【正文】 綜上所述， LQR 最優(yōu)控制可以用在實(shí)時(shí)性要求較高的場(chǎng)合 ， 但 當(dāng) 被控系統(tǒng)的復(fù)雜性，非線性增加 時(shí)會(huì)使其 控制性能降低 。 LQR 對(duì)于倒立擺位置與角度的控制均達(dá)到了較好 33 的控制性能。0 0。 對(duì)于不同的 Q 和 R 陣的選擇，可以得到一系列不同的 ()ut ，故 需要分析研究狀態(tài)變量的加權(quán)陣 Q 和輸入量的加權(quán)陣 R 對(duì)系統(tǒng)性能的影響 [21]。而且 Matlab 的應(yīng)用為 LQR 理論仿真提供了條件 ， 更為我們實(shí)現(xiàn)穩(wěn)、準(zhǔn)、快的控制目標(biāo)提供了 保障 [19]。 (4) 點(diǎn)擊 運(yùn)行程序，檢查電機(jī)是否上伺服。 PID 控制器的傳遞函數(shù)為： d e n P IDn u m P IDs KsKsKsKKsKsKD IPDIPD ??????? 2)( 只需調(diào)節(jié) PID 控制器的參數(shù)，就可以得到滿意的控制效果。系統(tǒng)由模擬 PID 控制器 KD(S)和被控對(duì)象 G(S)組成。 obsv(A， C)函數(shù) 的 調(diào)用格式為： ( , )OT obsv A C? 同理， 用 obsv(A， C)函數(shù)可求出系統(tǒng)的能觀測(cè)矩陣 OT ： ? ?????????????????????????????????8 2 8 6 2 9 0010001 4 8 2 0 0 5 5 0 7 8 2 8 3 5 6 2 9 8 8 0001100000000001, 320TCACACACT OT 矩陣的秩 ()OrankT 稱為系統(tǒng)的能觀測(cè)性指數(shù)，它的值 表示 系統(tǒng)中能觀測(cè)狀態(tài)的數(shù)目。 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程 為 ： x Ax Bu? ??， 若 0 0t? ， 0( ) (0)x t x? ，系統(tǒng)狀態(tài)方程的解為 ()0( ) ( 0 ) ( )tAt A tx t e x e B u d??? ? ? ??。如果 所求 極點(diǎn) 均小于零 ，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的， 反之 系統(tǒng)是 不 穩(wěn)定的。將該式寫(xiě)成矩陣形式可以得到系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程為： 12 2 2 2 22 2 22 2 20 1 0 0 0()00( ) ( ) ( )0 0 0 1 0()00( ) ( ) ( )xxI ml b m gl I mlI M m Mm l I M m Mm l I M m Mm lmlb mgl M m mlI M m Mm l I M m Mm l I M m Mm l?? ? ?????? ? ? ?????? ? ? ???? ? ???? ? ? ??? ??? ? ? ?? ? ? ? ? ????? ??? ? ? ??????? ? ? ???? ??? ? ? ??????????? ? ?????? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?u? （ 217） 1 0 0 00 0 1 0xxxy????????? ? ? ??? ??? ? ? ???? ? ? ? ????????? （ 218） 由此可見(jiàn)，一級(jí)倒立擺實(shí)際上是一個(gè)單輸人多輸出的系統(tǒng)。但是，這也并不意味著對(duì)內(nèi)部過(guò)程一無(wú)所知。 直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)硬件組成 如下 ： （ 1）伺服電機(jī) 在自動(dòng)控制系統(tǒng)中作為執(zhí) 行元件 ， 又 可 稱為執(zhí)行電動(dòng)機(jī)，它 可以 將輸入的電壓信號(hào)變換成轉(zhuǎn)軸的角位移或者角速度輸出。 