【正文】 ......................................................................................41 1 第一章 緒論 概述 倒立擺 系統(tǒng) 概述 倒立擺系統(tǒng)是一個典型的非線性、強耦合、多 變量和不穩(wěn)定系統(tǒng)，作為控制系統(tǒng)的被控對象，它是一個理想的教學實驗設備，許多抽象的控制概念都可以通過倒立擺直觀地表現(xiàn)出來 。迄今，人們己經(jīng)利用經(jīng)典控制理論、現(xiàn)代控制理論以及各種智能控制方法實現(xiàn)了多種倒立擺系統(tǒng)的穩(wěn)定控制。 許 多抽象的概念都可以通過倒立擺系統(tǒng)直觀的表現(xiàn)出來 ， 如控制系統(tǒng)的可控性、穩(wěn)定性、系統(tǒng)的抗干擾能力和系統(tǒng)的收斂速度等。 本課題以固高公司的直線倒立擺為研究對象，采用 LQR 控制結(jié)合 PID 的復合控制，即根據(jù)LQR 控制和 PID 控制的優(yōu)缺點互補 ， 使其系統(tǒng)具有結(jié)構(gòu)簡單、易于實現(xiàn)以及具有較強的適應性和魯棒性，并且可以獲得良好的動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能。 通過對倒立擺的控制，用來檢驗新的控制方法是否有較強的處理非線性和不穩(wěn)定性問題的能力 [1]。 （ 4） 開環(huán)不穩(wěn)定性 。其控制方法和 思路對理論 和 實際的過程控制都有很好的啟 發(fā) ， 可以 有效的檢驗各種控制理論和方法。 倒立擺 的研究 主要應用在以下幾個方面 ： 2 （ 1） 機器人的關鍵技術(shù) — 機器人的站立與行走。 （ 5） 單級火箭在拐彎時飛行姿態(tài)的控制。 目前 由 中國 大連理工大學 模糊系統(tǒng)與模糊信息研究中心 研究所 領導的復雜系統(tǒng) 智能控制實驗室 ， 采用 了 變論域自適應模糊 控制 方法， 成功地實現(xiàn)了四級倒立擺 ，使我國成為 世界上第一個成功完成四級倒立擺實驗的國家。 （ 2） 狀態(tài)反饋控制。 （ 4） 幾種智能控制算法相結(jié)合的控制。為實驗驗證仿真、工程設計、科研以及其他復雜的數(shù)值計算等眾多科學領域提供了一種全面快速有效的解決方案， MATLAB 采用了全新的 程序設計語言編輯模式，程序編寫更加快速、簡潔，結(jié)果更加準確形象，代表了當今國際科學計算軟件領域的先進水平。它能夠搭建很多復雜控制系統(tǒng)的仿真，對實際的生產(chǎn)設計具有很大的指導意義。 與 MATLAB類似， Simulink的功能可以通過購買或自定義的工具箱不斷擴展 ，當前已有大量的 第三方軟件 和硬件可應用于或被要求應用于 Simulink。 4 Simulink 功能 Simulink是 MATLAB中的一種可視化仿真工具， 廣泛應用于工程計算、控制設計、信號處理與通訊等科學領域， 是一種基于 MATLAB的框圖設計環(huán)境， 能 實現(xiàn) 動態(tài)系統(tǒng) 建模、仿真和分析， 在 線性系統(tǒng) 、非線性系統(tǒng)、 數(shù)字控制 及 數(shù)字信號處理 的建模和仿真 方面的研究中起著重大的作用 。 它用戶的強大的工具和自定義工具箱可 對各種 時變系統(tǒng) ，包括通訊、控制、 信號處理 、視頻 圖 像處理系統(tǒng) ， Simulink提供了交互式圖形化環(huán)境和可定制模塊庫來對其進行設計、仿真、和測試 ，為上述系統(tǒng)的實際設計方案的可行性提供了強有力的理論基礎 [10]。 著重介紹 PID 控制方法、 LQR 控制方法，并對 直線 一級倒立擺系統(tǒng)進行 MATLAB 仿真。 第二章 ，直線一級倒立擺系統(tǒng)概述， 介紹了直線一級倒立擺系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)、建立其動力學模型得出其傳遞函數(shù)和狀態(tài)空間表達式。 第五章 ，直線一級倒立擺系統(tǒng)的 PID 與 LQR 復合控制， 為倒立擺穩(wěn)定控制研究，設計了由 PID 控制器和線性二次型 (LQR)最優(yōu)控制器組成的復合控制器，并對其進行仿真研究。 圖 1 一級倒立擺系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡圖 其中電控箱內(nèi)主要部件有：交流伺服驅(qū)動器 、 I／ O 接口板 和 開關電源。 圖 2 倒立擺系統(tǒng)工作原 理框圖 倒立擺 系統(tǒng)是由計算機、倒立擺本體、伺服機構(gòu)、運動控制卡和光電碼盤幾大部分組成的閉環(huán)系統(tǒng)。 直線一級倒立擺系統(tǒng)硬件組成 如下 ： （ 1）伺服電機 在自動控制系統(tǒng)中作為執(zhí) 行元件 ， 又 可 稱為執(zhí)行電動機，它 可以 將輸入的電壓信號變換成轉(zhuǎn)軸的角位移或者角速度輸出。 （ 3） 限位開關 又稱 行程開關 ， 可以安裝在相對靜止的物體上或者運動的物體上。所謂的真實系統(tǒng)，它可以是已存在的或正在設計的系統(tǒng)。 自動控制領域中，建立數(shù)學模型的方法有兩種，即機理法和實驗法。但是，這也并不意味著對內(nèi)部過程一無所知。另一方面，經(jīng)過理想化的假設、忽略一些次要影響后， 倒立擺系統(tǒng)就是一個典型的運動的剛體系統(tǒng) ，應用經(jīng)典力學相關理論可以方便的建立起數(shù)學模型。 圖 3 直線 一級倒立擺 系統(tǒng)模型 圖 在本 設計 中， 主要 應用牛頓一歐拉法對 直線一級 倒立擺 系統(tǒng) 進行數(shù)學建模。 分析小車水平方向所受的合力，可以得到以下方程 ： M x F b x N? ? ?? ? ? （ 21） 其次，對擺桿進行受力分析，擺桿的受力如圖 5 所示。將該式寫成矩陣形式可以得到系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程為： 12 2 2 2 22 2 22 2 20 1 0 0 0()00( ) ( ) ( )0 0 0 1 0()00( ) ( ) ( )xxI ml b m gl I mlI M m Mm l I M m Mm l I M m Mm lmlb mgl M m mlI M m Mm l I M m Mm l I M m Mm l?? ? ?????? ? ? ?????? ? ? ???? ? ???? ? ? ??? ??? ? ? ?? ? ? ? ? ????? ??? ? ? ??????? ? ? ???? ??? ? ? ??????????? ? ?????? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?u? （ 217） 1 0 0 00 0 1 0xxxy????????? ? ? ??? ??? ? ? ???? ? ? ? ????????? （ 218） 由此可見，一級倒立擺實際上是一個單輸人多輸出的系統(tǒng)。0 0]； B=[0。0]； 直線一級倒立擺系統(tǒng)分析 得到系統(tǒng)的數(shù)學模型后，為 了 進一步 研究 系統(tǒng) 的 性質(zhì)，需要對系統(tǒng)的特性進行分析，主要是 針 對系統(tǒng)的穩(wěn)定性、能控性及能觀性的分析。對于系統(tǒng)在平衡點鄰域的穩(wěn)定性 ，則 可以根據(jù)系統(tǒng)的線性模型進行分析。如果 所求 極點 均小于零 ，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的， 反之 系統(tǒng)是 不 穩(wěn)定的。 仿真程序見下： M = 。 g = 。 因此，系統(tǒng)傳遞函數(shù)的表達式為： 24 3 s s s s? ? ? ? 系統(tǒng)的開環(huán)極點為 1 ? ， 2 ?? ， 3 ?? ， 4 0s? 。 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程 為 ： x Ax Bu? ??， 若 0 0t? ， 0( ) (0)x t x? ，系統(tǒng)狀態(tài)方程的解為 ()0( ) ( 0 ) ( )tAt A tx t e x e B u d??? ? ? ??。 （ 1） 矩陣 1[0, ]CWt的秩為 n，其中， 11 0( 0 , ) Tt A T ACW t e B B e d? ? ? ????稱為 nn? 格蘭姆矩陣 。 其中， 矩陣cQ稱為系統(tǒng)的能控變換矩陣， n 是系統(tǒng)的階次 ，cQ矩陣可以由 MATLAB控制系統(tǒng)工具箱中的 ctrb()函數(shù)自動產(chǎn)生出來。 如果 在有限時間 01[ , ]tt （ 0t 可為 0， 10tt? ） 內(nèi)，根據(jù)輸 出值 y(t)與給出的 u(t)，能夠確定系統(tǒng)的初始狀態(tài) 0()xt 的每一個分量 ， 則稱此系統(tǒng)為完全可觀測的。 obsv(A， C)函數(shù) 的 調(diào)用格式為： ( , )OT obsv A C? 同理， 用 obsv(A， C)函數(shù)可求出系統(tǒng)的能觀測矩陣 OT ： ? ?????????????????????????????????8 2 8 6 2 9 0010001 4 8 2 0 0 5 5 0 7 8 2 8 3 5 6 2 9 8 8 0001100000000001, 320TCACACACT OT 矩陣的秩 ()OrankT 稱為系統(tǒng)的能觀測性指數(shù)，它的值 表示 系統(tǒng)中能觀測狀態(tài)的數(shù)目。 綜上所述，可以得知直線一級倒立擺系統(tǒng)是一個不穩(wěn)定系統(tǒng) 但是卻 能控能觀 的 。