高等代數(shù)【北大版】(36)(編輯修改稿)
2025-01-03 18:39 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 注 ② 設(shè) ，則 ? ?ijsnAa ?? ( ) min( , ) .R A s n?若 則稱 A為 行満秩的 ； ( ) ,R A s?若 則稱 A為 列満秩的 . ( ) ,R A n?① 若 ，則 0A? ( ) 0 .RA ?167。 矩陣的秩 二、矩陣秩的有關(guān)結(jié)論 定理 5 設(shè) ， 則 ()ij n nAa ??0 ( ) 。A R A n? ? ?? ?0 ( )A R A n? ? ?(降秩矩陣 ) (滿秩矩陣 ) 167。 矩陣的秩 證： 若 n ＝ 1， 則 A只有一個一維行向量 0， ( ) ,R A n??A? 的 n 個行向量線性相關(guān) . 從而 A＝ 0， 0 0 .A ??若 n ＞ 1， 則 A的行向量中至少有一個能由其余 行向量線性表出， 依次減去其余行的相應(yīng)倍數(shù)，這一行就全變成了 0. 從而在行列式 中，用這一行 A??167。 矩陣的秩 ?若 n ＝ 1，由 知， 0A ?對 n 作數(shù)學(xué)歸納法 . A＝ 0， 從而 ( ) 0 1 .RA ??假若對 n－ 1 級矩陣結(jié)論成立，下證 n 級的情形 . 設(shè) ， ()ij n nAa ?? 為 A的行向量 . 12, , , n? ? ?考察 A的第一列元素 : 1 1 2 1 1, , , na a a若它們?nèi)珵榱?，則 ( ) 1 。R A n n? ? ?若它們有一個元素不為零， 11 0,a ?不妨設(shè) 則 的第 2至 n 行減去第 1行的適當(dāng)倍數(shù)后可為 A167。 矩陣的秩 11 12 122 2200nnn n na a aaaAaa?????22 2112nn n naaaaa?????12111( 0, , , ) , 2, ,ii i n i aa a i na???? ? ? ?其中 由 知， 0A ?22 220,nn n naaaa?????由歸納假設(shè)，矩陣 的秩＜ n－ 1， 22 22nn n naaaa??????????167。 矩陣的秩 1212 1 2 211 110,n n n
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