【正文】 當(dāng)擺桿處于自然平衡 (自然下垂 )位置時(shí)，在系統(tǒng)受控前，通過(guò)手動(dòng)協(xié)助使擺桿進(jìn)入倒立狀態(tài)。 （ 2） PID 控制 對(duì)擺角的控制效果較 好， 但對(duì)小車(chē)位置的 控制卻 無(wú)能為力。 這是因?yàn)?Q是誤差的權(quán)矩陣， Q 增大 表 明指標(biāo)更看重誤差，于是會(huì)用相對(duì)大的能量來(lái)使靜態(tài)誤差更快的減小，于是過(guò)渡時(shí)間變小，超調(diào)變大，穩(wěn)態(tài)誤差變小 。 直線一級(jí)倒立擺的 LQR 控制器仿真 直線一級(jí)倒立擺 LQR 控制實(shí)時(shí)控制仿真模型如圖 22 所示。] 11Q =5000。 ??????????????000001000000000139。 對(duì)于線性系統(tǒng)： x A x B uy C x D u??? ??? ???? (45) 根據(jù)期望性能指標(biāo)選取 Q 和 R， 利用 ： K = lqr(A,B,Q,R) (46) 即可以得到 K 的值。 即需確定最佳反饋矩陣 K，使得 ( ) ( )u t Kx t?? 對(duì)任意初始狀態(tài) (0)x 而言均是最佳的。 線性二次型最優(yōu)控制問(wèn)題 ：即在 線性系統(tǒng) 的控制器 的 設(shè)計(jì) 中 ， 將控制變量和狀態(tài)變量的二次型函數(shù)的積分作為性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問(wèn)題。 其對(duì)象是現(xiàn)代控制理論中以 狀態(tài)空間 形式給出的線性系統(tǒng) ， 而 目標(biāo)函數(shù) 為對(duì)象狀態(tài)和控制輸入的二次型函數(shù)。在 施加一定干擾的情況下 ， 小車(chē)位置和擺桿角度的變化曲線如圖 20 所示 。 圖 16 PID 控制（小車(chē)位置曲線） 由上圖 可以看出，由于 PID 控制器為單輸入單輸出系統(tǒng)，所以只能控制擺桿的角度，并不能控制小車(chē)的位置， 因此 小車(chē)會(huì)往一個(gè)方向運(yùn)動(dòng)。 22 圖 11 PID 參數(shù)設(shè)置 界面 先設(shè)置 PID 控制器 的一組參數(shù) ， 取 Kp=1， Ki=1， Kd=1，得到圖 12 仿真結(jié)果 。系統(tǒng)框圖如圖 8 所示 。 PID 控制器 中的 三個(gè)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)控制品質(zhì)方面的影響： （ 1） 比例調(diào)節(jié) (P) 比例調(diào)節(jié) (P)比例系數(shù) pK 的大小決定了比例調(diào)節(jié)器調(diào)節(jié)的快慢程度 。當(dāng)被控對(duì)象的結(jié)構(gòu)和參數(shù)不能完全掌握，或得不到精確的數(shù)學(xué)模型時(shí)，控制理論的其它技術(shù)難以采用時(shí)，系統(tǒng)控制器的結(jié)構(gòu)和參數(shù)必須依靠現(xiàn)場(chǎng)調(diào)試和工程師的經(jīng)驗(yàn)來(lái)確定 [17] 。 綜上所述，可以得知直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)是一個(gè)不穩(wěn)定系統(tǒng) 但是卻 能控能觀 的 。 如果 在有限時(shí)間 01[ , ]tt （ 0t 可為 0， 10tt? ） 內(nèi)，根據(jù)輸 出值 y(t)與給出的 u(t)，能夠確定系統(tǒng)的初始狀態(tài) 0()xt 的每一個(gè)分量 ， 則稱此系統(tǒng)為完全可觀測(cè)的。 （ 1） 矩陣 1[0, ]CWt的秩為 n，其中， 11 0( 0 , ) Tt A T ACW t e B B e d? ? ? ????稱為 nn? 格蘭姆矩陣 。 因此，系統(tǒng)傳遞函數(shù)的表達(dá)式為： 24 3 s s s s? ? ? ? 系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)為 1 ? ， 2 ?? ， 3 ?? ， 4 0s? 。 仿真程序見(jiàn)下： M = 。對(duì)于系統(tǒng)在平衡點(diǎn)鄰域的穩(wěn)定性 ，則 可以根據(jù)系統(tǒng)的線性模型進(jìn)行分析。0 0]； B=[0。 分析小車(chē)水平方向所受的合力，可以得到以下方程 ： M x F b x N? ? ?? ? ? （ 21） 其次，對(duì)擺桿進(jìn)行受力分析，擺桿的受力如圖 5 所示。