【正文】 分為一級，二級，三級倒立擺等，多級擺的擺桿之間屬于自由連接（即無電動(dòng)機(jī)或其他驅(qū) 動(dòng)設(shè)備）。分析倒立擺的物理模型，以此來建立倒立擺的動(dòng)力學(xué)模型，然后使用狀態(tài)空間理論知識推導(dǎo)出非線性模型，再在平衡點(diǎn)處進(jìn)行線性化處理，得到倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程，這樣就可以設(shè)計(jì)出相應(yīng)的 PID 控制器實(shí)現(xiàn)其控制。主要是確定模糊規(guī)則，設(shè)計(jì)出模糊控制器，實(shí)現(xiàn)對倒立擺系統(tǒng)的控制。它將很多強(qiáng)大的功能集成在一個(gè)便于使用的視窗軟件平臺(tái)中，例如：數(shù)值分析、矩陣計(jì)算以及非線性動(dòng) 態(tài)系統(tǒng)的建模和仿真等。 Simulink 簡介 Simulink是 MATLAB最重要的組件之一， 也是使用最頻繁的組件之一。 Simulink具有適應(yīng)面廣、結(jié)構(gòu)和流程 簡單 清晰及仿真精細(xì)、效率高、靈活 多變 等優(yōu)點(diǎn)， 目前 Simulink已被廣泛應(yīng)用于 控制理論 、 數(shù)字信號處理 和動(dòng)態(tài)控制系統(tǒng) 的復(fù)雜仿真和設(shè)計(jì) [8]。它的主要特點(diǎn)有： （ 1）擁有 豐富的 和強(qiáng)大的 模塊庫 ，同時(shí)第三方還可以自行進(jìn)行添加； （ 2） 模塊圖 簡單且易于管理， 交互式的 GUI（ 圖形用戶界面 ）更加有利于分析； （ 3）利用 層次性的設(shè)計(jì)功能來分割 設(shè)計(jì) 模型， 可以 實(shí)現(xiàn)對復(fù)雜 系統(tǒng) 設(shè)計(jì)的管理 ； （ 4） 通過導(dǎo)航、創(chuàng)建、配置、搜索模型中的任意信號、參數(shù)、屬性，生成模型代碼 ； （ 5） 提供 API方便于 其他仿真程序的連接或與手寫代碼集成 ，尤其是第三方工具箱的編寫； （ 6） 使用 Embedded MATLAB模塊在 Simulink和嵌入式系統(tǒng)執(zhí)行中調(diào)用 MATLAB算法 。 Simulink是用于 動(dòng)態(tài)系統(tǒng) （線性、非線性） 和 嵌入式系統(tǒng) 的多領(lǐng)域仿真和基于模型的設(shè)計(jì) 的理想設(shè)計(jì)平臺(tái) 。主要研究了直線一級倒立擺的穩(wěn)擺問題，采用反饋 控制 的方法進(jìn)行倒立擺的平衡控制 ， 在平衡點(diǎn)附近切換到線性二次型最優(yōu)控制以實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定控制 。 本文主要章節(jié) 如下： 第一章 ， 緒論 ， 主要介紹一級倒立擺系統(tǒng)的研究背景及意義、分類、研究現(xiàn)狀、控制方法等并簡單介紹了 MATLAB 及 Simulink 相關(guān)知識。 5 第四章 ，直線一級倒立擺系統(tǒng)的 LQR 控制， 著重介紹 LQR 控制算法并對系統(tǒng)進(jìn)行MATLAB 仿真。其結(jié)構(gòu)簡圖如圖 1 所示。直線一級倒立擺系統(tǒng)的工作原理 圖 如圖 2 所示。計(jì)算機(jī) 會(huì) 從運(yùn)動(dòng)控制卡中讀取 相應(yīng)的 實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)， 進(jìn)而 確定控制決策（小車 的 運(yùn)動(dòng)方向、移動(dòng) 的 速度、加速度等），并由運(yùn)動(dòng)控制卡來實(shí)現(xiàn)該控制決策，運(yùn)動(dòng)控制卡產(chǎn)生相應(yīng)的控制量，使伺服電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)，通過 同步皮帶 來 帶動(dòng)小車運(yùn)動(dòng)， 以 保持?jǐn)[桿平衡 [12]。 是 作為檢測轉(zhuǎn)速、線速度、角速度、線位移、角位移的一種傳感器，精度高 、 可靠 好 ， 因此 應(yīng)用非常廣泛。 （ 4） 運(yùn)動(dòng)控制器 直線一級倒立擺數(shù)學(xué)模型 系統(tǒng)仿真就是通過對系統(tǒng)模型的分析來研究真實(shí)系統(tǒng)的特性。這樣，使得該模型既可代表真實(shí)系統(tǒng)的基本特征，又能使仿真工作簡化和得以實(shí) 現(xiàn)。實(shí)驗(yàn)法在工程技術(shù)上有很大的用途，它讓研究者省去了對于現(xiàn)實(shí)環(huán)境中復(fù)雜、惡劣被控對象的深入研究，從而讓建模過程簡單易行。 8 就倒立擺系統(tǒng)而言，由于其本身是自然不穩(wěn)定的系統(tǒng)，且具有非線性等特性，應(yīng)用實(shí)驗(yàn)法建模存在一定的困難。 