第二章 ，直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)概述， 介紹了直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)、建立其動(dòng)力學(xué)模型得出其傳遞函數(shù)和狀態(tài)空間表達(dá)式。 與 MATLAB類似， Simulink的功能可以通過(guò)購(gòu)買(mǎi)或自定義的工具箱不斷擴(kuò)展 ，當(dāng)前已有大量的 第三方軟件 和硬件可應(yīng)用于或被要求應(yīng)用于 Simulink。 （ 2） 狀態(tài)反饋控制。其控制方法和 思路對(duì)理論 和 實(shí)際的過(guò)程控制都有很好的啟 發(fā) ， 可以 有效的檢驗(yàn)各種控制理論和方法。 許 多抽象的概念都可以通過(guò)倒立擺系統(tǒng)直觀的表現(xiàn)出來(lái) ， 如控制系統(tǒng)的可控性、穩(wěn)定性、系統(tǒng)的抗干擾能力和系統(tǒng)的收斂速度等。 （ 5） 約束限制 ， 由于實(shí)際機(jī)構(gòu)的限制，小車很容易出現(xiàn)撞邊現(xiàn)象。20xx 年國(guó)防科學(xué)技術(shù)大學(xué)利用基于 LQR的模糊插值 成功的 實(shí)現(xiàn)了 對(duì) 五級(jí)倒立擺 系統(tǒng) 的控制 [5]。 它提供 了 一個(gè) 完整 的集成環(huán)境 ，具有很高的理論研究分析意義 。 然 后分析 兩 種方法 各自 的優(yōu)缺點(diǎn) ，通過(guò)實(shí)驗(yàn)仿真及分析完成復(fù)合控制器的設(shè)計(jì)。小車的位移、速度信號(hào) 由 光電碼盤(pán) 1 反饋給伺服驅(qū)動(dòng)器和運(yùn)動(dòng)控制卡 。實(shí)驗(yàn)法一般只用于建立輸入輸出模型，它是根據(jù)輸入和輸出的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行進(jìn)行相應(yīng)的處理和計(jì)算后得到系統(tǒng)的模型。 圖 5 擺桿隔離受力圖 )s in(22 ?lxdtdmN ?? （ 22） 即 ： M F bx? N P mg θ P 10 2c o s s i nN m x m l m l? ? ? ???? ??? ? ? （ 23） 將 等式代入上式中， 可 得系統(tǒng)的第一個(gè)運(yùn)動(dòng)方程 為： 2( ) c o s sinM m x b x m l m l F? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ? ? （ 24） 對(duì)擺桿垂直方向上的合力進(jìn)行分析，可得方程 為 ： 22 ( c os )dp m g m l ldt ?? ? ? （ 25） 即： 2si n c osP m g m l m l? ? ? ????? ? ? （ 26） 力矩平衡方程為： s i n c o sP l N l I? ? ???? ? ? （ 27） 由于 ??? ?? ， cos cos?? ? ? ， sin sin??? ? ， 故等式前面有負(fù)號(hào)。李雅普諾夫穩(wěn)定性判據(jù) 常 應(yīng)用 于 系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析。由于有一個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)位于 S 平面的右半部，開(kāi)環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。若系統(tǒng)中至少有一個(gè)狀態(tài)變量是不可測(cè)的，則稱此系統(tǒng)為不完全可測(cè)的。 PID 控制系統(tǒng)原理 結(jié)構(gòu) 框圖如圖 6 所示。 圖 8 直線一級(jí)倒立擺閉環(huán)系統(tǒng)圖 圖中 ()DKs是控制器傳遞函數(shù)， ()Gs是被控對(duì)象傳遞函數(shù)。 直線一級(jí)倒立擺的 PID 控制器仿真 PID 控制器設(shè)計(jì)完成以后，進(jìn)行 直線一級(jí)倒立擺 的 PID 控制器 Simulink 仿真 。 LQR 最優(yōu)設(shè)計(jì) 是指設(shè)計(jì)出的 狀態(tài)反饋 控制器 K 要使 二次型 目標(biāo)函數(shù) J 取最小值 ， 而 K 由 權(quán)矩陣 Q 與 R 唯一決定 ，故此 Q、 R 的選擇尤為重要。