20xx屆高中數(shù)學(xué)(理科)【統(tǒng)考版】一輪復(fù)習(xí)課時(shí)作業(yè)87立體幾何中的向量方法(解析版)-文庫吧資料
2025-04-03 02:48本頁面
【正文】 0)，B(1,1,0)，P(0,0,1)，＝(0,1,0)，＝(1,1，－1)．由(1)可設(shè)Q(a,0,1)，則＝(a,0,1)．設(shè)n＝(x，y，z)是平面QCD的法向量，則即可取n＝(－1,0，a)．所以cos〈n，〉＝＝.設(shè)PB與平面QCD所成角為θ，則sinθ＝＝.因?yàn)椤?，?dāng)且僅當(dāng)a＝1時(shí)等號(hào)成立，所以PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值為. 10 。連接AE，則△ABE為等邊三角形，又G為BE的中點(diǎn)，∴AG⊥BE.∵BE∩CB＝B，∴AG⊥平面BCE.∵AG?平面ACG，∴平面ACG⊥平面BCE.(2)由(1)知，AD⊥平面ABEF，AG⊥BE，∴AG，AF，AD兩兩垂直．以A為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)AB＝2，則BC＝，A(0,0,0)，G(，0,0)，C，B(，－1,0)．設(shè)m＝(x，y，z)為平面ABC的法向量．由得取x＝1，得y＝，z＝0，∴m＝(1，0)是平面ABC的一個(gè)法向量，同理可得平面ACG的一個(gè)法向量為n＝(0,2，)，∴cos〈m，n〉＝＝＝，結(jié)合圖形知，二面角B－CA－G為銳二面角，故二面角B－CA－G的余弦值為.3．解析：(1)在題圖1△ABC中，D，E分別為AC，AB的中點(diǎn)，所以DE∥⊥BC，所以DE⊥AC.在題圖2中，DE⊥A1D，DE⊥DC，又A1D∩DC＝D，所以DE⊥平面A1CD.又DE∥BC，所以BC⊥平面A1CD.又BC?平面A1BC，所以平面A1CD⊥平面A1BC.(2)由(1)知DE⊥?平面BCDE，所以平面A1CD⊥平面BCDE，易知平面A1CD∩平面BCDE＝DC.在正三角形A1CD中過A1作A1O⊥CD，垂足為O，則A1O⊥平面BCDE.分別以CD，梯形BCDE的中位線，OA1所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A1(0,0，)，B(1,4,0)，C(1,0,0)，E(－1,2,0)．＝(1,0，－)，＝(1，－2，)，＝(2,2,0)．設(shè)平面A1BE的法向量n＝(x1，y1，z1)，則，取n＝(1，－1，－)．設(shè)直線A1C與平面A1BE所成角
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