另一方面，經(jīng)過(guò)理想化的假設(shè)、忽略一些次要影響后， 倒立擺系統(tǒng)就是一個(gè)典型的運(yùn)動(dòng)的剛體系統(tǒng) ，應(yīng)用經(jīng)典力學(xué)相關(guān)理論可以方便的建立起數(shù)學(xué)模型。 自動(dòng)控制領(lǐng)域中，建立數(shù)學(xué)模型的方法有兩種，即機(jī)理法和實(shí)驗(yàn)法。 （ 3） 限位開(kāi)關(guān) 又稱 行程開(kāi)關(guān) ， 可以安裝在相對(duì)靜止的物體上或者運(yùn)動(dòng)的物體上。 圖 2 倒立擺系統(tǒng)工作原 理框圖 倒立擺 系統(tǒng)是由計(jì)算機(jī)、倒立擺本體、伺服機(jī)構(gòu)、運(yùn)動(dòng)控制卡和光電碼盤(pán)幾大部分組成的閉環(huán)系統(tǒng)。 第五章 ，直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的 PID 與 LQR 復(fù)合控制， 為倒立擺穩(wěn)定控制研究，設(shè)計(jì)了由 PID 控制器和線性二次型 (LQR)最優(yōu)控制器組成的復(fù)合控制器，并對(duì)其進(jìn)行仿真研究。 著重介紹 PID 控制方法、 LQR 控制方法，并對(duì) 直線 一級(jí)倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行 MATLAB 仿真。 4 Simulink 功能 Simulink是 MATLAB中的一種可視化仿真工具， 廣泛應(yīng)用于工程計(jì)算、控制設(shè)計(jì)、信號(hào)處理與通訊等科學(xué)領(lǐng)域， 是一種基于 MATLAB的框圖設(shè)計(jì)環(huán)境， 能 實(shí)現(xiàn) 動(dòng)態(tài)系統(tǒng) 建模、仿真和分析， 在 線性系統(tǒng) 、非線性系統(tǒng)、 數(shù)字控制 及 數(shù)字信號(hào)處理 的建模和仿真 方面的研究中起著重大的作用 。它能夠搭建很多復(fù)雜控制系統(tǒng)的仿真，對(duì)實(shí)際的生產(chǎn)設(shè)計(jì)具有很大的指導(dǎo)意義。 （ 4） 幾種智能控制算法相結(jié)合的控制。 目前 由 中國(guó) 大連理工大學(xué) 模糊系統(tǒng)與模糊信息研究中心 研究所 領(lǐng)導(dǎo)的復(fù)雜系統(tǒng) 智能控制實(shí)驗(yàn)室 ， 采用 了 變論域自適應(yīng)模糊 控制 方法， 成功地實(shí)現(xiàn)了四級(jí)倒立擺 ，使我國(guó)成為 世界上第一個(gè)成功完成四級(jí)倒立擺實(shí)驗(yàn)的國(guó)家。 倒立擺 的研究 主要應(yīng)用在以下幾個(gè)方面 ： 2 （ 1） 機(jī)器人的關(guān)鍵技術(shù) — 機(jī)器人的站立與行走。 （ 4） 開(kāi)環(huán)不穩(wěn)定性 。 本課題以固高公司的直線倒立擺為研究對(duì)象，采用 LQR 控制結(jié)合 PID 的復(fù)合控制，即根據(jù)LQR 控制和 PID 控制的優(yōu)缺點(diǎn)互補(bǔ) ， 使其系統(tǒng)具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、易于實(shí)現(xiàn)以及具有較強(qiáng)的適應(yīng)性和魯棒性，并且可以獲得良好的動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能。迄今，人們己經(jīng)利用經(jīng)典控制理論、現(xiàn)代控制理論以及各種智能控制方法實(shí)現(xiàn)了多種倒立擺系統(tǒng)的穩(wěn)定控制。 無(wú)論哪種類型的倒立擺系統(tǒng)都具有如下特性 ： （ 1） 非線性 ，實(shí)際控制 可以通過(guò)線性化得到系統(tǒng)的近似模型，線性化處理后再進(jìn)行控制。目前，對(duì)倒立擺 系統(tǒng) 的研究已經(jīng)引起國(guó)內(nèi)外的廣泛關(guān)注，是控制領(lǐng)域研究的熱門(mén)課題之一 [2]。 由于倒立擺系統(tǒng)與雙足機(jī)器人、各類伺服云臺(tái)穩(wěn)定 以及 火箭飛行控制 存在 很 多的共同點(diǎn) ，因此對(duì)倒立擺控制 系統(tǒng) 的研究具有重要的理論和實(shí)踐意義 [4]。對(duì)倒立擺的物理模型進(jìn)行分析，建立起倒立擺的動(dòng)力 學(xué)模型，然后使用狀態(tài)空間理論知識(shí)推導(dǎo)出狀態(tài)方程和輸出方程，最后應(yīng)用狀態(tài)反饋的方法，實(shí)現(xiàn)對(duì)倒立擺系統(tǒng)的控制 [6]。