忽略空氣阻力和各種摩擦之后，可 以 將直線一級倒立擺系統(tǒng)抽象成小車和勻質(zhì)桿組 成的系統(tǒng) ， 如圖 3 所示。其余字母同圖 3 中的說明。輸出為角度為 Φ，求解方程組 (210)的第一個(gè) 11 方程，可以得到： )()()(22 ssgmlmlIsX ??????? ??? （ 211） 把式 (211)代入方程組 (210)的第二個(gè)方程，得： )()()()()()()()( 222222 sUssmlssmlsssgml mlIbsssgml mlImM ????????? ????????? ??? ???? （ 212） 化簡 整理后得傳遞函數(shù)為： sqb m g lsq m g lmMsq mlIbssqmlsUs??????23242)()()()(? （ 213） 其中， 22( ) ( ) ( )q M m I m l m l??? ? ? ??? （ 214） 由 于系統(tǒng)狀態(tài)空間方程表達(dá)式為： x A x B uy C x D u??? ??????? （ 215） 對 x?? ， ??? 解代數(shù)方程， 可 得解如下： 2 2 2 22 2 22 2 2()( ) ( ) ( )()( ) ( ) ( )xxI m l b m gl I m lx x uI M m M m l I M m M m l I M m M m lm l b m gl M m m lxuI M m M m l I M m M m l I M m M m l??? ? ???? ? ????? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ? ???? ? ? ?????? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? （ 216） 式 216 為直線一級倒立擺系統(tǒng)在平衡點(diǎn)附近局部線性化以后得到的狀態(tài)方程。0 0 0 1。0 0 1 0]； D=[0。 若要 設(shè)計(jì)控制器穩(wěn)定系統(tǒng)， 則必須 要考慮系統(tǒng) 的 能控 性 。求解線性系統(tǒng)穩(wěn)定性問題最簡單 也最常用 的方法是求出該系統(tǒng)的所有極點(diǎn)， 然后 觀察 其中 13 是否含有實(shí)部大于零的極點(diǎn) (不穩(wěn)定極點(diǎn) )。實(shí)際系統(tǒng)參數(shù)如下 ： m 擺桿質(zhì)量 Kg M 小車質(zhì)量 Kg l 擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長度 b 小車摩擦系數(shù) 0 .1N/m/s I 擺桿慣量 m? g 重力加速度 在 Matlab 中， 通過 拉普拉斯變換后得到的傳遞函數(shù)可以通過計(jì)算并輸入分子和分母矩陣來實(shí)現(xiàn)。 I= 。 %simplifies input num = [m*l/q 0 0] den = [1 b*(I+m*l^2)/q (M+m)*m*g*l/q b*m*g*l/q 0] G=tf(num,den) roots(den) 結(jié)果如下： 14 執(zhí)行上面的文件，就可以求出系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分子與分母多項(xiàng)式的 Matlab 表示 。若給定系統(tǒng)的一個(gè)初始狀態(tài) 0()xt （ 0t 可為 0），如果在 10tt? 的有限時(shí)間區(qū)間 01[ , ]tt 內(nèi)，存在容許控制 ()ut 使 1( ) 0xt? ，則稱系統(tǒng)狀態(tài)在 0t 時(shí)刻能控的；如果系統(tǒng)對任意一個(gè)初始狀態(tài) 都能控，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，簡稱系統(tǒng)是狀態(tài)能控的或系統(tǒng)是能控的 [16]。 下列命題中 的 任何一個(gè)成立 ，都可作為 線性定常系統(tǒng)對于 0 (0, )t? ? ? 完全能控的充要條件 。 （ 3） 矩陣 1()SI A B?? 的行線性獨(dú)立。 系統(tǒng)可觀測性分析 若一個(gè) n 維線性定常系統(tǒng)方 程為： x A x B uy Cx D u?????????? 16 其中 A、 B、 C、 D 分別為 nn? 、 nr? 、 mn? 、 mr? 常數(shù)矩陣。矩陣 OT 稱為系統(tǒng)的能觀測 性 矩陣，由 MATLAB 控制系統(tǒng)工具箱中的 obsv(A， C)函數(shù) 可以將該 矩陣自動(dòng) 的生成 出來。 我們可以看出，一級倒立擺系統(tǒng)的能控性矩陣和能觀性矩陣的秩均為 4，所以系統(tǒng)是 17 完全能控、完全能觀的。反饋理論的要素包括三個(gè)部分：測量、比較和執(zhí)行。 PID 控制器問世至今已有近 70 多年的歷史，它以其結(jié)構(gòu)簡單、穩(wěn)定性好、工作可靠、調(diào)整方便等優(yōu)點(diǎn)而成為現(xiàn)代工業(yè)控制的主要技術(shù)之一。