【文章內容簡介】 通過 同步皮帶 來 帶動小車運動， 以 保持擺桿平衡 [12]。 直線一級倒立擺系統(tǒng)硬件組成 如下 ： （ 1）伺服電機 在自動控制系統(tǒng)中作為執(zhí) 行元件 ， 又 可 稱為執(zhí)行電動機，它 可以 將輸入的電壓信號變換成轉軸的角位移或者角速度輸出。 通過 改變控制電壓 來改 變伺服電機的轉速和轉向。 （ 2） 編碼器 編碼器有兩種形式：增量式編碼器和絕對編碼器。 是 作為檢測轉速、線速度、角速度、線位移、角位移的一種傳感器，精度高 、 可靠 好 ， 因此 應用非常廣泛。 （ 3） 限位開關 又稱 行程開關 ， 可以安裝在相對靜止的物體上或者運動的物體上。當動物接近靜物時，開關的連桿驅動開關的接點引起接點分斷。由開關接點開、合狀態(tài)的改變去控制電路和機構的動作。 （ 4） 運動控制器 直線一級倒立擺數學模型 系統(tǒng)仿真就是通過對系統(tǒng)模型的分析來研究真實系統(tǒng)的特性。所謂的真實系統(tǒng)，它可以是已存在的或正在設計的系統(tǒng)。因此，為了實現(xiàn)仿真，首先要采用某種方法對真實系統(tǒng)進行抽象，得到系統(tǒng)模型，其過程稱為系統(tǒng)建模。經過抽象所得到的系統(tǒng)模型，并不是真實系統(tǒng)的完全復現(xiàn)，而是根據研究的需要從某些方面對系統(tǒng)進行簡化提煉的結果。這樣，使得該模型既可代表真實系統(tǒng)的基本特征，又能使仿真工作簡化和得以實 現(xiàn)。 自動控制領域中，建立數學模型的方法有兩種，即機理法和實驗法。實驗法一般只用于建立輸入輸出模型，它是根據輸入和輸出的實測數據進行進行相應的處理和計算后得到系統(tǒng)的模型。其主要特點為：把研究對象視為一個黑匣子，完全從外部特性上描述它的動態(tài)性能而不需要深入了解被控對象的內部機理。實驗法在工程技術上有很大的用途，它讓研究者省去了對于現(xiàn)實環(huán)境中復雜、惡劣被控對象的深入研究，從而讓建模過程簡單易行。但是，這也并不意味著對內部過程一無所知。 這里面包括輸入信號的設計選取，輸出信號的精確檢測，數學算法的研究等等內容 [13]。機理建模就是在了解研究對象的運動規(guī)律基礎上，通過物理、化學的知識和數學手段建立起系統(tǒng)內部的輸入－狀態(tài)關系。 8 就倒立擺系統(tǒng)而言，由于其本身是自然不穩(wěn)定的系統(tǒng)，且具有非線性等特性，應用實驗法建模存在一定的困難。另一方面，經過理想化的假設、忽略一些次要影響后， 倒立擺系統(tǒng)就是一個典型的運動的剛體系統(tǒng) ，應用經典力學相關理論可以方便的建立起數學模型。這就意味著，機理建模法對于倒立擺系統(tǒng)更加合適。下面就其中的牛頓－歐拉方法展開具體論述 [14]。 忽略空氣阻力和各種摩擦之后，可 以 將直線一級倒立擺系統(tǒng)抽象成小車和勻質桿組 成的系統(tǒng) ， 如圖 3 所示。 圖 3 直線 一級倒立擺 系統(tǒng)模型 圖 在本 設計 中， 主要 應用牛頓一歐拉法對 直線一級 倒立擺 系統(tǒng) 進行數學建模。 在圖 3 中設： X 為 小車 的 位移，單位 (m)； ? 為 擺桿與垂直方向的夾角，單位 (rad)； m為 擺桿的質量，單位 (kg)； M 為 小車的質量，單位 (kg)； l為 擺桿的轉動軸心到擺桿質心的長度，單位 m； F 為 小車 受到 的作用力，單位 (N)； I 為 擺桿對重心的轉動慣量，單位 ( 2kgm? )； g 為 重力加速度 ，單位 ( 2/ms)； m M F x bx? θ 0 9 b 為 小車受 到 的滑動摩擦系數，單位 (N/m/s)； 首先，對小車進行受力分析，如圖 4 所示。 圖 4 小 車受力圖 其中， P 和 N 為小車與擺桿 之間 相互作用力的垂直和水平方向 上 的分量。其余字母同圖 3 中的說明。 分析小車水平方向所受的合力，可以得到以下方程 ： M x F b x N? ? ?? ? ? （ 21） 其次，對擺桿進行受力分析，擺桿的受力如圖 5 所示。 