同時(shí) MATLAB可以進(jìn)行眾多的程序編寫(xiě)、計(jì)算和仿真的功能，在工程計(jì)算、控制設(shè)計(jì)、信號(hào)檢測(cè)、等領(lǐng)域具有很強(qiáng)的應(yīng)用型，極大方便了人們的設(shè)計(jì)。 本文所應(yīng)用到的就是由固高公司所開(kāi)發(fā)的硬件和 Simulink自定義工具箱。 同時(shí) Simulink 還允許 其他多領(lǐng)域產(chǎn)品擴(kuò)展 其 建模功能 與模塊 ， 有利于用戶的 設(shè)計(jì)、執(zhí)行、驗(yàn)證和確認(rèn)任務(wù)。同時(shí)分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、可控性及可觀測(cè)性。 控制平臺(tái)主要部分組成： （ 1） PC 機(jī)，帶 PCI 總線插槽； （ 2） 運(yùn)動(dòng)控制卡用戶接口軟件； （ 3） 運(yùn)動(dòng)控制卡。 通過(guò) 改變控制電壓 來(lái)改 變伺服電機(jī)的轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)向。因此，為了實(shí)現(xiàn)仿真，首先要采用某種方法對(duì)真實(shí)系統(tǒng)進(jìn)行抽象，得到系統(tǒng)模型，其過(guò)程稱為系統(tǒng)建模。 這里面包括輸入信號(hào)的設(shè)計(jì)選取，輸出信號(hào)的精確檢測(cè)，數(shù)學(xué)算法的研究等等內(nèi)容 [13]。 在圖 3 中設(shè)： X 為 小車(chē) 的 位移，單位 (m)； ? 為 擺桿與垂直方向的夾角，單位 (rad)； m為 擺桿的質(zhì)量，單位 (kg)； M 為 小車(chē)的質(zhì)量，單位 (kg)； l為 擺桿的轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到擺桿質(zhì)心的長(zhǎng)度，單位 m； F 為 小車(chē) 受到 的作用力，單位 (N)； I 為 擺桿對(duì)重心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，單位 ( 2kgm? )； g 為 重力加速度 ，單位 ( 2/ms)； m M F x bx? θ 0 9 b 為 小車(chē)受 到 的滑動(dòng)摩擦系數(shù)，單位 (N/m/s)； 首先，對(duì)小車(chē)進(jìn)行受力分析，如圖 4 所示。只要將直線一級(jí)倒立擺的實(shí)際結(jié)構(gòu)參數(shù)（ kg? ， ? ， kg? ， 34I kg m??， /b N m s??， /g m s? ）代入上面兩式，得對(duì)應(yīng)系數(shù)矩陣為： A=[0 1 0 0。在對(duì)時(shí)不變系統(tǒng)進(jìn)行定性分析時(shí)， 就需要 用到 現(xiàn)代 控制理論中的穩(wěn)定性判據(jù)、能觀性 以及 能控性判據(jù) [15]。 調(diào)用 MATLAB 函數(shù) 中的 roots(den)或 eig(A)， 即可得出 由 傳遞函數(shù)描述的系統(tǒng) 或 狀態(tài)方程描述的系統(tǒng)的所有極點(diǎn)， 則 這樣就可以由得出的極點(diǎn)位置直接判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性了。 l = 。 若系統(tǒng)是能控的，則存在容許控制 ()ut ，使得： 15 111 ()1 0( ) ( 0) ( )tA t A tx t e x e Bu d??? ? ? ? ? ??； 111()0( 0 ) ( )tAt A te x e B u d??? ? ? ?? ； 10(0 ) ( )t Ax e Bu d??? ? ? ?? 。 ctrb()函數(shù) 的 調(diào)用格式為： ( , )cQ ctrb A B?，通過(guò)該函數(shù) 可 以 求出系統(tǒng)的能控矩陣： ? ?????????????????????00, 32 BABAABBT c cT 矩陣的秩 ()crankT 稱為系統(tǒng)的能控性指數(shù)，它的值是系統(tǒng)中能控狀態(tài)的數(shù)目。 若 ()Orank T n? ，則 說(shuō)明 系統(tǒng) 是 完全能觀測(cè) 的 。 PID 控制的基本思想是：通過(guò)測(cè)量輸出變量，與期望值相比較，用這 個(gè)誤差調(diào)節(jié)控制系統(tǒng)。 K 比例 微分 積分 被控對(duì)象 rin(k) + + + yout(k) 19 圖 7 常規(guī) PID 控制系統(tǒng)圖 PID 控制器是 作為 一種線性控制器，它 是 根據(jù)給定值 ()rt與實(shí)際輸出值 ()yt 構(gòu)成控制偏差 ()et ： ( ) ( ) ( )e t r t y t?? 