常規(guī) PID 控制系統(tǒng)原理框圖如圖 7 所示。 在控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)和仿真中，也 常 將傳遞函數(shù)寫成 ： sKsKKsE sUsG DIP ???? )( )()( 式中： pK ——比例系數(shù)； IK ——積分系數(shù)； dK ——微分系數(shù)。 IK 越大其靜態(tài)誤差越小，但過大會(huì)產(chǎn)生振蕩，導(dǎo)致 系統(tǒng)的穩(wěn)定性下降 。 直線一級倒立擺 控制問題和我們以前遇到的標(biāo)準(zhǔn)控制問題有些不同，在這里輸出量為擺桿的位置，它的初始位置為垂直向上，我們給系統(tǒng)施加一個(gè)擾動(dòng)，觀察擺桿的響應(yīng)。 圖 9 直線一級倒立擺閉環(huán)系統(tǒng)簡化圖 該系統(tǒng)的輸出為 ： 21 )())(())(()()())(())((1)()()(1)()(sFnumn u m P I Dd e nd e n P I Dd e n P I DnumsFd e nd e n P I Dnumn u m P I Dd e nnumsFsGsKDsGsy?????? 其中： num——被控對象傳遞函數(shù)的分子項(xiàng) ； den ——被控對象傳遞函數(shù)的分母項(xiàng) ； numPID ——PID 控制器傳遞函數(shù)的分子項(xiàng) ； denPID ——PID 控制器傳遞函數(shù)的分母項(xiàng) ； 通過分析上式就可以得到系統(tǒng)的各項(xiàng)性能。 圖 10 直線一級倒立擺 的 PID 控制仿真模型 其中 PID Controller 為封裝（ Mask）后的 PID 控制器，雙擊 該 模塊打開參數(shù)設(shè)置 界面 ，如圖 11 所示。 因此 增加微分控制參數(shù) Kd，取 Kp=100， Ki=1， Kd=10，得到仿真結(jié)果如圖 14 所示 。 雙擊 “Scope1”，得到小車的位置輸出曲線如圖 16 所示。 圖 18 參數(shù)設(shè)計(jì)調(diào)整 (3) 點(diǎn)擊 編譯程序，完成后點(diǎn)擊 使計(jì)算機(jī)和倒立擺建立連接。 26 圖 19 PID 控制實(shí)驗(yàn)結(jié)果 1 從圖 19 中可以 得 出，倒立擺 系統(tǒng) 可以較好的實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定性，擺桿的角度 控制 在 （弧度）左右 ，但 對小車位置的控制 卻沒有明顯效果 ，小車會(huì)沿 著 滑桿稍微的移動(dòng)。倒立擺的擺角幅 度在 弧度左右 ， 倒立擺的位置隨著時(shí)間 27 的推移而大致呈線性變化 ，這 說明所設(shè)計(jì)的 PID 控制器對倒立擺的擺角控制性能較佳，但 卻 無法實(shí)現(xiàn)對倒立擺位置的控制。 28 第四章 直線一級倒立擺系統(tǒng) LQR 控制 線性二次最優(yōu)控制算法 LQR (linear quadratic regulator)即 線性 二次型 調(diào)節(jié)器 ， 在現(xiàn)代控制理論中占有相當(dāng)重要的地位，在控制領(lǐng)域受到一定的重視。特別可貴的 是， 是易于分析、處理和計(jì)算，而且通過 LQR 控制 發(fā)的到的倒立擺系統(tǒng)具有較好的魯棒性與動(dòng)態(tài)特性，同時(shí)能夠得到現(xiàn)行反饋結(jié)構(gòu)特點(diǎn)， 易于構(gòu)成閉環(huán)最優(yōu)控制。它的解很容易獲得 ， 并且可以 達(dá)到 很 好的控制效果 ， 因此在工程上有 著 廣泛的應(yīng)用。 求解 Riccati 方程得到控制器最佳參數(shù)可以實(shí)現(xiàn)線性二次型性能指標(biāo)，并且隨著現(xiàn)代計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步，求解過 程也大大的簡化了 [20]。 系統(tǒng) 狀態(tài) 方程 為： X AX Bu? ?? (41) 確定下列最優(yōu)控制向量的矩陣 K： ()u Kx t?? (42) 使性能指標(biāo) ： 01 ()2 TTJ x Q x u R u d t???? (43) 達(dá)到最小值 。 x Ax Bu? ?? DuCxy ?? K R + y x 30 矩陣 Q 和 R 確定了誤差和能量損耗的相對重要性 ， 并且假設(shè)控制向量 ()ut 是無約束的 。 對于狀態(tài)方程已經(jīng)知道的系統(tǒng) ， 利用 Matlab 的 LQR 函數(shù)可以很方便的求解反饋矩陣K， 具體方法為 如下。 我們可 在Matlab 中 ，通過仿真計(jì)算 得到最優(yōu)控制器對應(yīng)的 K 向量。當(dāng)然，也可以通過改變 Q 矩陣中的非零元素來調(diào)節(jié)控制器以得到期望的響應(yīng)。 A=[0 1 0 0。0。0 0 0 0。 K