【正文】 器設(shè)計(jì) 假設(shè)全狀態(tài)反饋可以實(shí)現(xiàn)， 則可通過(guò)計(jì)算來(lái) 確定反饋控制規(guī)律的 K 向量。 最優(yōu)控制理論的核心主要是：通過(guò)對(duì)性能指標(biāo)的優(yōu)化以尋找可以使目標(biāo)極小的控制器。待 干擾停止作用后，系統(tǒng)能很快 的 回到 原 平衡位置。 23 圖 13 PID 控制仿真結(jié)果圖（ Kp=100， Ki=1， Kd=1） 從圖 13 中可以看出，此時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài) ， 但響應(yīng)速度 還 不夠快 ， 且振蕩次數(shù) 較 多 ， 超調(diào)量也 比較 大。 20 （ 2） 積分調(diào)節(jié) (I) 積分作用可消除余差，積分常數(shù) IK 的大小決定了積分作用程度 的強(qiáng)弱 。 18 第三章 直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng) PID 控制 PID 控制算法 目前的自動(dòng)控制技術(shù)大多基于反饋的概念。 即crankQ n?。 b = 。]； C=[1 0 0 0。下面就其中的牛頓－歐拉方法展開(kāi)具體論述 [14]。由開(kāi)關(guān)接點(diǎn)開(kāi)、合狀態(tài)的改變?nèi)タ刂齐娐泛蜋C(jī)構(gòu)的動(dòng)作。 6 第二章 直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)概述 直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)硬件結(jié)構(gòu) 倒立擺系統(tǒng) 主要 包含倒立擺本體、電控箱 以 及 由 計(jì)算機(jī)和運(yùn)動(dòng)控制卡組成的控制平臺(tái)三大部分， 這些元件 組成了一個(gè)閉環(huán)系統(tǒng) [11]。 在 創(chuàng)建 動(dòng)態(tài)系統(tǒng) 模型 方面 ， Simulink提供了一個(gè) 交互性強(qiáng)大的 圖形 用戶接口 （ GUI） ，這個(gè)創(chuàng)建過(guò)程 不需要復(fù)雜的程序編寫(xiě)， 只需 利用鼠標(biāo)進(jìn)行簡(jiǎn)單的 操作就能完成 ，就可以看到簡(jiǎn)潔明了和準(zhǔn)確的 系統(tǒng)的仿真結(jié)果 ，非常便于用戶的分析和更改 [9]。 3 MATLAB 簡(jiǎn)介 MATLAB 是由美國(guó) Mathworks 公司發(fā)布的的一種高科技計(jì)算環(huán)境，目前它主要面向于科學(xué)計(jì)算、可視化以及交互式程序設(shè)計(jì)。 （ 3） 通信衛(wèi)星在軌 道和確定位置上的穩(wěn)定 控制 。 倒立擺系統(tǒng)作為一個(gè)實(shí)驗(yàn)裝置，形象直觀，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，構(gòu)件組成參數(shù)和形狀易于改變，成本低廉， 是開(kāi)展各種控制實(shí)驗(yàn)及進(jìn)行控制理論教學(xué)的理想實(shí)驗(yàn)平臺(tái)。 在 倒立擺系統(tǒng) 控制過(guò)程中能有效地反映現(xiàn)代控制中的許多關(guān)鍵問(wèn)題，如系統(tǒng)的魯棒性問(wèn)題、非線性問(wèn)題、隨動(dòng)問(wèn)題、跟蹤問(wèn)題及鎮(zhèn)定問(wèn)題等。 （ 4） 偵察衛(wèi)星中攝像機(jī)的穩(wěn)定 控制 。它將很多強(qiáng)大的功能集成在一個(gè)便于使用的視窗軟件平臺(tái)中，例如：數(shù)值分析、矩陣計(jì)算以及非線性動(dòng) 態(tài)系統(tǒng)的建模和仿真等。 Simulink是用于 動(dòng)態(tài)系統(tǒng) （線性、非線性） 和 嵌入式系統(tǒng) 的多領(lǐng)域仿真和基于模型的設(shè)計(jì) 的理想設(shè)計(jì)平臺(tái) 。其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖 1 所示。 （ 4） 運(yùn)動(dòng)控制器 直線一級(jí)倒立擺數(shù)學(xué)模型 系統(tǒng)仿真就是通過(guò)對(duì)系統(tǒng)模型的分析來(lái)研究真實(shí)系統(tǒng)的特性。 