【正文】 綜上所述， LQR 最優(yōu)控制可以用在實時性要求較高的場合 ， 但 當 被控系統(tǒng)的復雜性，非線性增加 時會使其 控制性能降低 。 LQR 對于倒立擺位置與角度的控制均達到了較好 33 的控制性能。0 0。 對于不同的 Q 和 R 陣的選擇，可以得到一系列不同的 ()ut ，故 需要分析研究狀態(tài)變量的加權(quán)陣 Q 和輸入量的加權(quán)陣 R 對系統(tǒng)性能的影響 [21]。而且 Matlab 的應用為 LQR 理論仿真提供了條件 ， 更為我們實現(xiàn)穩(wěn)、準、快的控制目標提供了 保障 [19]。 (4) 點擊 運行程序，檢查電機是否上伺服。 PID 控制器的傳遞函數(shù)為： d e n P IDn u m P IDs KsKsKsKKsKsKD IPDIPD ??????? 2)( 只需調(diào)節(jié) PID 控制器的參數(shù)，就可以得到滿意的控制效果。系統(tǒng)由模擬 PID 控制器 KD(S)和被控對象 G(S)組成。 obsv(A， C)函數(shù) 的 調(diào)用格式為： ( , )OT obsv A C? 同理， 用 obsv(A， C)函數(shù)可求出系統(tǒng)的能觀測矩陣 OT ： ? ?????????????????????????????????8 2 8 6 2 9 0010001 4 8 2 0 0 5 5 0 7 8 2 8 3 5 6 2 9 8 8 0001100000000001, 320TCACACACT OT 矩陣的秩 ()OrankT 稱為系統(tǒng)的能觀測性指數(shù)，它的值 表示 系統(tǒng)中能觀測狀態(tài)的數(shù)目。 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程 為 ： x Ax Bu? ??， 若 0 0t? ， 0( ) (0)x t x? ，系統(tǒng)狀態(tài)方程的解為 ()0( ) ( 0 ) ( )tAt A tx t e x e B u d??? ? ? ??。如果 所求 極點 均小于零 ，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的， 反之 系統(tǒng)是 不 穩(wěn)定的。將該式寫成矩陣形式可以得到系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程為： 12 2 2 2 22 2 22 2 20 1 0 0 0()00( ) ( ) ( )0 0 0 1 0()00( ) ( ) ( )xxI ml b m gl I mlI M m Mm l I M m Mm l I M m Mm lmlb mgl M m mlI M m Mm l I M m Mm l I M m Mm l?? ? ?????? ? ? ?????? ? ? ???? ? ???? ? ? ??? ??? ? ? ?? ? ? ? ? ????? ??? ? ? ??????? ? ? ???? ??? ? ? ??????????? ? ?????? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?u? （ 217） 1 0 0 00 0 1 0xxxy????????? ? ? ??? ??? ? ? ???? ? ? ? ????????? （ 218） 由此可見，一級倒立擺實際上是一個單輸人多輸出的系統(tǒng)。但是，這也并不意味著對內(nèi)部過程一無所知。 直線一級倒立擺系統(tǒng)硬件組成 如下 ： （ 1）伺服電機 在自動控制系統(tǒng)中作為執(zhí) 行元件 ， 又 可 稱為執(zhí)行電動機，它 可以 將輸入的電壓信號變換成轉(zhuǎn)軸的角位移或者角速度輸出。 第二章 ，直線一級倒立擺系統(tǒng)概述， 介紹了直線一級倒立擺系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)、建立其動力學模型得出其傳遞函數(shù)和狀態(tài)空間表達式。 與 MATLAB類似， Simulink的功能可以通過購買或自定義的工具箱不斷擴展 ，當前已有大量的 第三方軟件 和硬件可應用于或被要求應用于 Simulink。 （ 2） 狀態(tài)反饋控制。其控制方法和 思路對理論 和 實際的過程控制都有很好的啟 發(fā) ， 可以 有效的檢驗各種控制理論和方法。 許 多抽象的概念都可以通過倒立擺系統(tǒng)直觀的表現(xiàn)出來 ， 如控制系統(tǒng)的可控性、穩(wěn)定性、系統(tǒng)的抗干擾能力和系統(tǒng)的收斂速度等。 （ 5） 約束限制 ， 由于實際機構(gòu)的限制，小車很容易出現(xiàn)撞邊現(xiàn)象。