【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 通過(guò) 同步皮帶 來(lái) 帶動(dòng)小車運(yùn)動(dòng)， 以 保持?jǐn)[桿平衡 [12]。 直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)硬件組成 如下 ： （ 1）伺服電機(jī) 在自動(dòng)控制系統(tǒng)中作為執(zhí) 行元件 ， 又 可 稱為執(zhí)行電動(dòng)機(jī)，它 可以 將輸入的電壓信號(hào)變換成轉(zhuǎn)軸的角位移或者角速度輸出。 通過(guò) 改變控制電壓 來(lái)改 變伺服電機(jī)的轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)向。 （ 2） 編碼器 編碼器有兩種形式：增量式編碼器和絕對(duì)編碼器。 是 作為檢測(cè)轉(zhuǎn)速、線速度、角速度、線位移、角位移的一種傳感器，精度高 、 可靠 好 ， 因此 應(yīng)用非常廣泛。 （ 3） 限位開(kāi)關(guān) 又稱 行程開(kāi)關(guān) ， 可以安裝在相對(duì)靜止的物體上或者運(yùn)動(dòng)的物體上。當(dāng)動(dòng)物接近靜物時(shí)，開(kāi)關(guān)的連桿驅(qū)動(dòng)開(kāi)關(guān)的接點(diǎn)引起接點(diǎn)分?jǐn)?。由開(kāi)關(guān)接點(diǎn)開(kāi)、合狀態(tài)的改變?nèi)タ刂齐娐泛蜋C(jī)構(gòu)的動(dòng)作。 （ 4） 運(yùn)動(dòng)控制器 直線一級(jí)倒立擺數(shù)學(xué)模型 系統(tǒng)仿真就是通過(guò)對(duì)系統(tǒng)模型的分析來(lái)研究真實(shí)系統(tǒng)的特性。所謂的真實(shí)系統(tǒng)，它可以是已存在的或正在設(shè)計(jì)的系統(tǒng)。因此，為了實(shí)現(xiàn)仿真，首先要采用某種方法對(duì)真實(shí)系統(tǒng)進(jìn)行抽象，得到系統(tǒng)模型，其過(guò)程稱為系統(tǒng)建模。經(jīng)過(guò)抽象所得到的系統(tǒng)模型，并不是真實(shí)系統(tǒng)的完全復(fù)現(xiàn)，而是根據(jù)研究的需要從某些方面對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行簡(jiǎn)化提煉的結(jié)果。這樣，使得該模型既可代表真實(shí)系統(tǒng)的基本特征，又能使仿真工作簡(jiǎn)化和得以實(shí) 現(xiàn)。 自動(dòng)控制領(lǐng)域中，建立數(shù)學(xué)模型的方法有兩種，即機(jī)理法和實(shí)驗(yàn)法。實(shí)驗(yàn)法一般只用于建立輸入輸出模型，它是根據(jù)輸入和輸出的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行進(jìn)行相應(yīng)的處理和計(jì)算后得到系統(tǒng)的模型。其主要特點(diǎn)為：把研究對(duì)象視為一個(gè)黑匣子，完全從外部特性上描述它的動(dòng)態(tài)性能而不需要深入了解被控對(duì)象的內(nèi)部機(jī)理。實(shí)驗(yàn)法在工程技術(shù)上有很大的用途，它讓研究者省去了對(duì)于現(xiàn)實(shí)環(huán)境中復(fù)雜、惡劣被控對(duì)象的深入研究，從而讓建模過(guò)程簡(jiǎn)單易行。但是，這也并不意味著對(duì)內(nèi)部過(guò)程一無(wú)所知。 這里面包括輸入信號(hào)的設(shè)計(jì)選取，輸出信號(hào)的精確檢測(cè)，數(shù)學(xué)算法的研究等等內(nèi)容 [13]。機(jī)理建模就是在了解研究對(duì)象的運(yùn)動(dòng)規(guī)律基礎(chǔ)上，通過(guò)物理、化學(xué)的知識(shí)和數(shù)學(xué)手段建立起系統(tǒng)內(nèi)部的輸入－狀態(tài)關(guān)系。 8 就倒立擺系統(tǒng)而言，由于其本身是自然不穩(wěn)定的系統(tǒng)，且具有非線性等特性，應(yīng)用實(shí)驗(yàn)法建模存在一定的困難。另一方面，經(jīng)過(guò)理想化的假設(shè)、忽略一些次要影響后， 倒立擺系統(tǒng)就是一個(gè)典型的運(yùn)動(dòng)的剛體系統(tǒng) ，應(yīng)用經(jīng)典力學(xué)相關(guān)理論可以方便的建立起數(shù)學(xué)模型。這就意味著，機(jī)理建模法對(duì)于倒立擺系統(tǒng)更加合適。下面就其中的牛頓－歐拉方法展開(kāi)具體論述 [14]。 忽略空氣阻力和各種摩擦之后，可 以 將直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)抽象成小車和勻質(zhì)桿組 成的系統(tǒng) ， 如圖 3 所示。 圖 3 直線 一級(jí)倒立擺 系統(tǒng)模型 圖 在本 設(shè)計(jì) 中， 主要 應(yīng)用牛頓一歐拉法對(duì) 直線一級(jí) 倒立擺 系統(tǒng) 進(jìn)行數(shù)學(xué)建模。 在圖 3 中設(shè)： X 為 小車 的 位移，單位 (m)； ? 