【正文】 .................14 系統(tǒng) 可觀測(cè)性分析 .....................................................................................................15 本章小結(jié) .............................................................................................................................17 第三章 直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng) PID 控制 ............................................................................................18 PID 控制算法 .......................................................................................................................18 直線一級(jí)倒立擺 PID 控制器設(shè)計(jì) .........................................................................................18 直線一級(jí)倒立擺的 PID 控制器仿真 ......................................................................................24 本章小結(jié) .............................................................................................................................27 第四章 直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng) LQR 控制 ...........................................................................................28 線性二次最優(yōu)控制算法 ........................................................................................................28 直線一級(jí)倒立擺的 LQR 控制器設(shè)計(jì) ....................................................................................30 直線一級(jí)倒立擺的 LQR 控制器仿真 ....................................................................................31 本章小結(jié) .............................................................................................................................33 第五章 直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng) PID 與 LQR 復(fù)合控制設(shè)計(jì) ..................................................................34 兩種控制算法的對(duì)比分析 ....................................................................................................34 直線一級(jí)倒立擺 PID 與 LQR 復(fù)合控制器設(shè)計(jì) ......................................................................34 直線一級(jí)倒立擺的復(fù)合控制器仿真 ......................................................................................36 本章小結(jié) .............................................................................................................................37 第六章 總結(jié)與展望 ........................................................................................................................38 總結(jié) .....................................................................................................................................38 進(jìn)一步展望 .........................................................................................................................38 參考文獻(xiàn) ..........................................................................................................................................39 致 謝 .............................................................................................................................................41 1 第一章 緒論 概述 倒立擺 系統(tǒng) 概述 倒立擺系統(tǒng)是一個(gè)典型的非線性、強(qiáng)耦合、多 變量和不穩(wěn)定系統(tǒng)，作為控制系統(tǒng)的被控對(duì)象，它是一個(gè)理想的教學(xué)實(shí)驗(yàn)設(shè)備，許多抽象的控制概念都可以通過(guò)倒立擺直觀地表現(xiàn)出來(lái) 。 許 多抽象的概念都可以通過(guò)倒立擺系統(tǒng)直觀的表現(xiàn)出來(lái) ， 如控制系統(tǒng)的可控性、穩(wěn)定性、系統(tǒng)的抗干擾能力和系統(tǒng)的收斂速度等。 通過(guò)對(duì)倒立擺的控制，用來(lái)檢驗(yàn)新的控制方法是否有較強(qiáng)的處理非線性和不穩(wěn)定性問(wèn)題的能力 [1]。其控制方法和 思路對(duì)理論 和 實(shí)際的過(guò)程控制都有很好的啟 發(fā) ， 可以 有效的檢驗(yàn)各種控制理論和方法。 （ 5） 單級(jí)火箭在拐彎時(shí)飛行姿態(tài)的控制。 （ 2） 狀態(tài)反饋控制。為實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證仿真、工程設(shè)計(jì)、科研以及其他復(fù)雜的數(shù)值計(jì)算等眾多科學(xué)領(lǐng)域提供了一種全面快速有效的解決方案， MATLAB 采用了全新的 程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言編輯模式，程序編寫更加快速、簡(jiǎn)潔，結(jié)果更加準(zhǔn)確形象，代表了當(dāng)今國(guó)際科學(xué)計(jì)算軟件領(lǐng)域的先進(jìn)水平。 