20xx 年國防科學技術(shù)大學利用基于 LQR的模糊插值 成功的 實現(xiàn)了 對 五級倒立擺 系統(tǒng) 的控制 [5]。 它提供 了 一個 完整 的集成環(huán)境 ，具有很高的理論研究分析意義 。 然 后分析 兩 種方法 各自 的優(yōu)缺點 ，通過實驗仿真及分析完成復合控制器的設計。小車的位移、速度信號 由 光電碼盤 1 反饋給伺服驅(qū)動器和運動控制卡 。實驗法一般只用于建立輸入輸出模型，它是根據(jù)輸入和輸出的實測數(shù)據(jù)進行進行相應的處理和計算后得到系統(tǒng)的模型。 圖 5 擺桿隔離受力圖 )s in(22 ?lxdtdmN ?? （ 22） 即 ： M F bx? N P mg θ P 10 2c o s s i nN m x m l m l? ? ? ???? ??? ? ? （ 23） 將 等式代入上式中， 可 得系統(tǒng)的第一個運動方程 為： 2( ) c o s sinM m x b x m l m l F? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ? ? （ 24） 對擺桿垂直方向上的合力進行分析，可得方程 為 ： 22 ( c os )dp m g m l ldt ?? ? ? （ 25） 即： 2si n c osP m g m l m l? ? ? ????? ? ? （ 26） 力矩平衡方程為： s i n c o sP l N l I? ? ???? ? ? （ 27） 由于 ??? ?? ， cos cos?? ? ? ， sin sin??? ? ， 故等式前面有負號。李雅普諾夫穩(wěn)定性判據(jù) 常 應用 于 系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析。由于有一個開環(huán)極點位于 S 平面的右半部，開環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。若系統(tǒng)中至少有一個狀態(tài)變量是不可測的，則稱此系統(tǒng)為不完全可測的。 PID 控制系統(tǒng)原理 結(jié)構(gòu) 框圖如圖 6 所示。 圖 8 直線一級倒立擺閉環(huán)系統(tǒng)圖 圖中 ()DKs是控制器傳遞函數(shù)， ()Gs是被控對象傳遞函數(shù)。 直線一級倒立擺的 PID 控制器仿真 PID 控制器設計完成以后，進行 直線一級倒立擺 的 PID 控制器 Simulink 仿真 。 LQR 最優(yōu)設計 是指設計出的 狀態(tài)反饋 控制器 K 要使 二次型 目標函數(shù) J 取最小值 ， 而 K 由 權(quán)矩陣 Q 與 R 唯一決定 ，故此 Q、 R 的選擇尤為重要。式中 Q—為 正定或正半定 矩 陣； R—為正定 矩 陣。*CCQ (46) 其中， 11Q 代表小車位置的權(quán)重，而 33Q 代表擺桿角度的權(quán)重，輸入的 加權(quán)陣 R 為 1。 圖 22 直線一級倒立擺 LQR 控制實時控制仿真模型 配置參數(shù)如圖 23 所示。 （ 3） LQR 控制 對 小車位置 的控制效果較好。于是本文提出一種 LQR 結(jié)合 PID 的復合控制 設計 。將參數(shù)加大時，擺子起擺后到達平衡所需時間更短，但左右位移更大一點，穩(wěn)定后的擺角震蕩更小一點 。0。 對于狀態(tài)方程已經(jīng)知道的系統(tǒng) ， 利用 Matlab 的 LQR 函數(shù)可以很方便的求解反饋矩陣K， 具體方法為 如下。它的解很容易獲得 ， 并且可以 達到 很 好的控制效果 ， 因此在工程上有 著 廣泛的應用。 26 圖 19 PID 控制實驗結(jié)果 1 從圖 19 中可以 得 出，倒立擺 系統(tǒng) 可以較好的實現(xiàn)穩(wěn)定性，擺桿的角度 控制 在 （弧度）左右 ，但 對小車位置的控制 卻沒有明顯效果 ，小車會沿 著 滑桿稍微的移動。 圖 10 直線一級倒立擺 的 PID 控制仿真模型 其中 PID Controller 為封裝（ Mask）后的 PID 控制器，雙擊 該 模塊打開參數(shù)設置 界面 ，如圖 11 所示。 在控制系統(tǒng)設計和仿真中，也 常 將傳遞函數(shù)寫成 ： sKsKKsE sUsG DIP ???? )( )()( 式中： pK ——比例系數(shù)； IK ——積分系數(shù)； dK ——微分系數(shù)。 我們可以看出，一級倒立擺系統(tǒng)的能控性矩陣和能觀性矩陣的秩均為 4，所以系統(tǒng)是 17 完全能控、完全能觀的。 下列命題中 的 任何一個成立 ，都可作為 線性定常系統(tǒng)對于 0 (0, )t? ? ? 完全能控的充要條件 。