忽略空氣阻力和各種摩擦之后，可 以 將直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)抽象成小車(chē)和勻質(zhì)桿組 成的系統(tǒng) ， 如圖 3 所示。0 0 1 0]； D=[0。 I= 。 （ 3） 矩陣 1()SI A B?? 的行線性獨(dú)立。反饋理論的要素包括三個(gè)部分：測(cè)量、比較和執(zhí)行。 IK 越大其靜態(tài)誤差越小，但過(guò)大會(huì)產(chǎn)生振蕩，導(dǎo)致 系統(tǒng)的穩(wěn)定性下降 。 因此 增加微分控制參數(shù) Kd，取 Kp=100， Ki=1， Kd=10，得到仿真結(jié)果如圖 14 所示 。倒立擺的擺角幅 度在 弧度左右 ， 倒立擺的位置隨著時(shí)間 27 的推移而大致呈線性變化 ，這 說(shuō)明所設(shè)計(jì)的 PID 控制器對(duì)倒立擺的擺角控制性能較佳，但 卻 無(wú)法實(shí)現(xiàn)對(duì)倒立擺位置的控制。 求解 Riccati 方程得到控制器最佳參數(shù)可以實(shí)現(xiàn)線性二次型性能指標(biāo)，并且隨著現(xiàn)代計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步，求解過(guò) 程也大大的簡(jiǎn)化了 [20]。 我們可 在Matlab 中 ，通過(guò)仿真計(jì)算 得到最優(yōu)控制器對(duì)應(yīng)的 K 向量。0 0 0 0。在巧妙的選擇 Q 及 R 陣的基礎(chǔ)上得到的 LQR 控制器參數(shù)具有優(yōu)良的控制性能。 認(rèn)真觀察 并 分析 PID Control Demo 和 LQR Control Demo，在經(jīng)過(guò)一系列的設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)后， 設(shè)計(jì) PID 和 LQR 復(fù)合控制器 ， 仿真模型圖如圖 25 所示。 LQR 最優(yōu)控制是一種較成熟的現(xiàn)代控制理論方法，其控制效果較好，可以用在實(shí)時(shí)性要求較高的場(chǎng)合 。0 0 0 0]。 加權(quán)陣R 取不同的值將有不同的跟蹤的輸出， 通常 情況 下 是假設(shè) R=1， 39。 29 圖 21 LQR 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 其中， [ , ]Tyx??為小車(chē)的位移和擺桿的角度在倒立擺系統(tǒng)的輸出， R 是作用在小車(chē)上的階躍輸入 。 其原因在于傳統(tǒng)的 PID 控制方式 (建立在傳遞函數(shù)上 )只適應(yīng)于單輸入單輸出系統(tǒng)，而要使實(shí)際倒立擺系統(tǒng)得到控制，即既要使擺桿直立，又能使小車(chē)達(dá)到指定的位置，并且在整個(gè)過(guò)程中，桿不能倒下 ，則 必須采用其它的控制方法。因此再增加微分控制參數(shù) Kd，?。?Kp=100， Ki=1， Kd=20。 （ 3） 微分調(diào)節(jié) (D) 可以消除振蕩，提高快速性， 當(dāng)偏差 ()et 瞬間 的 波動(dòng) 較 快時(shí) ， 微分調(diào)節(jié)器 則 會(huì) 立刻 產(chǎn)生響應(yīng)來(lái)抑制偏差 ()et 的變化 ，從而 使系統(tǒng)趨于穩(wěn) 定 ，而且 系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能 也得到了 改善 。 PID 控制的基本思想是：通過(guò)測(cè)量輸出變量，與期望值相比較，用這 個(gè)誤差調(diào)節(jié)控制系統(tǒng)。 ctrb()函數(shù) 的 調(diào)用格式為： ( , )cQ ctrb A B?，通過(guò)該函數(shù) 可 以 求出系統(tǒng)的能控矩陣： ? ?????????????????????00, 32 BABAABBT c cT 矩陣的秩 ()crankT 稱為系統(tǒng)的能控性指數(shù)，它的值是系統(tǒng)中能控狀態(tài)的數(shù)目。 l = 。在對(duì)時(shí)不變系統(tǒng)進(jìn)行定性分析時(shí)， 就需要 用到 現(xiàn)代 控制理論中的穩(wěn)定性判據(jù)、能觀性 以及 能控性判據(jù) [15]。 在圖 3 中設(shè)： X 為 小車(chē) 的 位移，單位 (m)； ? 