與 MATLAB類似， Simulink的功能可以通過(guò)購(gòu)買或自定義的工具箱不斷擴(kuò)展 ，當(dāng)前已有大量的 第三方軟件 和硬件可應(yīng)用于或被要求應(yīng)用于 Simulink。 它用戶的強(qiáng)大的工具和自定義工具箱可 對(duì)各種 時(shí)變系統(tǒng) ，包括通訊、控制、 信號(hào)處理 、視頻 圖 像處理系統(tǒng) ， Simulink提供了交互式圖形化環(huán)境和可定制模塊庫(kù)來(lái)對(duì)其進(jìn)行設(shè)計(jì)、仿真、和測(cè)試 ，為上述系統(tǒng)的實(shí)際設(shè)計(jì)方案的可行性提供了強(qiáng)有力的理論基礎(chǔ) [10]。 第二章 ，直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)概述， 介紹了直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)、建立其動(dòng)力學(xué)模型得出其傳遞函數(shù)和狀態(tài)空間表達(dá)式。 圖 1 一級(jí)倒立擺系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖 其中電控箱內(nèi)主要部件有：交流伺服驅(qū)動(dòng)器 、 I／ O 接口板 和 開(kāi)關(guān)電源。 直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)硬件組成 如下 ： （ 1）伺服電機(jī) 在自動(dòng)控制系統(tǒng)中作為執(zhí) 行元件 ， 又 可 稱為執(zhí)行電動(dòng)機(jī)，它 可以 將輸入的電壓信號(hào)變換成轉(zhuǎn)軸的角位移或者角速度輸出。所謂的真實(shí)系統(tǒng)，它可以是已存在的或正在設(shè)計(jì)的系統(tǒng)。但是，這也并不意味著對(duì)內(nèi)部過(guò)程一無(wú)所知。 圖 3 直線 一級(jí)倒立擺 系統(tǒng)模型 圖 在本 設(shè)計(jì) 中， 主要 應(yīng)用牛頓一歐拉法對(duì) 直線一級(jí) 倒立擺 系統(tǒng) 進(jìn)行數(shù)學(xué)建模。將該式寫成矩陣形式可以得到系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程為： 12 2 2 2 22 2 22 2 20 1 0 0 0()00( ) ( ) ( )0 0 0 1 0()00( ) ( ) ( )xxI ml b m gl I mlI M m Mm l I M m Mm l I M m Mm lmlb mgl M m mlI M m Mm l I M m Mm l I M m Mm l?? ? ?????? ? ? ?????? ? ? ???? ? ???? ? ? ??? ??? ? ? ?? ? ? ? ? ????? ??? ? ? ??????? ? ? ???? ??? ? ? ??????????? ? ?????? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?u? （ 217） 1 0 0 00 0 1 0xxxy????????? ? ? ??? ??? ? ? ???? ? ? ? ????????? （ 218） 由此可見(jiàn)，一級(jí)倒立擺實(shí)際上是一個(gè)單輸人多輸出的系統(tǒng)。0]； 直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)分析 得到系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型后，為 了 進(jìn)一步 研究 系統(tǒng) 的 性質(zhì)，需要對(duì)系統(tǒng)的特性進(jìn)行分析，主要是 針 對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性、能控性及能觀性的分析。如果 所求 極點(diǎn) 均小于零 ，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的， 反之 系統(tǒng)是 不 穩(wěn)定的。 g = 。 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程 為 ： x Ax Bu? ??， 若 0 0t? ， 0( ) (0)x t x? ，系統(tǒng)狀態(tài)方程的解為 ()0( ) ( 0 ) ( )tAt A tx t e x e B u d??? ? ? ??。 其中， 矩陣cQ稱為系統(tǒng)的能控變換矩陣， n 是系統(tǒng)的階次 ，cQ矩陣可以由 MATLAB控制系統(tǒng)工具箱中的 ctrb()函數(shù)自動(dòng)產(chǎn)生出來(lái)。 obsv(A， C)函數(shù) 的 調(diào)用格式為： ( , )OT obsv A C? 同理， 用 obsv(A， C)函數(shù)可求出系統(tǒng)的能觀測(cè)矩陣 OT ： ? ?????????????????????????????????8 2 8 6 2 9 0010001 4 8 2 0 0 5 5 0 7 8 2 8 3 5 6 2 9 8 8 0001100000000001, 320TCACACACT OT 矩陣的秩 ()OrankT 稱為系統(tǒng)的能觀測(cè)性指數(shù)，它的值 表示 系統(tǒng)中能觀測(cè)狀態(tài)的數(shù)目。測(cè)量關(guān)心的變量，與期望值相比較，用這個(gè)誤差糾正調(diào)節(jié)控制系統(tǒng)的響應(yīng)。系統(tǒng)由模擬 PID 控制器 KD(S)和被控對(duì)象 G(S)組成。 因此 ， 要恰 當(dāng)?shù)倪x擇積分常數(shù)大小。 PID 控制器的傳遞函數(shù)為： d e n P IDn u m P IDs KsKsKsKKsKsKD IPDIPD ??????? 2)( 只需調(diào)節(jié) PID 控制器的參數(shù)，就可以得到滿意的控制效果。 圖 14 PID 控制仿真結(jié)果圖（ Kp=100， Ki=1， Kd=10） 從圖 14 中可以看出，此時(shí)的穩(wěn)態(tài)性能相對(duì)較理想，但還不夠平滑。 (4) 點(diǎn)擊 運(yùn)行程序，檢查電機(jī)是否上伺服。 利用 PID 控制 方法可以滿足系統(tǒng)對(duì)擺角的控制，而小車 卻 以恒定的速度向相反的方向滑動(dòng)，即 PID 控制 方法不能對(duì)小車 的 位置進(jìn)行控制，最終系統(tǒng)還是不能平衡 。而且 Matlab 的應(yīng)用為 LQR 理論仿真提供了條件 ， 更為我們實(shí)現(xiàn)穩(wěn)、準(zhǔn)、快的控制目標(biāo)提供了 保障 [19]。 最優(yōu)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖 21 所示。 對(duì)于不同的 Q 和 R 陣的選擇，可以得到一系列不同的 ()ut ，故 需要分析研究狀態(tài)變量的加權(quán)陣 Q 和輸入量的加權(quán)陣 R 對(duì)系統(tǒng)性能的影響 [21]。 LQR 函數(shù) 中的 兩個(gè) 重要 矩陣——R 和 Q， Q 和 R 矩 陣這兩個(gè)參數(shù)是用來(lái)平衡系統(tǒng)對(duì)狀態(tài)量和輸入量 的權(quán)重。0 0。0 0 33Q 0。 LQR 對(duì)于倒立擺位置與角度的控制均達(dá)到了較好 33 的控制性能。 本章小結(jié) 本章為 直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的 LQR 控制， 著重介紹 了 LQR 控制算法并對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行MATLAB 仿真 。 綜上所述， LQR 最優(yōu)控制可以用在實(shí)時(shí)性要求較高的場(chǎng)合 ， 但 當(dāng) 被控系統(tǒng)的復(fù)雜性，非線性增加 時(shí)會(huì)使其 控制性能降低 。 35 圖 25 PID 控制和 LQR 控制組