圖 5 擺桿隔離受力圖 )s in(22 ?lxdtdmN ?? （ 22） 即 ： M F bx? N P mg θ P 10 2c o s s i nN m x m l m l? ? ? ???? ??? ? ? （ 23） 將 等式代入上式中， 可 得系統(tǒng)的第一個運動方程 為： 2( ) c o s sinM m x b x m l m l F? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ? ? （ 24） 對擺桿垂直方向上的合力進行分析，可得方程 為 ： 22 ( c os )dp m g m l ldt ?? ? ? （ 25） 即： 2si n c osP m g m l m l? ? ? ????? ? ? （ 26） 力矩平衡方程為： s i n c o sP l N l I? ? ???? ? ? （ 27） 由于 ??? ?? ， cos cos?? ? ? ， sin sin??? ? ， 故等式前面有負號。 合并這兩個方程，約去 P 和 N， 可 得第二個運動方程 為 ： 2( ) sin c o sI m l m g l m l x? ? ?? ? ? ?? ? ? ? （ 28） 設 ??? ?? （ ? 是擺桿與垂直向上方向之間的夾角 )，假設 ? 無限趨近于零，則可以進行近似處理： cos 1??? ， sin???? ， 2( ) 0ddt? ? ，用 u 來代表被控對象的輸入力 F，線性化后兩個運動方程如下： 2()()I m l m g l m l xM m x b x m l u?? ???? ? ??? ? ? ? ? ????? ? ? ? ?? （ 29） 對上式做拉普拉斯變換，得： ????????????)()()()()()()()()(22222sUssmlssbXssXmMssm lXsm g lssmlI??? （ 210） 推導傳遞函數時 可 假設初始條件為 0。輸出為角度為 Φ，求解方程組 (210)的第一個 11 方程，可以得到： )()()(22 ssgmlmlIsX ??????? ??? （ 211） 把式 (211)代入方程組 (210)的第二個方程，得： )()()()()()()()( 222222 sUssmlssmlsssgml mlIbsssgml mlImM ????????? ????????? ??? ???? （ 212） 化簡 整理后得傳遞函數為： sqb m g lsq m g lmMsq mlIbssqmlsUs??????23242)()()()(? （ 213） 其中， 22( ) ( ) ( )q M m I m l m l??? ? ? ??? （ 214） 由 于系統(tǒng)狀態(tài)空間方程表達式為： x A x B uy C x D u??? ??????? （ 215） 對 x?? ， ??? 解代數方程， 可 得解如下： 2 2 2 22 2 22 2 2()( ) ( ) ( )()( ) ( ) ( )xxI m l b m gl I m lx x uI M m M m l I M m M m l I M m M m lm l b m gl M m m lxuI M m M m l I M m M m l I M m M m l??? ? ???? ? ????? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ? ???? ? ? ?????? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? （ 216） 式 216 為直線一級倒立擺系統(tǒng)在平衡點附近局部線性化以后得到的狀態(tài)方程。將該式寫成矩陣形式可以得到系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程為： 12 2 2 2 22 2 22 2 20 1 0 0 0()00( ) ( ) ( )0 0 0 1 0()00( ) ( ) ( )xxI ml b m gl I mlI M m Mm l I M m Mm l I M m Mm lmlb mgl M m mlI M m Mm l I M m Mm l I M m Mm l?? ? ?????? ? ? ?????? ? ? ???? ? ???? ? ? ??? ??? ? ? ?? ? ? ? ? ????? ??? ? ? ??????? ? ? ???? ??? ? ? ??????????? ? ?????? