有 EAAAAA ?? **0?A因為EAAAAAA ?? )1()1( **有 1 1 *AAA???再證必要性。 由于 A是可逆的 ,即有 A 1,使 A 1 A = E 11 ??? EAA故 11 ??? AA 0A??0A ?84 推論 設(shè) A， B是 n階方陣 , 如果 AB=E， 則 A可逆， 且 B=A1。 例 5 求方陣 2221 2 31 3 6A?????????的逆矩陣。 解 因為 02 ??A，所以 A1存在 ,先求 A的伴隨矩陣 A* A11=3, A12=3, A13=1, A21=6, A22=10, A23=4, A31=2, A32=4, A33=2 3 6 23 10 41 4 2*A?????? ? ??????13 6 2113 10 421 4 2*AAA??????? ? ? ??????85 例 6 1*1 22A A A???是 三 階 方 陣 ， ， 計 算 （ 3A)