【正文】 于系統(tǒng)在平衡點鄰域的穩(wěn)定性 ，則 可以根據(jù)系統(tǒng)的線性模型進行分析。 系統(tǒng)穩(wěn)定性分析 所謂 穩(wěn)定性 ，是指 如果系統(tǒng)由于受到擾動作用而偏離了原來的平衡狀態(tài)，當(dāng)擾動 作用去除后， 若 系統(tǒng)能恢復(fù)到原來的平衡狀態(tài)，則稱該系統(tǒng)是穩(wěn)定的， 反之 該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。如果 所求 極點 均小于零 ，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的， 反之 系統(tǒng)是 不 穩(wěn)定的。 將實際系統(tǒng)的模型參數(shù)代入 MATLAB 中 ， 通過 仿真 計算得到傳遞函數(shù)。 仿真程序見下： M = 。 b = 。 g = 。 q = (M+m)*(I+m*l^2)(m*l)^2。 因此，系統(tǒng)傳遞函數(shù)的表達(dá)式為： 24 3 s s s s? ? ? ? 系統(tǒng)的開環(huán)極點為 1 ? ， 2 ?? ， 3 ?? ， 4 0s? 。 系統(tǒng) 能 控性分析 能 控性 定義：線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程為： x Ax Bu? ??，其中， x、 u 分別為 n、 r 維向量； A、 B 為滿足矩陣運算的常值 矩陣。 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程 為 ： x Ax Bu? ??， 若 0 0t? ， 0( ) (0)x t x? ，系統(tǒng)狀態(tài)方程的解為 ()0( ) ( 0 ) ( )tAt A tx t e x e B u d??? ? ? ??。 滿足上式的初始狀態(tài) (0)x ，必是能控狀態(tài)。 （ 1） 矩陣 1[0, ]CWt的秩為 n，其中， 11 0( 0 , ) Tt A T ACW t e B B e d? ? ? ????稱為 nn? 格蘭姆矩陣 。 即crankQ n?。 其中， 矩陣cQ稱為系統(tǒng)的能控變換矩陣， n 是系統(tǒng)的階次 ，cQ矩陣可以由 MATLAB控制系統(tǒng)工具箱中的 ctrb()函數(shù)自動產(chǎn)生出來。如果()crank T n? ，則系統(tǒng)完全能控。 如果 在有限時間 01[ , ]tt （ 0t 可為 0， 10tt? ） 內(nèi)，根據(jù)輸 出值 y(t)與給出的 u(t)，能夠確定系統(tǒng)的初始狀態(tài) 0()xt 的每一個分量 ， 則稱此系統(tǒng)為完全可觀測的。 由能觀性判據(jù)可知， 系統(tǒng)的可觀測性取決于 系統(tǒng) 狀態(tài)方程的 A 矩陣 和 C 矩陣， 因此可以構(gòu)造 系統(tǒng)的能觀測性 矩陣 OT ： 21, , , , TnOT C CA CA CA ??????? 上式中 的 n 為 系統(tǒng)的階次。 obsv(A， C)函數(shù) 的 調(diào)用格式為： ( , )OT obsv A C? 同理， 用 obsv(A， C)函數(shù)可求出系統(tǒng)的能觀測矩陣 OT ： ? ?????????????????????????????????8 2 8 6 2 9 0010001 4 8 2 0 0 5 5 0 7 8 2 8 3 5 6 2 9 8 8 0001100000000001, 320TCACACACT OT 矩陣的秩 ()OrankT 稱為系統(tǒng)的能觀測性指數(shù)，它的值 表示 系統(tǒng)中能觀測狀態(tài)的數(shù)目。由式子 x Ax Buy Cx Du??? ??? ???? 其中 0(0) , 0x x t?? 我們可知 ( ) 4Orank T ? ，即矩陣滿秩， 則 系統(tǒng)可觀測 的 。 綜上所述，可以得知直線一級倒立擺系統(tǒng)是一個不穩(wěn)定系統(tǒng) 但是卻 能控能觀 的 。 18 第三章 直線一級倒立擺系統(tǒng) PID 控制 PID 控制算法 目前的自動控制技術(shù)大多基于反饋的概念。測量關(guān)心的變量，與期望值相比較，用這個誤差糾正調(diào)節(jié)控制系統(tǒng)的響應(yīng)。在實際工程中，應(yīng)用最為廣泛的調(diào)節(jié)器控制規(guī)律為比例、積分、微分控制，簡稱 PID 控制，又稱 PID 調(diào)節(jié)。當(dāng)被控對象的結(jié)構(gòu)和參數(shù)不能完全掌握，或得不到精確的數(shù)學(xué)模型時，控制理論的其它技術(shù)難以采用時，系統(tǒng)控制器的結(jié)構(gòu)和參數(shù)必須依靠現(xiàn)場調(diào)試和工程師的經(jīng)驗來確定 [17] 。 