為 擺桿與垂直方向的夾角，單位 (rad)； m為 擺桿的質(zhì)量，單位 (kg)； M 為 小車的質(zhì)量，單位 (kg)； l為 擺桿的轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到擺桿質(zhì)心的長(zhǎng)度，單位 m； F 為 小車 受到 的作用力，單位 (N)； I 為 擺桿對(duì)重心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，單位 ( 2kgm? )； g 為 重力加速度 ，單位 ( 2/ms)； m M F x bx? θ 0 9 b 為 小車受 到 的滑動(dòng)摩擦系數(shù)，單位 (N/m/s)； 首先，對(duì)小車進(jìn)行受力分析，如圖 4 所示。 圖 4 小 車受力圖 其中， P 和 N 為小車與擺桿 之間 相互作用力的垂直和水平方向 上 的分量。其余字母同圖 3 中的說(shuō)明。 分析小車水平方向所受的合力，可以得到以下方程 ： M x F b x N? ? ?? ? ? （ 21） 其次，對(duì)擺桿進(jìn)行受力分析，擺桿的受力如圖 5 所示。 圖 5 擺桿隔離受力圖 )s in(22 ?lxdtdmN ?? （ 22） 即 ： M F bx? N P mg θ P 10 2c o s s i nN m x m l m l? ? ? ???? ??? ? ? （ 23） 將 等式代入上式中， 可 得系統(tǒng)的第一個(gè)運(yùn)動(dòng)方程 為： 2( ) c o s sinM m x b x m l m l F? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ? ? （ 24） 對(duì)擺桿垂直方向上的合力進(jìn)行分析，可得方程 為 ： 22 ( c os )dp m g m l ldt ?? ? ? （ 25） 即： 2si n c osP m g m l m l? ? ? ????? ? ? （ 26） 力矩平衡方程為： s i n c o sP l N l I? ? ???? ? ? （ 27） 由于 ??? ?? ， cos cos?? ? ? ， sin sin??? ? ， 故等式前面有負(fù)號(hào)。 合并這兩個(gè)方程，約去 P 和 N， 可 得第二個(gè)運(yùn)動(dòng)方程 為 ： 2( ) sin c o sI m l m g l m l x? ? ?? ? ? ?? ? ? ? （ 28） 設(shè) ??? ?? （ ? 是擺桿與垂直向上方向之間的夾角 )，假設(shè) ? 無(wú)限趨近于零，則可以進(jìn)行近似處理： cos 1??? ， sin???? ， 2( ) 0ddt? ? ，用 u 來(lái)代表被控對(duì)象的輸入力 F，線性化后兩個(gè)運(yùn)動(dòng)方程如下： 2()()I m l m g l m l xM m x b x m l u?? ???? ? ??? ? ? ? ? ????? ? ? ? ?? （ 29） 對(duì)上式做拉普拉斯變換，得： ????????????)()()()()()()()()(22222sUssmlssbXssXmMssm lXsm g lssmlI??? （ 210） 推導(dǎo)傳遞函數(shù)時(shí) 可 假設(shè)初始條件為 0。輸出為角度為 Φ，求解方程組 (210)的第一個(gè) 11 方程，可以得到： )()()(22 ssgmlmlIsX ??????? ??? （ 211） 把式 (211)代入方程組 (210)的第二個(gè)方程，得： )()()()()()()()( 222222 sUssmlssmlsssgml mlIbsssgml mlImM ????????? ????????? ??? ???? （ 212） 化簡(jiǎn) 整理后得傳遞函數(shù)為： sqb m g lsq m g lmMsq mlIbssqmlsUs??????23242)()()()(? （ 213） 其中， 22( ) ( ) ( )q M m I m l m l??? ? ? ??? （ 214） 由 于系統(tǒng)狀態(tài)空間方程表達(dá)式為： x A x B uy C x D u??? ??????? （ 215） 對(duì) x?? ， ??? 解代數(shù)方程， 可 得解如下： 2 2 2 22 2 22 2 2()( ) ( ) ( )()( ) ( ) ( )xxI m l b m gl I m lx x uI M m M m l I M m M m l I M m M m lm l b m gl M m m lxuI M m M m l I M m M m l I M m M m l??? ? ???? ? ????? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ? ???? ? ? ?????? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? （ 216） 式 216 為直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)在平衡點(diǎn)附近局部線性化以后得到的狀態(tài)方程。