20xx屆高中數(shù)學(xué)(理科)【統(tǒng)考版】一輪復(fù)習(xí)課時(shí)作業(yè)87立體幾何中的向量方法(解析版)-資料下載頁(yè)
2025-04-03 02:48本頁(yè)面
【正文】 λ2，－λ)．設(shè)平面BEF的法向量為m＝(x′，y′，z′)，因?yàn)椋?0，－a，a)，＝(－b,0，b)，所以，所以，所以x′＝y(tǒng)′＝z′，取m＝(1,1,1)．因?yàn)槎娼荁－EF－D的余弦值為，所以＝＝，所以λ2－λ＋1＝0，由于Δ＝－30，所以不存在正實(shí)數(shù)λ，使得二面角B－EF－D的余弦值為.6．解析：(1)連接OC，因?yàn)镃B＝CD，O為BD中點(diǎn)，所以CO⊥BD.又AO⊥平面BCD，所以AO⊥OB，AO⊥OC.以{，}為基底，建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz.因?yàn)锽D＝2，CB＝CD＝，AO＝2，所以B(1,0,0)，D(－1,0,0)，C(0,2,0)，A(0,0,2)．因?yàn)镋為AC的中點(diǎn)，所以E(0,1,1)．則＝(1,0，－2)，＝(1,1,1)，所以|cos〈，〉|＝＝＝.因此，直線AB與DE所成角的余弦值為.(2)因?yàn)辄c(diǎn)F在BC上，BF＝BC，＝(－1,2,0)，所以＝＝.又＝(2,0,0)，故＝＋＝.設(shè)n1＝(x1，y1，z1)為平面DEF的一個(gè)法向量，則即取x1＝2，得y1＝－7，z1＝5，所以n1＝(2，－7,5)．設(shè)n2＝(x2，y2，z2)為平面DEC的一個(gè)法向量，又＝(1,2,0)，則即取x2＝2，得y2＝－1，z2＝－1，所以n2＝(2，－1，－1)．故|cosθ|＝＝＝.所以sinθ＝＝.7．解析：(1)證明：因?yàn)镻D⊥底面ABCD，所以PD⊥，所以AD⊥⊥平面PDC.因?yàn)锳D∥BC，AD?平面PBC，所以AD∥平面PBC.由已知得l∥AD.因此l⊥平面PDC.(2)以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D－(0,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，P(0,0,1)，＝(0,1,0)，＝(1,1，－1)．由(1)可設(shè)Q(a,0,1)，則＝(a,0,1)．設(shè)n＝(x，y，z)是平面QCD的法向量，則即可取n＝(－1,0，a)．所以cos〈n，〉＝＝.設(shè)PB與平面QCD所成角為θ，則sinθ＝＝.因?yàn)椤埽?dāng)且僅當(dāng)a＝1時(shí)等號(hào)成立，所以PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值為. 10
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