【導(dǎo)讀】日本新日公司寄給上海寶山鋼鐵公司一箱技術(shù)資料。清單上寫明是6份，但開箱清點。卻只有5份，其中1份下落不明。為了這份資料，中、日雙方發(fā)生爭執(zhí)。方提供給對方的材料，裝箱時需要經(jīng)過幾次檢查，不會漏裝。是在確實判定材料缺少一份后才向你們提出交涉。雙方各執(zhí)一詞，相持不下。后來，寶鋼方重新做了充分的準(zhǔn)備，再與日方進行談判。他們?nèi)媪信e了資料缺失的。有5分資料的重量，而木箱上所印凈重量正好與5份資料的凈重量相等。是途中散失的，也不可能是我方丟失的，資料一定是日方漏裝了。所謂演繹論證就是具有演繹推理模式的論證。必須先了解演繹推理。這一結(jié)論，無可爭辯。演繹推理是否能從真實的前提出發(fā)推出真的結(jié)論，取決于演繹推理的有效性。物都有內(nèi)容和形式兩個方面，演繹推理也不例外。凡是符合推理規(guī)則的就是有效的，否則就是無效的。演繹推理的保真性是由其形式。們可以找到“發(fā)燒但未患肺炎”的病例。證的前提不應(yīng)包含矛盾。

　　

【正文】 估計 抽樣誤差本質(zhì)上并非錯誤，因為只有對總體的 每一個分子都進行調(diào)查（然而這就不是抽樣統(tǒng)計）才會得到與總體完全相等的數(shù)據(jù)，所以再完善的抽樣統(tǒng)計程序和方法都無法避免有抽樣誤差。 一般說來，一個隨機樣本中的頻率同總體中的百分比恰恰相當(dāng)?shù)母怕适呛艿偷?，但樣本頻率同總體的百分比靠近的概率卻 可以 是很高的。由上述討論可知，統(tǒng)計推理得出的結(jié)論不是一個和樣本頻率相等的數(shù)值，而是一個和樣本頻率相靠近的區(qū)間。由于這個緣故，人們常把對總體百分比的估計叫 “ 區(qū)間估計 ” 。這個區(qū)間通常叫置信區(qū)間，其大小與樣本的容量 N 的大小有關(guān)。 N 小時，誤差范圍便大，置信區(qū)間也就大；N 大時，誤差范圍便小 ，置信區(qū)間也就小。 如果 某選舉候選人支持率統(tǒng)計調(diào)查 有 3%的誤 134 差幅度，如果該調(diào)查的結(jié)果是選民對候選人甲 的 支持率為 52%，則 具有 95%可靠性 的 置信區(qū)間等于 52 177。 3%，即 49％－ 55％，換句話說，選民中 49％到 55％的人支持甲，這一結(jié)論的概率達到 95%。 所以，我們可以說，所有統(tǒng)計推理得到的結(jié)論，都應(yīng)是以兩個數(shù)為邊際數(shù)的區(qū)間。假若一個統(tǒng)計推理的結(jié)論不是一個區(qū)間估計，而是一個孤零零的數(shù)字，那么，我們得小心思量一番。 （三） 數(shù)據(jù)的意義 統(tǒng)計推理中 最常提及到的統(tǒng)計數(shù)字是平均數(shù)。 例如， 本公司職員月平均收入是 2500 元 我們雜志讀者的平均年齡是 34 歲 這個居民區(qū)中家庭的年均收入為 2 萬元 但是，“平均數(shù)”有三個不同的意義：均數(shù)（算術(shù)平均數(shù) mean）、中位數(shù)（ median）和眾數(shù)（ mode）。在評估依賴平均數(shù)的論證時，知道被使用的“平均數(shù)”一詞的精確意義常常是重要的。 一個擁有 N 個數(shù)字的集合 的 均數(shù)就是該集合全部數(shù)字的總和除以 N。例如 ，列出某個班級一組學(xué)生的年齡， 人數(shù) 年齡 1 18 4 19 1 20 2 21 3 22 所有人的年齡相加除以人數(shù)就得到該組人的平均年齡（均數(shù)），也即算術(shù)平均數(shù)。 