測量關心的變量，與期望值相比較，用這個誤差糾正調(diào)節(jié)控制系統(tǒng)的響應。當被控對象的結(jié)構(gòu)和參數(shù)不能完全掌握，或得不到精確的數(shù)學模型時，控制理論的其它技術(shù)難以采用時，系統(tǒng)控制器的結(jié)構(gòu)和參數(shù)必須依靠現(xiàn)場調(diào)試和工程師的經(jīng)驗來確定 [17] 。系統(tǒng)由模擬 PID 控制器 KD(S)和被控對象 G(S)組成。 PID 控制器 中的 三個參數(shù)對系統(tǒng)控制品質(zhì)方面的影響： （ 1） 比例調(diào)節(jié) (P) 比例調(diào)節(jié) (P)比例系數(shù) pK 的大小決定了比例調(diào)節(jié)器調(diào)節(jié)的快慢程度 。 因此 ， 要恰 當?shù)倪x擇積分常數(shù)大小。系統(tǒng)框圖如圖 8 所示 。 PID 控制器的傳遞函數(shù)為： d e n P IDn u m P IDs KsKsKsKKsKsKD IPDIPD ??????? 2)( 只需調(diào)節(jié) PID 控制器的參數(shù)，就可以得到滿意的控制效果。 22 圖 11 PID 參數(shù)設置 界面 先設置 PID 控制器 的一組參數(shù) ， 取 Kp=1， Ki=1， Kd=1，得到圖 12 仿真結(jié)果 。 圖 14 PID 控制仿真結(jié)果圖（ Kp=100， Ki=1， Kd=10） 從圖 14 中可以看出，此時的穩(wěn)態(tài)性能相對較理想，但還不夠平滑。 圖 16 PID 控制（小車位置曲線） 由上圖 可以看出，由于 PID 控制器為單輸入單輸出系統(tǒng)，所以只能控制擺桿的角度，并不能控制小車的位置， 因此 小車會往一個方向運動。 (4) 點擊 運行程序，檢查電機是否上伺服。在 施加一定干擾的情況下 ， 小車位置和擺桿角度的變化曲線如圖 20 所示 。 利用 PID 控制 方法可以滿足系統(tǒng)對擺角的控制，而小車 卻 以恒定的速度向相反的方向滑動，即 PID 控制 方法不能對小車 的 位置進行控制，最終系統(tǒng)還是不能平衡 。 其對象是現(xiàn)代控制理論中以 狀態(tài)空間 形式給出的線性系統(tǒng) ， 而 目標函數(shù) 為對象狀態(tài)和控制輸入的二次型函數(shù)。而且 Matlab 的應用為 LQR 理論仿真提供了條件 ， 更為我們實現(xiàn)穩(wěn)、準、快的控制目標提供了 保障 [19]。 線性二次型最優(yōu)控制問題 ：即在 線性系統(tǒng) 的控制器 的 設計 中 ， 將控制變量和狀態(tài)變量的二次型函數(shù)的積分作為性能指標的最優(yōu)控制問題。 最優(yōu)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖 21 所示。 即需確定最佳反饋矩陣 K，使得 ( ) ( )u t Kx t?? 對任意初始狀態(tài) (0)x 而言均是最佳的。 對于不同的 Q 和 R 陣的選擇，可以得到一系列不同的 ()ut ，故 需要分析研究狀態(tài)變量的加權(quán)陣 Q 和輸入量的加權(quán)陣 R 對系統(tǒng)性能的影響 [21]。 對于線性系統(tǒng)： x A x B uy C x D u??? ??? ???? (45) 根據(jù)期望性能指標選取 Q 和 R， 利用 ： K = lqr(A,B,Q,R) (46) 即可以得到 K 的值。 LQR 函數(shù) 中的 兩個 重要 矩陣——R 和 Q， Q 和 R 矩 陣這兩個參數(shù)是用來平衡系統(tǒng)對狀態(tài)量和輸入量 的權(quán)重。 ??????????????000001000000000139。0 0。] 11Q =5000。0 0 33Q 0。 直線一級倒立擺的 LQR 控制器仿真 直線一級倒立擺 LQR 控制實時控制仿真模型如圖 22 所示。 LQR 對于倒立擺位置與角度的控制均達到了較好 33 的控制性能。 這是因為 Q是誤差的權(quán)矩陣， Q 增大 表 明指標更看重誤差，于是會用相對大的能量來使靜態(tài)誤差更快的減小，于是過渡時間變小，超調(diào)變大，穩(wěn)態(tài)誤差變小 。 本章小結(jié) 本章為 直線一級倒立擺系統(tǒng)的 LQR 控制， 著重介紹 了 LQR 控制算法并對系統(tǒng)進行MATLAB 仿真 。 （ 2） PID 控制 對擺角的控制效果較 好， 但對小車位置的 控制卻 無能為力。 綜上所述， LQR 最優(yōu)控制可以用在實時性要求較高的場合 ， 但 當 被控系統(tǒng)的復雜性，非線性增加 時會使其 控制性能降低 。 當擺桿處于自然平衡 (自然下垂 )位置時，在系統(tǒng)受控前，通過手動協(xié)助使擺桿進入倒立狀態(tài)。 35 圖 25 PID 控制和 LQR 控制組