為 擺桿與垂直方向的夾角，單位 (rad)； m為 擺桿的質(zhì)量，單位 (kg)； M 為 小車(chē)的質(zhì)量，單位 (kg)； l為 擺桿的轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到擺桿質(zhì)心的長(zhǎng)度，單位 m； F 為 小車(chē) 受到 的作用力，單位 (N)； I 為 擺桿對(duì)重心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，單位 ( 2kgm? )； g 為 重力加速度 ，單位 ( 2/ms)； m M F x bx? θ 0 9 b 為 小車(chē)受 到 的滑動(dòng)摩擦系數(shù)，單位 (N/m/s)； 首先，對(duì)小車(chē)進(jìn)行受力分析，如圖 4 所示。因此，為了實(shí)現(xiàn)仿真，首先要采用某種方法對(duì)真實(shí)系統(tǒng)進(jìn)行抽象，得到系統(tǒng)模型，其過(guò)程稱為系統(tǒng)建模。 控制平臺(tái)主要部分組成： （ 1） PC 機(jī)，帶 PCI 總線插槽； （ 2） 運(yùn)動(dòng)控制卡用戶接口軟件； （ 3） 運(yùn)動(dòng)控制卡。 同時(shí) Simulink 還允許 其他多領(lǐng)域產(chǎn)品擴(kuò)展 其 建模功能 與模塊 ， 有利于用戶的 設(shè)計(jì)、執(zhí)行、驗(yàn)證和確認(rèn)任務(wù)。同時(shí) MATLAB可以進(jìn)行眾多的程序編寫(xiě)、計(jì)算和仿真的功能，在工程計(jì)算、控制設(shè)計(jì)、信號(hào)檢測(cè)、等領(lǐng)域具有很強(qiáng)的應(yīng)用型，極大方便了人們的設(shè)計(jì)。 由于倒立擺系統(tǒng)與雙足機(jī)器人、各類(lèi)伺服云臺(tái)穩(wěn)定 以及 火箭飛行控制 存在 很 多的共同點(diǎn) ，因此對(duì)倒立擺控制 系統(tǒng) 的研究具有重要的理論和實(shí)踐意義 [4]。 無(wú)論哪種類(lèi)型的倒立擺系統(tǒng)都具有如下特性 ： （ 1） 非線性 ，實(shí)際控制 可以通過(guò)線性化得到系統(tǒng)的近似模型，線性化處理后再進(jìn)行控制。 本課題以固高公司的直線倒立擺為研究對(duì)象，采用 LQR 控制結(jié)合 PID 的復(fù)合控制，即根據(jù)LQR 控制和 PID 控制的優(yōu)缺點(diǎn)互補(bǔ) ， 使其系統(tǒng)具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、易于實(shí)現(xiàn)以及具有較強(qiáng)的適應(yīng)性和魯棒性，并且可以獲得良好的動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能。 倒立擺 的研究 主要應(yīng)用在以下幾個(gè)方面 ： 2 （ 1） 機(jī)器人的關(guān)鍵技術(shù) — 機(jī)器人的站立與行走。 （ 4） 幾種智能控制算法相結(jié)合的控制。 4 Simulink 功能 Simulink是 MATLAB中的一種可視化仿真工具， 廣泛應(yīng)用于工程計(jì)算、控制設(shè)計(jì)、信號(hào)處理與通訊等科學(xué)領(lǐng)域， 是一種基于 MATLAB的框圖設(shè)計(jì)環(huán)境， 能 實(shí)現(xiàn) 動(dòng)態(tài)系統(tǒng) 建模、仿真和分析， 在 線性系統(tǒng) 、非線性系統(tǒng)、 數(shù)字控制 及 數(shù)字信號(hào)處理 的建模和仿真 方面的研究中起著重大的作用 。 第五章 ，直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的 PID 與 LQR 復(fù)合控制， 為倒立擺穩(wěn)定控制研究，設(shè)計(jì)了由 PID 控制器和線性二次型 (LQR)最優(yōu)控制器組成的復(fù)合控制器，并對(duì)其進(jìn)行仿真研究。 （ 3） 限位開(kāi)關(guān) 又稱 行程開(kāi)關(guān) ， 可以安裝在相對(duì)靜止的物體上或者運(yùn)動(dòng)的物體上。另一方面，經(jīng)過(guò)理想化的假設(shè)、忽略一些次要影響后， 倒立擺系統(tǒng)就是一個(gè)典型的運(yùn)動(dòng)的剛體系統(tǒng) ，應(yīng)用經(jīng)典力學(xué)相關(guān)理論可以方便的建立起數(shù)學(xué)模型。0 0]； B=[0。 仿真程序見(jiàn)下： M = 。 （ 1） 矩陣 1[0, ]CWt的秩為 n，其中， 11 0( 0 , ) Tt A T ACW t e B B e d? ? ? ????稱為 nn? 格蘭姆矩陣 。 