平均年齡＝ 11 )223()212()201()194()181( ????????? ≈ 把集合中的數(shù)字由小 到 大排列出來，而位于正中間 的 那個數(shù)字便是該集合的中位數(shù)。 上列年齡表的數(shù)字集合可寫為｛ 18,19,19,19,19,20,21,21,22,22,22｝，一共有 11 個數(shù)，第 6 個便是中位數(shù)，即 20。 如果 N 是偶數(shù)的話，中位數(shù)便等于正中間那兩個數(shù)字 的 平均數(shù)，例如 ｛ 2, 5, 5, 8, 10, 12｝ 的中位數(shù)就是 (5＋ 8)247。 2 = 。一個中位數(shù)比平均數(shù)優(yōu)勝的地方是前者不會受因某些異常情況而出現(xiàn)的極端數(shù)值 （ 它對于所要研究的對象不具代表性）的不必要影響。譬如，由于一些不尋常的情況，數(shù)據(jù) ｛ 2, 5, 5, 8, 10｝ 改變成 ｛ 2, 5, 5, 8, 100｝ ，這個數(shù)據(jù)的 均數(shù)會由 6 增加到 24，但中位數(shù)就不受這個異常情況所影響而維持在 5 不變。 眾數(shù)是以最大頻率出現(xiàn)的那個值。例如，上表中出現(xiàn)次數(shù)最多（ 4 次）的年齡是 19 歲。而在｛ 2, 5, 5, 8, 10, 12｝中，眾數(shù)是 5，因為它出現(xiàn)的頻率最高。 在年齡例子中，均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)相互 不同，但很接近。但是，當(dāng)在這 135 些不同的平均數(shù)值之間存在重大差距時，歸納的問題就出現(xiàn)了。例如，關(guān)于薪水問題的平均數(shù)。 職 位 人 數(shù) 年 薪 (人民幣元 ) 經(jīng)理 1 275000 高級主管 2 150000 主管 2 80000 高級工程師 1 65000 （均數(shù)） 工程師 4 55000 高級繪圖員 1 45000 （中位數(shù)） 繪圖員 10 30000 （眾數(shù)） 該公司有 21 個職員，年總薪酬額為 1365000 元，均數(shù)是 1365000/21，即65000 元；年薪中位數(shù)為 45000 元，因為有 10 個職員的年薪比這多， 10 個比這少；由于掙 30000 元的人數(shù)最多，所以該數(shù)值是眾數(shù)。這三個數(shù)值都表示該公司的平均年薪酬，但是在不同的意義上。平均數(shù)使用的目的不同，不同的數(shù)字可能被引證作為一個論證的基礎(chǔ)。比如，高級工程師要求提高薪水，經(jīng)理可能回答說，他的 薪水早已超過平均水平（在中位數(shù)和眾數(shù)的意義上），因此不能再高了。如果繪圖員提出同樣的要求，經(jīng)理也許回應(yīng)說，他們現(xiàn)在已掙到公司的平均薪水（在眾數(shù)的意義），而對于繪圖員來說，掙到平均薪水就是很不錯的了。假如公司之外的人認(rèn)為，該公司付的只是維持生活的工資，那么經(jīng)理可以回應(yīng)說，本公司的平均工資是非常高的 65000 元。經(jīng)理的所有回答都是真的，但如果讀者或聽者不能熟練地區(qū)別“平均數(shù)”的各種意義，那么，他或許被經(jīng)理的論證所說服。