式中 Q—為 正定或正半定 矩 陣； R—為正定 矩 陣。*CCQ (46) 其中， 11Q 代表小車位置的權(quán)重，而 33Q 代表擺桿角度的權(quán)重，輸入的 加權(quán)陣 R 為 1。 圖 22 直線一級(jí)倒立擺 LQR 控制實(shí)時(shí)控制仿真模型 配置參數(shù)如圖 23 所示。 （ 3） LQR 控制 對(duì) 小車位置 的控制效果較好。于是本文提出一種 LQR 結(jié)合 PID 的復(fù)合控制 設(shè)計(jì) 。將參數(shù)加大時(shí)，擺子起擺后到達(dá)平衡所需時(shí)間更短，但左右位移更大一點(diǎn)，穩(wěn)定后的擺角震蕩更小一點(diǎn) 。0。 對(duì)于狀態(tài)方程已經(jīng)知道的系統(tǒng) ， 利用 Matlab 的 LQR 函數(shù)可以很方便的求解反饋矩陣K， 具體方法為 如下。它的解很容易獲得 ， 并且可以 達(dá)到 很 好的控制效果 ， 因此在工程上有 著 廣泛的應(yīng)用。 26 圖 19 PID 控制實(shí)驗(yàn)結(jié)果 1 從圖 19 中可以 得 出，倒立擺 系統(tǒng) 可以較好的實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定性，擺桿的角度 控制 在 （弧度）左右 ，但 對(duì)小車位置的控制 卻沒(méi)有明顯效果 ，小車會(huì)沿 著 滑桿稍微的移動(dòng)。 圖 10 直線一級(jí)倒立擺 的 PID 控制仿真模型 其中 PID Controller 為封裝（ Mask）后的 PID 控制器，雙擊 該 模塊打開(kāi)參數(shù)設(shè)置 界面 ，如圖 11 所示。 在控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)和仿真中，也 常 將傳遞函數(shù)寫(xiě)成 ： sKsKKsE sUsG DIP ???? )( )()( 式中： pK ——比例系數(shù)； IK ——積分系數(shù)； dK ——微分系數(shù)。 我們可以看出，一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的能控性矩陣和能觀性矩陣的秩均為 4，所以系統(tǒng)是 17 完全能控、完全能觀的。 下列命題中 的 任何一個(gè)成立 ，都可作為 線性定常系統(tǒng)對(duì)于 0 (0, )t? ? ? 完全能控的充要條件 。實(shí)際系統(tǒng)參數(shù)如下 ： m 擺桿質(zhì)量 Kg M 小車質(zhì)量 Kg l 擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長(zhǎng)度 b 小車摩擦系數(shù) 0 .1N/m/s I 擺桿慣量 m? g 重力加速度 在 Matlab 中， 通過(guò) 拉普拉斯變換后得到的傳遞函數(shù)可以通過(guò)計(jì)算并輸入分子和分母矩陣來(lái)實(shí)現(xiàn)。0 0 0 1。 8 就倒立擺系統(tǒng)而言，由于其本身是自然不穩(wěn)定的系統(tǒng)，且具有非線性等特性，應(yīng)用實(shí)驗(yàn)法建模存在一定的困難。 是 作為檢測(cè)轉(zhuǎn)速、線速度、角速度、線位移、角位移的一種傳感器，精度高 、 可靠 好 ， 因此 應(yīng)用非常廣泛。 5 第四章 ，直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的 LQR 控制， 著重介紹 LQR 控制算法并對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行MATLAB 仿真。它的主要特點(diǎn)有： （ 1）擁有 豐富的 和強(qiáng)大的 模塊庫(kù) ，同時(shí)第三方還可以自行進(jìn)行添加； （ 2） 模塊圖 簡(jiǎn)單且易于管理， 交互式的 GUI（ 圖形用戶界面 ）更加有利于分析； （ 3）利用 層次性的設(shè)計(jì)功能來(lái)分割 設(shè)計(jì) 模型， 可以 實(shí)現(xiàn)對(duì)復(fù)雜 系統(tǒng) 設(shè)計(jì)的管理 ； （ 4） 通過(guò)導(dǎo)航、創(chuàng)建、配置、搜索模型中的任意信號(hào)、參數(shù)、屬性，生成模型代碼 ； （ 5） 提供 API方便于 其他仿真程序的連接或與手寫(xiě)代碼集成 ，尤其是第三方工具箱的編寫(xiě)； （ 6） 使用 Embedded MATLAB模塊在 Simulink和嵌入式系統(tǒng)執(zhí)行中調(diào)用 MATLAB算法 。