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?u? （ 217） 1 0 0 00 0 1 0xxxy????????? ? ? ??? ??? ? ? ???? ? ? ? ????????? （ 218） 由此可見，一級倒立擺實際上是一個單輸人多輸出的系統(tǒng)。只要將直線一級倒立擺的實際結構參數（ kg? ， ? ， kg? ， 34I kg m??， /b N m s??， /g m s? ）代入上面兩式，得對應系數矩陣為： A=[0 1 0 0。0 0。0 0 0 1。0 0]； B=[0。0。]； C=[1 0 0 0。0 0 1 0]； D=[0。0]； 直線一級倒立擺系統(tǒng)分析 得到系統(tǒng)的數學模型后，為 了 進一步 研究 系統(tǒng) 的 性質，需要對系統(tǒng)的特性進行分析，主要是 針 對系統(tǒng)的穩(wěn)定性、能控性及能觀性的分析。在對時不變系統(tǒng)進行定性分析時， 就需要 用到 現(xiàn)代 控制理論中的穩(wěn)定性判據、能觀性 以及 能控性判據 [15]。 直線一級倒立擺系統(tǒng)的豎直向上位置是 其 不穩(wěn)定平衡點， 若要 使直線一級倒立擺 系統(tǒng)穩(wěn)定在這個點 上，則需要 設計 出方便可行的 穩(wěn)定控制器。 若要 設計控制器穩(wěn)定系統(tǒng)， 則必須 要考慮系統(tǒng) 的 能控 性 。對于系統(tǒng)在平衡點鄰域的穩(wěn)定性 ，則 可以根據系統(tǒng)的線性模型進行分析。李雅普諾夫穩(wěn)定性判據 常 應用 于 系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析。 系統(tǒng)穩(wěn)定性分析 所謂 穩(wěn)定性 ，是指 如果系統(tǒng)由于受到擾動作用而偏離了原來的平衡狀態(tài)，當擾動 作用去除后， 若 系統(tǒng)能恢復到原來的平衡狀態(tài)，則稱該系統(tǒng)是穩(wěn)定的， 反之 該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。求解線性系統(tǒng)穩(wěn)定性問題最簡單 也最常用 的方法是求出該系統(tǒng)的所有極點， 然后 觀察 其中 13 是否含有實部大于零的極點 (不穩(wěn)定極點 )。如果 所求 極點 均小于零 ，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的， 反之 系統(tǒng)是 不 穩(wěn)定的。 調用 MATLAB 函數 中的 roots(den)或 eig(A)， 即可得出 由 傳遞函數描述的系統(tǒng) 或 狀態(tài)方程描述的系統(tǒng)的所有極點， 則 這樣就可以由得出的極點位置直接判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性了。 將實際系統(tǒng)的模型參數代入 MATLAB 中 ， 通過 仿真 計算得到傳遞函數。實際系統(tǒng)參數如下 ： m 擺桿質量 Kg M 小車質量 Kg l 擺桿轉動軸心到桿質心的長度 b 小車摩擦系數 0 .1N/m/s I 擺桿慣量 m? g 重力加速度 在 Matlab 中， 通過 拉普拉斯變換后得到的傳遞函數可以通過計算并輸入分子和分母矩陣來實現(xiàn)。 仿真程序見下： M = 。 m = 。 b = 。 I= 。 g = 。 l = 。 q = (M+m)*(I+m*l^2)(m*l)^2。 %simplifies input num = [m*l/q 0 0] den = [1 b*(I+m*l^2)/q (M+m)*m*g*l/q b*m*g*l/q 0] G=t