這就表明，三種平均數(shù)有不同的功用。 當(dāng)然有可能存在三種平均數(shù)是同數(shù)值的情況。這就是對應(yīng)于隨機現(xiàn) 象的數(shù)據(jù)組。例如，成年男女的高度，某個區(qū)域的風(fēng)速，某種照明燈泡或汽車輪胎的使用壽命，某種牙膏或洗發(fā)精的周銷售量等隨機樣本的結(jié)果。那些對應(yīng)于這些現(xiàn)象的數(shù)據(jù)通常接近正態(tài)分布，它在圖表上的曲線呈鐘形。 統(tǒng)計推理是一種有力而常用的論證方法。但 不談取樣方 法 ，不 言 樣本容量，不考慮誤差范圍， 不澄清數(shù)字含義 ， 都可能使推理變成謬誤或失去意義。 二、統(tǒng)計謬誤 數(shù)字和圖表本身不會說謊，但人們有可能利用它們說謊。面對統(tǒng)計資料和論證，我們應(yīng)該經(jīng)常提出 5 個批判性問題： ？ —— 驗證資料來源的正當(dāng)性和權(quán)威性； ？ —— 檢驗樣本； 3.遺漏了什么？ —— 揭示相關(guān)因素和比較基礎(chǔ)； ？ —— 洞察概念的不同解釋對得出結(jié)論的關(guān)鍵影響； ？ —— 揭露統(tǒng)計數(shù)據(jù)賴以建立的未經(jīng)證實的假設(shè)。 136 （一） 忽略相關(guān)變量 美國與西班牙交戰(zhàn)期間，紐約曾出現(xiàn)這樣的宣傳口號：“離開紐約，去參加軍隊，因為在軍隊比呆在紐約更安全！”原來，證明這樣的結(jié)論有統(tǒng)計上的根據(jù)：美國海軍的死亡率是 9?，而紐約市居民的死亡率是 16?。這兩個數(shù)據(jù)的對比實際上沒有意義，因為忽略了決定死亡率的很多變量。海軍由那些體格健壯的年輕人組成，而紐約居民 中包括了嬰兒、老人和病人。后者在哪里都有較高的死亡率。因此，兩個數(shù)據(jù)根本不能相比，更不用說符合參軍標(biāo)準(zhǔn)的人在海軍會比在其他地方有更高的存活機會。 （二） 遺漏信息的數(shù)字 我們的計算機銷售市場份額增加了 50％，而我們的對手只增加了 25％。 本市兇殺案比去年增長了 67％。 這兩個例子，都使用了正確的百分比。然而，它們卻遺漏了一件重要的信息即百分比所基于的絕對數(shù)字。如果想暗示隱含結(jié)論：我們的業(yè)績更好或犯罪浪潮席卷本市，那是不適當(dāng)?shù)摹Ｒ苍S我們的計算機銷售是從原來所占市場份額的 2％提高到了 3％，而對手是從原來所 占的 60％提高到了 75％。孰優(yōu)孰劣？假如我們知道所謂兇殺案的增長只不過是從 3件增加到 5件，你心中的石頭準(zhǔn)會落回到地上了。所以，在遇到百分比的時候，應(yīng)該仔細想一想，該百分比所憑借的數(shù)字是什么？一旦對手拿百分比進行比較，你更要對此當(dāng)心。 利用百分比眩人耳目，還有另一種常見的方式：選取便利合用的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)。如果想 使數(shù)據(jù)大得駭人，只需把它表現(xiàn)成某個小數(shù)字的百分?jǐn)?shù)；反之，如果想讓數(shù)據(jù)微不足道， 只需把它變成某個大數(shù)字的百分?jǐn)?shù)。表面的龐大和微小都是有奧秘在里邊的： 假若有 785名心理醫(yī)生都對精神失常的被 告表示支持，便有充分的理由讓我們也對其表示支持。 今年有 ，我們汽車公司最好的年頭到底來了。 拳擊并不如其他體育項目危險。