主要是確定模糊規(guī)則，設(shè)計(jì)出模糊控制器，實(shí)現(xiàn)對(duì)倒立擺系統(tǒng)的控制。因此，倒立擺系統(tǒng)在 現(xiàn)代 控制理論 的 研究中是一種較為理想的實(shí)驗(yàn)裝置 [3]。在使用單個(gè)控 制時(shí)，總不能同時(shí)使倒立擺系統(tǒng)的魯棒性和穩(wěn)態(tài)誤差同時(shí)達(dá)到一個(gè)滿意的效果 。 （ 2） 不確定性 ， 主要是指建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型非線性因素所導(dǎo)致的難以量化的部分。 倒立擺系統(tǒng)研究現(xiàn)狀 倒立擺系統(tǒng)的研究具有重要的理論意義和應(yīng)用價(jià)值，對(duì)其控制研究是控制領(lǐng)域研究的熱門(mén)課題之一，國(guó)內(nèi)外的專家學(xué)者對(duì)此給予了廣泛的關(guān)注。本文主要應(yīng)用到 Matlab 的 Simulink 仿真模塊 [7]。 研究?jī)?nèi)容與章節(jié)安排 本文圍繞直線一級(jí)倒立擺的動(dòng)力學(xué)建模、控制算法設(shè)計(jì)、仿真等一系列工作展開(kāi)。電機(jī)通過(guò)同步帶 來(lái) 驅(qū)動(dòng)小車在滑桿上來(lái)回運(yùn)動(dòng)，以保持?jǐn)[桿平衡。經(jīng)過(guò)抽象所得到的系統(tǒng)模型，并不是真實(shí)系統(tǒng)的完全復(fù)現(xiàn)，而是根據(jù)研究的需要從某些方面對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行簡(jiǎn)化提煉的結(jié)果。 圖 4 小 車受力圖 其中， P 和 N 為小車與擺桿 之間 相互作用力的垂直和水平方向 上 的分量。 直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的豎直向上位置是 其 不穩(wěn)定平衡點(diǎn)， 若要 使直線一級(jí)倒立擺 系統(tǒng)穩(wěn)定在這個(gè)點(diǎn) 上，則需要 設(shè)計(jì) 出方便可行的 穩(wěn)定控制器。 q = (M+m)*(I+m*l^2)(m*l)^2。如果()crank T n? ，則系統(tǒng)完全能控。在實(shí)際工程中，應(yīng)用最為廣泛的調(diào)節(jié)器控制規(guī)律為比例、積分、微分控制，簡(jiǎn)稱 PID 控制，又稱 PID 調(diào)節(jié)。但 微分系數(shù) dK 過(guò)大會(huì)引起靜態(tài)誤差 [18]。 仿真得到圖 15 結(jié)果： 24 圖 15 PID 控制（ Kp=100， Ki=1， Kd=20） 從圖 15 可以看出，此時(shí)的穩(wěn)態(tài)性能比較理想 。 本章小結(jié) 本章介紹了常規(guī) PID 控制方法，并分別設(shè)計(jì)了控制器，用 simulink 分別實(shí)現(xiàn)了建立在傳遞函數(shù)和狀態(tài)方程上的 PID 控制系統(tǒng)地仿真，得到了直線一級(jí)倒立擺各狀態(tài)變量及控制量的響應(yīng)曲線，通過(guò)仿真說(shuō)明了后一種控制器的有效性。 由理論分析知，可以設(shè)計(jì)基于最優(yōu)控制的狀態(tài)調(diào)節(jié)器，使系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。*Q C C? 。 R = 1。 但被控系統(tǒng)的復(fù)雜性，非線性的增加控制性能會(huì)降低，有待提出更有效的控制方法 。但如果差較大 ， 就需要切換到 PID 控制，這樣可以使系統(tǒng)有較強(qiáng)的棒性，使倒立擺在大擾動(dòng)下也能處于倒立狀態(tài) [23]。模型的正確性不但在理論上通過(guò) Matlab 仿真 ， 而且在實(shí)際 實(shí)驗(yàn) 設(shè)備上得到了證明。 Q=[ 11Q 0 0 0。 直線一級(jí)倒立擺的 LQR 控制