實際系統(tǒng)參數(shù)如下 ： m 擺桿質(zhì)量 Kg M 小車質(zhì)量 Kg l 擺桿轉(zhuǎn)動軸心到桿質(zhì)心的長度 b 小車摩擦系數(shù) 0 .1N/m/s I 擺桿慣量 m? g 重力加速度 在 Matlab 中， 通過 拉普拉斯變換后得到的傳遞函數(shù)可以通過計算并輸入分子和分母矩陣來實現(xiàn)。0 0 0 1。 8 就倒立擺系統(tǒng)而言，由于其本身是自然不穩(wěn)定的系統(tǒng)，且具有非線性等特性，應用實驗法建模存在一定的困難。 是 作為檢測轉(zhuǎn)速、線速度、角速度、線位移、角位移的一種傳感器，精度高 、 可靠 好 ， 因此 應用非常廣泛。 5 第四章 ，直線一級倒立擺系統(tǒng)的 LQR 控制， 著重介紹 LQR 控制算法并對系統(tǒng)進行MATLAB 仿真。它的主要特點有： （ 1）擁有 豐富的 和強大的 模塊庫 ，同時第三方還可以自行進行添加； （ 2） 模塊圖 簡單且易于管理， 交互式的 GUI（ 圖形用戶界面 ）更加有利于分析； （ 3）利用 層次性的設計功能來分割 設計 模型， 可以 實現(xiàn)對復雜 系統(tǒng) 設計的管理 ； （ 4） 通過導航、創(chuàng)建、配置、搜索模型中的任意信號、參數(shù)、屬性，生成模型代碼 ； （ 5） 提供 API方便于 其他仿真程序的連接或與手寫代碼集成 ，尤其是第三方工具箱的編寫； （ 6） 使用 Embedded MATLAB模塊在 Simulink和嵌入式系統(tǒng)執(zhí)行中調(diào)用 MATLAB算法 。主要是確定模糊規(guī)則，設計出模糊控制器，實現(xiàn)對倒立擺系統(tǒng)的控制。因此，倒立擺系統(tǒng)在 現(xiàn)代 控制理論 的 研究中是一種較為理想的實驗裝置 [3]。在使用單個控 制時，總不能同時使倒立擺系統(tǒng)的魯棒性和穩(wěn)態(tài)誤差同時達到一個滿意的效果 。 （ 2） 不確定性 ， 主要是指建立系統(tǒng)數(shù)學模型非線性因素所導致的難以量化的部分。 倒立擺系統(tǒng)研究現(xiàn)狀 倒立擺系統(tǒng)的研究具有重要的理論意義和應用價值，對其控制研究是控制領域研究的熱門課題之一，國內(nèi)外的專家學者對此給予了廣泛的關(guān)注。本文主要應用到 Matlab 的 Simulink 仿真模塊 [7]。 研究內(nèi)容與章節(jié)安排 本文圍繞直線一級倒立擺的動力學建模、控制算法設計、仿真等一系列工作展開。電機通過同步帶 來 驅(qū)動小車在滑桿上來回運動，以保持擺桿平衡。經(jīng)過抽象所得到的系統(tǒng)模型，并不是真實系統(tǒng)的完全復現(xiàn)，而是根據(jù)研究的需要從某些方面對系統(tǒng)進行簡化提煉的結(jié)果。 圖 4 小 車受力圖 其中， P 和 N 為小車與擺桿 之間 相互作用力的垂直和水平方向 上 的分量。 直線一級倒立擺系統(tǒng)的豎直向上位置是 其 不穩(wěn)定平衡點， 若要 使直線一級倒立擺 系統(tǒng)穩(wěn)定在這個點 上，則需要 設計 出方便可行的 穩(wěn)定控制器。 q = (M+m)*(I+m*l^2)(m*l)^2。如果()crank T n? ，則系統(tǒng)完全能控。在實際工程中，應用最為廣泛的調(diào)節(jié)器控制規(guī)律為比例、積分、微分控制，簡稱 PID 控制，又稱 PID 調(diào)節(jié)。但 微分系數(shù) dK 過大會引起靜態(tài)誤差 [18]。 仿真得到圖 15 結(jié)果： 24 圖 15 PID 控制（ Kp=100， Ki=1， Kd=20） 從圖 15 可以看出，此時的穩(wěn)態(tài)性能比較理想 。 本章小結(jié) 本章介紹了常規(guī) PID 控制方法，并分別設計了控制器，用 simulink 分別實現(xiàn)了建立在傳遞函數(shù)和狀態(tài)方程上的 PID 控制系統(tǒng)地仿真，得到了直線一級倒立擺各狀態(tài)變量及控制量的響應曲線，通過仿真說明了后一種控制器的有效性。 由理論分析知，可以設計基于最優(yōu)控制的狀態(tài)調(diào)節(jié)器，使系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。*Q C C? 。 R = 1。 但被控系統(tǒng)的復雜性，非線性的增加控制性能會降低，有待提出更有效的控制方法 。但如果差較大 ， 就需要切換到 PID 控制，這樣可以使系統(tǒng)有較強的棒性，使倒立擺在大擾動下也能處于倒立狀態(tài) [23]。模型的正確性不但在理論上通過 Matlab 仿真 ， 而且在實際 實驗 設備上得到了證明。 Q=[ 11Q 0 0 0。 直線一級倒立擺的 LQR 控制