這是因為一項與體育有關(guān)的死亡統(tǒng)計顯示，該市棒球的死亡人數(shù)為 43人，在死亡率方面領(lǐng)先于足球（ 22人）和拳擊（ 21人）。 這些數(shù)字，有的盡力求大，有的著力求小，有的努力求準(zhǔn)，目的都不外讓你印象深刻。但是實際上，我們可以發(fā)現(xiàn)許多疑點。難道不需要知道有多少心理醫(yī)生接到了調(diào)查表，多少名做出了回答，他們的合格程度怎樣？增長用萬的百分?jǐn)?shù)會不會更有意義？很可能銷售量不過是從 ，而其他汽車的銷售量比它不知要大出多少倍。不了解參加這些體育項目的運動員人數(shù)便去計算百分?jǐn)?shù)，誰知道拳擊手的總數(shù)是否比棒球手的總數(shù)低出許多？ （三） 樣本偏頗 在統(tǒng)計推理中，違反抽取隨機性標(biāo)準(zhǔn)和應(yīng)具有代表性要求的樣本是偏頗的。一個為人們所津津樂道的、聞名全世界的例子是 1936 年《文學(xué)文摘》（ Literary Digest）因一個統(tǒng)計推理謬誤的慘敗。該刊 成功地預(yù)測了 1924 年、 1928 年和 1932 年美國總統(tǒng)的選舉結(jié)果，使其名聲大振?！段膶W(xué)文摘》的方法創(chuàng)新在于將局部性民意測驗推廣到全國。其抽 樣調(diào)查的樣本框來源于電話號碼簿和汽車登記記錄 。 1936 年， 擁有 1000 萬訂閱者的 《文學(xué)文摘》 137 共發(fā)出 2020 多萬張選票，回收 237 萬張選票，預(yù)測 蘭登與羅斯福的票數(shù)比是 370:161，該刊 根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果宣布：蘭登將擊敗羅斯福！但投票結(jié)果是，羅斯福以 2775 萬票贏得了 46個州，比對手蘭登多 1107 萬張選票，選舉人票是 523 票對 8 票。這次預(yù)測的失敗使《文學(xué)文摘》的信譽一落千丈， 并因耗費當(dāng)時來說數(shù)目不小的近百萬美元而最終關(guān)門大吉 。 后來的大學(xué)論文和報社評論員發(fā)現(xiàn)， 1936 年有能力購買電話和訂閱雜志的人并不能真正代表選民， 樣本偏向了與一般人相比具有高收入、受過良好教育、信息來源廣、靈敏度更高、舉止優(yōu)雅、行為保守、更多固定習(xí)慣等特點的群體。后來還證實，他們中的許多人是共和黨的選民。所以，人們不無諷刺地說，該樣本選擇了蘭登，而選民心理卻想著羅斯福。我們由此得到的教益是，依據(jù)通過雜志甚至互聯(lián)網(wǎng)得到的統(tǒng)計數(shù)據(jù)進行推理時，一定要反復(fù)思考樣本的代表性，以得到一個與樣本代表的范圍相稱的結(jié)論。 （四） 樣本太小 來看一看被從事社會學(xué)專業(yè)的評論者認(rèn)為是“ 弱智的一塌糊涂的一則新聞”。 記者昨日從天津市心理衛(wèi)生協(xié)會獲悉，本市對高中學(xué)生性心理進行的最 新調(diào)查顯示， %以上的“學(xué)生情侶”存在擁抱、接吻現(xiàn)象， %以上存在同居現(xiàn)象 !負責(zé)此次調(diào)查的天津市心理咨詢職業(yè)技能培訓(xùn)中心教務(wù)主任李軍表示，學(xué)校性教育存在的不足是引發(fā)青少年出現(xiàn)性心理、性生理問題的主要原因，而家長和學(xué)校聯(lián)手就能取得事半功倍的效果。 