將該式寫成矩陣形式可以得到系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程為： 12 2 2 2 22 2 22 2 20 1 0 0 0()00( ) ( ) ( )0 0 0 1 0()00( ) ( ) ( )xxI ml b m gl I mlI M m Mm l I M m Mm l I M m Mm lmlb mgl M m mlI M m Mm l I M m Mm l I M m Mm l?? ? ?????? ? ? ?????? ? ? ???? ? ???? ? ? ??? ??? ? ? ?? ? ? ? ? ????? ??? ? ? ??????? ? ? ???? ??? ? ? ??????????? ? ?????? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?u? （ 217） 1 0 0 00 0 1 0xxxy????????? ? ? ??? ??? ? ? ???? ? ? ? ????????? （ 218） 由此可見(jiàn)，一級(jí)倒立擺實(shí)際上是一個(gè)單輸人多輸出的系統(tǒng)。只要將直線一級(jí)倒立擺的實(shí)際結(jié)構(gòu)參數(shù)（ kg? ， ? ， kg? ， 34I kg m??， /b N m s??， /g m s? ）代入上面兩式，得對(duì)應(yīng)系數(shù)矩陣為： A=[0 1 0 0。0 0。0 0 0 1。0 0]； B=[0。0。]； C=[1 0 0 0。0 0 1 0]； D=[0。0]； 直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)分析 得到系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型后，為 了 進(jìn)一步 研究 系統(tǒng) 的 性質(zhì)，需要對(duì)系統(tǒng)的特性進(jìn)行分析，主要是 針 對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性、能控性及能觀性的分析。在對(duì)時(shí)不變系統(tǒng)進(jìn)行定性分析時(shí)， 就需要 用到 現(xiàn)代 控制理論中的穩(wěn)定性判據(jù)、能觀性 以及 能控性判據(jù) [15]。 直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的豎直向上位置是 其 不穩(wěn)定平衡點(diǎn)， 若要 使直線一級(jí)倒立擺 系統(tǒng)穩(wěn)定在這個(gè)點(diǎn) 上，則需要 設(shè)計(jì) 出方便可行的 穩(wěn)定控制器。 若要 設(shè)計(jì)控制器穩(wěn)定系統(tǒng)， 則必須 要考慮系統(tǒng) 的 能控 性 。對(duì)于系統(tǒng)在平衡點(diǎn)鄰域的穩(wěn)定性 ，則 可以根據(jù)系統(tǒng)的線性模型進(jìn)行分析。李雅普諾夫穩(wěn)定性判據(jù) 常 應(yīng)用 于 系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析。 系統(tǒng)穩(wěn)定性分析 所謂 穩(wěn)定性 ，是指 如果系統(tǒng)由于受到擾動(dòng)作用而偏離了原來(lái)的平衡狀態(tài)，當(dāng)擾動(dòng) 作用去除后， 若 系統(tǒng)能恢復(fù)到原來(lái)的平衡狀態(tài)，則稱該系統(tǒng)是穩(wěn)定的， 反之 該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。求解線性系統(tǒng)穩(wěn)定性問(wèn)題最簡(jiǎn)單 也最常用 的方法是求出該系統(tǒng)的所有極點(diǎn)， 然后 觀察 其中 13 是否含有實(shí)部大于零的極點(diǎn) (不穩(wěn)定極點(diǎn) )。如果 所求 極點(diǎn) 均小于零 ，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的， 反之 系統(tǒng)是 不 穩(wěn)定的。 調(diào)用 MATLAB 函數(shù) 中的 roots(den)或 eig(A)， 即可得出 由 傳遞函數(shù)描述的系統(tǒng) 或 狀態(tài)方程描述的系統(tǒng)的所有極點(diǎn)， 則 這樣就可以由得出的極點(diǎn)位置直接判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性了。 將實(shí)際系統(tǒng)的模型參數(shù)代入 MATLAB 中 ， 通過(guò) 仿真 計(jì)算得到傳遞函數(shù)。實(shí)際系統(tǒng)參數(shù)如下 ： m 擺桿質(zhì)量 Kg M 小車質(zhì)量 Kg l 擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長(zhǎng)度 b 小車摩擦系數(shù) 0 .1N/m/s I 擺桿慣量 m? g 重力加速度 在 Matlab 中， 通過(guò) 拉普拉斯變換后得到的傳遞函數(shù)可以通過(guò)計(jì)算并輸入分子和分母矩陣來(lái)實(shí)現(xiàn)。 仿真程序見(jiàn)下： M = 。 m = 。 b = 。 I= 。 g = 。 l = 。 q = (M+m)*(I+m*l^2)(m*l)^2。 %simplifies input num = [m*l/q 0 0] den = [1 b*(I+m*l^2)/q (M+m)*m*g*l/q b*m*g*l/q 0] G=t