圖 6 典型 PID 校正器的結(jié)構(gòu)框圖 直線一級倒立擺 PID 控制器設(shè)計 在模擬控制系統(tǒng)中，控制器最常用的控制規(guī)律是 PID 控制。系統(tǒng)由模擬 PID 控制器 KD(S)和被控對象 G(S)組成。其控制規(guī)律為 ： ?????? ??? ? dt tdeTdtteTteKtuDtIP)()(1)()(0 或?qū)懗蓚鬟f函數(shù)的形式 ： ???????? ???? sTsTKsE sUsG DIP11)( )()( 式中： PK ——比例系數(shù)； IT ——積分時間常數(shù)； DT ——微分時間常數(shù)。 PID 控制器 中的 三個參數(shù)對系統(tǒng)控制品質(zhì)方面的影響： （ 1） 比例調(diào)節(jié) (P) 比例調(diào)節(jié) (P)比例系數(shù) pK 的大小決定了比例調(diào)節(jié)器調(diào)節(jié)的快慢程度 。 20 （ 2） 積分調(diào)節(jié) (I) 積分作用可消除余差，積分常數(shù) IK 的大小決定了積分作用程度 的強弱 。 因此 ， 要恰 當(dāng)?shù)倪x擇積分常數(shù)大小。但 微分系數(shù) dK 過大會引起靜態(tài)誤差 [18]。系統(tǒng)框圖如圖 8 所示 。 考慮到輸入 ( ) 0rs? ，結(jié)構(gòu)圖可以很容易地變換成 圖 9 所示。 PID 控制器的傳遞函數(shù)為： d e n P IDn u m P IDs KsKsKsKKsKsKD IPDIPD ??????? 2)( 只需調(diào)節(jié) PID 控制器的參數(shù)，就可以得到滿意的控制效果。 在 Simulink 中建立直線一級倒立擺 的仿真 模型如圖 10 所示 。 22 圖 11 PID 參數(shù)設(shè)置 界面 先設(shè)置 PID 控制器 的一組參數(shù) ， 取 Kp=1， Ki=1， Kd=1，得到圖 12 仿真結(jié)果 。 23 圖 13 PID 控制仿真結(jié)果圖（ Kp=100， Ki=1， Kd=1） 從圖 13 中可以看出，此時閉環(huán)系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài) ， 但響應(yīng)速度 還 不夠快 ， 且振蕩次數(shù) 較 多 ， 超調(diào)量也 比較 大。 圖 14 PID 控制仿真結(jié)果圖（ Kp=100， Ki=1， Kd=10） 從圖 14 中可以看出，此時的穩(wěn)態(tài)性能相對較理想，但還不夠平滑。 仿真得到圖 15 結(jié)果： 24 圖 15 PID 控制（ Kp=100， Ki=1， Kd=20） 從圖 15 可以看出，此時的穩(wěn)態(tài)性能比較理想 。 圖 16 PID 控制（小車位置曲線） 由上圖 可以看出，由于 PID 控制器為單輸入單輸出系統(tǒng)，所以只能控制擺桿的角度，并不能控制小車的位置， 因此 小車會往一個方向運動。 實驗步驟： （ 1） 打開直線一級倒立擺 PID 控制界面如圖 17 所示：（進入 MATLAB Simulink 實 25 時 控 制 工 具箱 “Googol Education Products”打開 “Inverted Pendulum\Linear Inverted Pendulum\Linear 1Stage IP Experiment\ PID Experiments”中的 “PID Control Demo”） 圖 17 直線一級倒立擺 PID 實時控制界面 （ 2） 雙擊 “PID”模塊進入 PID 參數(shù)設(shè)置，如圖 18 所示，把仿真得到的參數(shù)輸入 PID控制器，點擊 “OK”保存參數(shù)。 (4) 點擊 運行程序，檢查電機是否上伺服。 (5) 仿真 結(jié)果如圖 19 所示 。在 施加一定干擾的情況下 ， 小車位置和擺桿角度的變化曲線如圖 20 所示 。待 干擾停止作用后，系統(tǒng)能很快 的 回到 原 平衡位置。 利用 PID 控制 方法可以滿足系統(tǒng)對擺角的控制，而小車 卻 以恒定的速度向相反的方向滑動，即 PID 控制 方法不能對小車 的 位置進行控制，最終系統(tǒng)還是不能平衡 。 本章小結(jié) 本章介紹了常規(guī) PID 控制方法，并分別設(shè)計了控制器，用 simulink 分別實現(xiàn)了建立在傳遞函數(shù)和狀態(tài)方程上的 PID 控制系統(tǒng)地仿真，得到了直線一級倒立擺各狀態(tài)變量及控制量的響應(yīng)曲線，通過仿真說明了后一種控制器的有效性。 其對象是現(xiàn)代控制理論中以 狀態(tài)空間 形式給出的線性系統(tǒng) ， 而 目標(biāo)函數(shù) 為對象狀態(tài)和控制輸入的二次型函數(shù)。 LQR 理論是現(xiàn)代控制理論中發(fā)展最早也最為成熟的一種狀態(tài)空間設(shè)計法。而且 Matlab 的應(yīng)用為 LQR 理論仿真提供了條件 ， 更為我們實現(xiàn)穩(wěn)、準(zhǔn)、快的控制目標(biāo)提供了 保障 [19]。 