據(jù)稱，此次調(diào)查了本市某高中兩個班級共 89 人，其中男生 53 人，女生 36 人，年齡在 16－ 17 歲。 評論者指出，不過一所學(xué)校的調(diào)查，不過 89 個樣本，竟然也敢拿來說事，別的不說，不同學(xué)校的情況千差萬別，光是那些好的學(xué)校和差的學(xué)校就有明顯的差別，這個調(diào)查 抽取的高中是什么性質(zhì)的，辦學(xué)質(zhì)量如何，校風(fēng)如何，這些都會直接影響調(diào)查的結(jié)果，而且調(diào)查的結(jié)果根本就不能用來推論總體，說天津高中生如何如何的。其實，那么小的樣本量，用來做推論性的論斷，只有兩個字評價 —— “垃圾”，我相信任何學(xué)過統(tǒng)計，學(xué)過抽樣的人都會和我有同感。 （五） 賭徒謬誤 根據(jù)一個事件在最近的過去不如期望的那樣經(jīng)常出現(xiàn)，推斷最近的將來它出現(xiàn)的概率將會增加。一個賭徒在輸?shù)魩状沃?，加大賭注，以期在“應(yīng)該”要發(fā)生的事件到來時大撈一把。然而，賭徒可能輸?shù)酶鼞K。賭徒的錯誤在于誤解了“大數(shù)定律”或“平均定律”。前述關(guān) 于概率的頻率解釋告訴我們，隨機事件的發(fā)生頻率具有穩(wěn)定性。在大量重復(fù)進行同一試驗時，這種頻率總是接近于某個常數(shù)。當(dāng)試驗次數(shù)足夠時，隨機事件發(fā)生的頻率與它們的概率將無限接近。但是，這種概率只是一個長的過程或趨勢的性質(zhì)。賭徒?jīng)]有理解，比如，拋擲硬幣出現(xiàn)正面是一個獨立事件，即上一次發(fā)生的事件對下一次事件毫無影響。即使硬幣正面朝下出現(xiàn)了 6 次，再拋擲時硬幣正面朝上的概率仍是 1/2。當(dāng)一個醫(yī)生接待一個病人時，經(jīng)過檢查程序之后，醫(yī)生對其家屬說，病人的病很嚴(yán) 138 重， 10 有 9 死。當(dāng)病人的家屬被嚇得夠嗆時，醫(yī)生又不緊不慢地說，但您們 很幸運，因為您們遇到了我，我之前所看過的這種病人已有 9 個死掉了。但是，病人的家屬有理由得到寬慰嗎？ （六） 令人誤解的平均數(shù) 使用平均數(shù)有很大的玄機。當(dāng)人們希望數(shù)據(jù)較大時，就可能使用算術(shù)平均數(shù)。而不希望這樣時，可能使用中位數(shù)或眾數(shù)。美國《時代》雜志（ 1954 年）在描述該雜志的新訂閱者時寫道，“他們的平均年齡（中位數(shù)）為 34 歲，家庭平均年收入為 7270 美元”。之前對舊《時代》讀者的調(diào)查發(fā)現(xiàn)，“平均年齡（中位數(shù)）為 41歲??平均收入為 9535美元??”。令人疑惑的是，兩次談到年齡時，都明言指的是中位數(shù)，而關(guān)于收入 卻不指出是哪種平均數(shù)。也許這里使用的是均值，以便利用高收入讀者群來達到吸引廣告商的目的。當(dāng)你有一天打算應(yīng)聘某一公司時，看到招聘宣傳材料上關(guān)于該機構(gòu)員工的平均工資不低的信息時，可不要急于眼熱心跳。如果這個數(shù)是中位數(shù)，你可以獲得有用的信息：一半員工賺得比它多，一半比它少。如果是均值，則根本沒有什么意義。它可能既掩蓋了多數(shù)員工的低收入，又隱瞞了所有者以巨額薪金形式抽取的利潤。 （七） 精確度謬誤 根據(jù)抽樣誤差理論，一個統(tǒng)計推論的結(jié)論一定是一個區(qū)間估計。如果你發(fā)現(xiàn)一個統(tǒng)計推論