20xx屆高中數(shù)學(理科)【統(tǒng)考版】一輪復習課時作業(yè)87立體幾何中的向量方法(解析版)-資料下載頁
2025-04-03 02:48本頁面
【正文】 λ2，－λ)．設平面BEF的法向量為m＝(x′，y′，z′)，因為＝(0，－a，a)，＝(－b,0，b)，所以，所以，所以x′＝y(tǒng)′＝z′，取m＝(1,1,1)．因為二面角B－EF－D的余弦值為，所以＝＝，所以λ2－λ＋1＝0，由于Δ＝－30，所以不存在正實數(shù)λ，使得二面角B－EF－D的余弦值為.6．解析：(1)連接OC，因為CB＝CD，O為BD中點，所以CO⊥BD.又AO⊥平面BCD，所以AO⊥OB，AO⊥OC.以{，}為基底，建立空間直角坐標系O－xyz.因為BD＝2，CB＝CD＝，AO＝2，所以B(1,0,0)，D(－1,0,0)，C(0,2,0)，A(0,0,2)．因為E為AC的中點，所以E(0,1,1)．則＝(1,0，－2)，＝(1,1,1)，所以|cos〈，〉|＝＝＝.因此，直線AB與DE所成角的余弦值為.(2)因為點F在BC上，BF＝BC，＝(－1,2,0)，所以＝＝.又＝(2,0,0)，故＝＋＝.設n1＝(x1，y1，z1)為平面DEF的一個法向量，則即取x1＝2，得y1＝－7，z1＝5，所以n1＝(2，－7,5)．設n2＝(x2，y2，z2)為平面DEC的一個法向量，又＝(1,2,0)，則即取x2＝2，得y2＝－1，z2＝－1，所以n2＝(2，－1，－1)．故|cosθ|＝＝＝.所以sinθ＝＝.7．解析：(1)證明：因為PD⊥底面ABCD，所以PD⊥，所以AD⊥⊥平面PDC.因為AD∥BC，AD?平面PBC，所以AD∥平面PBC.由已知得l∥AD.因此l⊥平面PDC.(2)以D為坐標原點，的方向為x軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系D－(0,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，P(0,0,1)，＝(0,1,0)，＝(1,1，－1)．由(1)可設Q(a,0,1)，則＝(a,0,1)．設n＝(x，y，z)是平面QCD的法向量，則即可取n＝(－1,0，a)．所以cos〈n，〉＝＝.設PB與平面QCD所成角為θ，則sinθ＝＝.因為≤，當且僅當a＝1時等號成立，所以PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值為. 10
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