將偏差的比例 (P)、積分 (I)和微分 (D)通過(guò)線性組合構(gòu)成控制量， 來(lái) 對(duì)被控對(duì)象進(jìn)行控制，故稱 為 PID 控制器。 （ 3） 微分調(diào)節(jié) (D) 可以消除振蕩，提高快速性， 當(dāng)偏差 ()et 瞬間 的 波動(dòng) 較 快時(shí) ， 微分調(diào)節(jié)器 則 會(huì) 立刻 產(chǎn)生響應(yīng)來(lái)抑制偏差 ()et 的變化 ，從而 使系統(tǒng)趨于穩(wěn) 定 ，而且 系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能 也得到了 改善 。通過(guò)選擇不同的 PID 參數(shù)對(duì)倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行仿真。因此再增加微分控制參數(shù) Kd，取： Kp=100， Ki=1， Kd=20。緩慢提起倒立擺的擺桿到豎直向上的位置， 待 進(jìn)入自動(dòng)控制程序后松開(kāi) 擺桿 ，當(dāng)小車(chē) 即將 運(yùn)動(dòng)到 兩端 限位的 位置時(shí)， 可 用 其他物體 擋一下擺桿，使小車(chē) 向另一端 運(yùn)動(dòng)。 其原因在于傳統(tǒng)的 PID 控制方式 (建立在傳遞函數(shù)上 )只適應(yīng)于單輸入單輸出系統(tǒng)，而要使實(shí)際倒立擺系統(tǒng)得到控制，即既要使擺桿直立，又能使小車(chē)達(dá)到指定的位置，并且在整個(gè)過(guò)程中，桿不能倒下 ，則 必須采用其它的控制方法。 LQR最優(yōu)控制利用廉價(jià)成本可以使原系統(tǒng)達(dá)到較好的性能指標(biāo) (事實(shí)也可以對(duì)不穩(wěn)定的系統(tǒng)進(jìn)行整定 )， 而且方法簡(jiǎn)單便于實(shí)現(xiàn) ， 同時(shí)利用 Matlab 強(qiáng)大的功能體系容易對(duì)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)仿真。 29 圖 21 LQR 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 其中， [ , ]Tyx??為小車(chē)的位移和擺桿的角度在倒立擺系統(tǒng)的輸出， R 是作用在小車(chē)上的階躍輸入 。 如 上 所述 ， 線性二次最優(yōu)控制規(guī)律是最優(yōu)控制規(guī)律 。 加權(quán)陣R 取不同的值將有不同的跟蹤的輸出， 通常 情況 下 是假設(shè) R=1， 39。0 0 0 1。0 0 0 0]。 但 LQR 控制 器 的魯棒性及抗干擾性能不強(qiáng)，而且 LQR 控制 器 是通過(guò)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行局部線性化后 再 運(yùn)用的一種 控制 方法，因此對(duì)于初始角度偏離設(shè)定點(diǎn)較大時(shí)，這種控制方法的效果明顯變差 ， 特別在 外界 擾動(dòng)較大時(shí)，可能失去控制作用 。 LQR 最優(yōu)控制是一種較成熟的現(xiàn)代控制理論方法，其控制效果較好，可以用在實(shí)時(shí)性要求較高的場(chǎng)合 。 因此 當(dāng) 初始角度偏離 設(shè)定點(diǎn)較大時(shí)，這種控制方法的效果明顯變差 ， 特別在擾動(dòng)較大時(shí)，可能失去控制作用； PID 控制器作為反饋傳遞函數(shù)，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、魯棒性好、可靠性高的線性控制， 雖 控制效果稍差一些 ， 但 可 在一定程度上彌補(bǔ) LQR 的不足 [22]。 認(rèn)真觀察 并 分析 PID Control Demo 和 LQR Control Demo，在經(jīng)過(guò)一系列的設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)后， 設(shè)計(jì) PID 和 LQR 復(fù)合控制器 ， 仿真模型圖如圖 25 所示。 （ 5） LQR 控制的抗干擾性能及魯棒性不強(qiáng) 。在巧妙的選擇 Q 及 R 陣的基礎(chǔ)上得到的 LQR 控制器參數(shù)具有優(yōu)良的控制性能。 圖 24 直線一級(jí)倒立擺 LQR 控制實(shí)時(shí)控制結(jié)果 系統(tǒng)保持平衡，幾乎不產(chǎn)生振動(dòng)。0 0 0 0。 A=[0 1 0 0。 我們可 在Matlab 中 ，通過(guò)仿真計(jì)算 得到最優(yōu)控制