20xx屆高中數(shù)學(xué)(理科)【統(tǒng)考版】一輪復(fù)習(xí)課時(shí)作業(yè)87立體幾何中的向量方法(解析版)(參考版)
2025-04-03 02:48本頁面
【正文】 所以EA⊥AB，EA⊥AD，又AB∩AD＝A，所以EA⊥平面ABCD，又EA∥FC，所以FC⊥平面ABCD.設(shè)AB＝a，BC＝b，則D(0,0,0)，F(xiàn)(0，a，b)，E(b,0，a)，B(b，a,0)，則＝(b,0，a)，＝(0，a，b)．設(shè)平面DEF的法向量為n＝(x，y，z)，則，所以，取x＝1，因?yàn)椋剑溅?，所以z＝－λ，y＝λ2，則n＝(1，λ2，－λ)．設(shè)平面BEF的法向量為m＝(x′，y′，z′)，因?yàn)椋?0，－a，a)，＝(－b,0，b)，所以，所以，所以x′＝y(tǒng)′＝z′，取m＝(1,1,1)．因?yàn)槎娼荁－EF－D的余弦值為，所以＝＝，所以λ2－λ＋1＝0，由于Δ＝－30，所以不存在正實(shí)數(shù)λ，使得二面角B－EF－D的余弦值為.6．解析：(1)連接OC，因?yàn)镃B＝CD，O為BD中點(diǎn)，所以CO⊥BD.又AO⊥平面BCD，所以AO⊥OB，AO⊥OC.以{，}為基底，建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz.因?yàn)锽D＝2，CB＝CD＝，AO＝2，所以B(1,0,0)，D(－1,0,0)，C(0,2,0)，A(0,0,2)．因?yàn)镋為AC的中點(diǎn)，所以E(0,1,1)．則＝(1,0，－2)，＝(1,1,1)，所以|cos〈，〉|＝＝＝.因此，直線AB與DE所成角的余弦值為.(2)因?yàn)辄c(diǎn)F在BC上，BF＝BC，＝(－1,2,0)，所以＝＝.又＝(2,0,0)，故＝＋＝.設(shè)n1＝(x1，y1，z1)為平面DEF的一個(gè)法向量，則即取x1＝2，得y1＝－7，z1＝5，所以n1＝(2，－7,5)．設(shè)n2＝(x2，y2，z2)為平面DEC的一個(gè)法向量，又＝(1,2,0)，則即取x2＝2，得y2＝－1，z2＝－1，所以n2＝(2，－1，－1)．故|cosθ|＝＝＝.所以sinθ＝＝.7．解析：(1)證明：因?yàn)镻D⊥底面ABCD，所以PD⊥，所以AD⊥⊥平面PDC.因?yàn)锳D∥BC，AD?平面PBC，所以AD∥平面PBC.由已知得l∥AD.因此l⊥平面PDC.(2)以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D－(0,0,0)，C(0,1,
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