高等代數(shù)【北大版】(36)-預覽頁
【正文】 ( , , , ) , 1 , 2 , ,i i i ina a a i s? ??且不妨設 為其一個極大無關組 . 12, , , r? ? ?于是方程組 (1)與方程組 (139。)中 ,rn?167。 矩陣的秩 矩陣的行秩與矩陣的列秩統(tǒng)稱為 矩陣的秩 ， 記作 秩 A 或 、 ()ra nk A ( ).RA定義 注 ② 設 ，則 ? ?ijsnAa ?? ( ) min( , ) .R A s n?若 則稱 A為 行満秩的 ； ( ) ,R A s?若 則稱 A為 列満秩的 . ( ) ,R A n?① 若 ，則 0A? ( ) 0 .RA ?167。 矩陣的秩 ?若 n ＝ 1，由 知， 0A ?對 n 作數(shù)學歸納法 . A＝ 0， 從而 ( ) 0 1 .RA ??假若對 n－ 1 級矩陣結論成立，下證 n 級的情形 . 設 ， ()ij n nAa ?? 為 A的行向量 . 12, , , n? ? ?考察 A的第一列元素 : 1 1 2 1 1, , , na a a若它們全為零，則 ( ) 1 。 矩陣的秩 推論 1 齊次線性方程組 ( ) .R A n??( ) .R A n??11 1 12 2 121 1 22 2 21 1 2 2000nnnnn n n n na x a x a xa x a x a xa x a x a x? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ? ??()?有非零解 系數(shù)矩陣 的行列式 =0 ? ( ) ij n nAa ?? A()?只有零解 0 A??()?167。 矩陣的秩 則 A的任意 個行向量 1r?11 12 1112nr r r na a aAa a a???????由定理 5的推論 2， 證： ? ? ? ,R A r?設 都線性相關， 從而 A的任意 級子式的行向量也 1r?線性相關 . A的 級子式全為 0. 1r?下證 A至少有一個 級子式不為 0. r ? ? ,ijsnAa ??設 ? ? ,R A r?因為 所以 A有 個行向量線性無關 ， r不妨設 A的前 個行向量線性無關 ， r 作矩陣 1
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