線性二次型最優(yōu)控制研究的系統(tǒng)是線性的或 是 可線性化的 ， 并且性能指標(biāo)是狀態(tài)變量和控制變量的二次型函數(shù)的積分。 線性二次型最優(yōu)控制問題 ：即在 線性系統(tǒng) 的控制器 的 設(shè)計 中 ， 將控制變量和狀態(tài)變量的二次型函數(shù)的積分作為性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問題。 最優(yōu)控制理論的核心主要是：通過對性能指標(biāo)的優(yōu)化以尋找可以使目標(biāo)極小的控制器。 最優(yōu)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖 21 所示。 由理論分析知，可以設(shè)計基于最優(yōu)控制的狀態(tài)調(diào)節(jié)器，使系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。 即需確定最佳反饋矩陣 K，使得 ( ) ( )u t Kx t?? 對任意初始狀態(tài) (0)x 而言均是最佳的。 對 Riccalia 方程： 1 0T T TP A A P P B R B P C Q C?? ? ? ? (44) 求解，可以得到矩陣 P，進而得到 1 TK R B P?? 。 對于不同的 Q 和 R 陣的選擇，可以得到一系列不同的 ()ut ，故 需要分析研究狀態(tài)變量的加權(quán)陣 Q 和輸入量的加權(quán)陣 R 對系統(tǒng)性能的影響 [21]。 因此 ， 如果能夠確定反饋矩陣 K的未知元素 ， 使得性能指標(biāo)達(dá)到最小 ， 則 ()u Kxt?? 對任意 的 初始狀態(tài) x(0)來說 都是最優(yōu)的。 對于線性系統(tǒng)： x A x B uy C x D u??? ??? ???? (45) 根據(jù)期望性能指標(biāo)選取 Q 和 R， 利用 ： K = lqr(A,B,Q,R) (46) 即可以得到 K 的值。 直線一級倒立擺的 LQR 控制器設(shè)計 假設(shè)全狀態(tài)反饋可以實現(xiàn)， 則可通過計算來 確定反饋控制規(guī)律的 K 向量。 LQR 函數(shù) 中的 兩個 重要 矩陣——R 和 Q， Q 和 R 矩 陣這兩個參數(shù)是用來平衡系統(tǒng)對狀態(tài)量和輸入量 的權(quán)重。*Q C C? 。 ??????????????000001000000000139。 31 MATLAB 中求矩陣 K 的仿真程序如下： clc。0 0。0 0] B=[0。] 11Q =5000。 Q=[ 11Q 0 0 0。0 0 33Q 0。 R = 1。 直線一級倒立擺的 LQR 控制器仿真 直線一級倒立擺 LQR 控制實時控制仿真模型如圖 22 所示。 32 圖 23 直線一級倒立擺 LQR 控制參數(shù)配置 在沒有受到擾動的情況下，倒立擺的位置、擺角與時間之間的變化曲線如圖 24 所示。 LQR 對于倒立擺位置與角度的控制均達(dá)到了較好 33 的控制性能。 隨后又分別將 11Q 和 33Q 改大或減小，發(fā)現(xiàn)當(dāng) 11Q 、 33Q 比值一定時，取大的值時系統(tǒng)的響應(yīng)速度加快，但是超調(diào)加大；反之則響應(yīng)變慢但超調(diào)減小。 這是因為 Q是誤差的權(quán)矩陣， Q 增大 表 明指標(biāo)更看重誤差，于是會用相對大的能量來使靜態(tài)誤差更快的減小，于是過渡時間變小，超調(diào)變大，穩(wěn)態(tài)誤差變小 。模型的正確性不但在理論上通過 Matlab 仿真 ， 而且在實際 實驗 設(shè)備上得到了證明。 本章小結(jié) 本章為 直線一級倒立擺系統(tǒng)的 LQR 控制， 著重介紹 了 LQR 控制算法并對系統(tǒng)進行MATLAB 仿真 。 但被控系統(tǒng)的復(fù)雜性，非線性的增加控制性能會降低，有待提出更有效的控制方法 。 （ 2） PID 控制 對擺角的控制效果較 好， 但對小車位置的 控制卻 無能為力。 （ 4） LQR 控制對 擺桿 初始角度偏離設(shè)定點較大時 ， 控制效果 不佳。 綜上所述， LQR 最優(yōu)控制可以用在實時性要求較高的場合 ， 但 當(dāng) 被控系統(tǒng)的復(fù)雜性，非線性增加 時會使其 控制性能降低 。 直線一級倒立擺 PID 與 LQR 復(fù)合控制器設(shè)計 由 上文 對 PID 控制和 LQR 控制優(yōu)缺點的論述 可 知， PID 控制和 LQR 控制可以組成一個很好的復(fù)合控制器。 當(dāng)擺桿處于自然平衡 (自然下垂 )位置時，在系統(tǒng)受控前，通過手動協(xié)助使擺桿進入倒立狀態(tài)。但如果差較大 ， 就需要切換到 PID 控制，這樣可以使系統(tǒng)有較強的棒性，使倒立擺在大擾動下也能處于倒立狀態(tài) [23]。 35 圖 25 PID 控制和 LQR 控制組