綜上所述，可以得知直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)是一個(gè)不穩(wěn)定系統(tǒng) 但是卻 能控能觀 的 。 PID 控制器 中的 三個(gè)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)控制品質(zhì)方面的影響： （ 1） 比例調(diào)節(jié) (P) 比例調(diào)節(jié) (P)比例系數(shù) pK 的大小決定了比例調(diào)節(jié)器調(diào)節(jié)的快慢程度 。 22 圖 11 PID 參數(shù)設(shè)置 界面 先設(shè)置 PID 控制器 的一組參數(shù) ， 取 Kp=1， Ki=1， Kd=1，得到圖 12 仿真結(jié)果 。在 施加一定干擾的情況下 ， 小車(chē)位置和擺桿角度的變化曲線如圖 20 所示 。 線性二次型最優(yōu)控制問(wèn)題 ：即在 線性系統(tǒng) 的控制器 的 設(shè)計(jì) 中 ， 將控制變量和狀態(tài)變量的二次型函數(shù)的積分作為性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問(wèn)題。 對(duì)于線性系統(tǒng)： x A x B uy C x D u??? ??? ???? (45) 根據(jù)期望性能指標(biāo)選取 Q 和 R， 利用 ： K = lqr(A,B,Q,R) (46) 即可以得到 K 的值。] 11Q =5000。 這是因?yàn)?Q是誤差的權(quán)矩陣， Q 增大 表 明指標(biāo)更看重誤差，于是會(huì)用相對(duì)大的能量來(lái)使靜態(tài)誤差更快的減小，于是過(guò)渡時(shí)間變小，超調(diào)變大，穩(wěn)態(tài)誤差變小 。 當(dāng)擺桿處于自然平衡 (自然下垂 )位置時(shí)，在系統(tǒng)受控前，通過(guò)手動(dòng)協(xié)助使擺桿進(jìn)入倒立狀態(tài)。 （ 2） PID 控制 對(duì)擺角的控制效果較 好， 但對(duì)小車(chē)位置的 控制卻 無(wú)能為力。 直線一級(jí)倒立擺的 LQR 控制器仿真 直線一級(jí)倒立擺 LQR 控制實(shí)時(shí)控制仿真模型如圖 22 所示。 ??????????????000001000000000139。 即需確定最佳反饋矩陣 K，使得 ( ) ( )u t Kx t?? 對(duì)任意初始狀態(tài) (0)x 而言均是最佳的。 其對(duì)象是現(xiàn)代控制理論中以 狀態(tài)空間 形式給出的線性系統(tǒng) ， 而 目標(biāo)函數(shù) 為對(duì)象狀態(tài)和控制輸入的二次型函數(shù)。 圖 16 PID 控制（小車(chē)位置曲線） 由上圖 可以看出，由于 PID 控制器為單輸入單輸出系統(tǒng)，所以只能控制擺桿的角度，并不能控制小車(chē)的位置， 因此 小車(chē)會(huì)往一個(gè)方向運(yùn)動(dòng)。系統(tǒng)框圖如圖 8 所示 。當(dāng)被控對(duì)象的結(jié)構(gòu)和參數(shù)不能完全掌握，或得不到精確的數(shù)學(xué)模型時(shí)，控制理論的其它技術(shù)難以采用時(shí)，系統(tǒng)控制器的結(jié)構(gòu)和參數(shù)必須依靠現(xiàn)場(chǎng)調(diào)試和工程師的經(jīng)驗(yàn)來(lái)確定 [17] 。 如果 在有限時(shí)間 01[ , ]tt （ 0t 可為 0， 10tt? ） 內(nèi)，根據(jù)輸 出值 y(t)與給出的 u(t)，能夠確定系統(tǒng)的初始狀態(tài) 0()xt 的每一個(gè)分量 ， 則稱此系統(tǒng)為完全可觀測(cè)的。 因此，系統(tǒng)傳遞函數(shù)的表達(dá)式為： 24 3 s s s s? ? ? ? 系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)為 1 ? ， 2 ?? ， 3 ?? ， 4 0s? 。對(duì)于系統(tǒng)在平衡點(diǎn)鄰域的穩(wěn)定性 ，則 可以根據(jù)系統(tǒng)的線性模型進(jìn)行分析。 分析小車(chē)水平方向所受的合力，可以得到以下方程 ： M x F b x N? ? ?? ? ? （ 21） 其次，對(duì)擺桿進(jìn)行受力分析，擺桿的受力如圖 5 所示。 自動(dòng)控制領(lǐng)域中，建立數(shù)學(xué)模型的方法有兩種，即機(jī)理法和實(shí)驗(yàn)法。 圖 2 倒立擺系統(tǒng)工作原 理框圖 倒立擺 系統(tǒng)是由計(jì)算機(jī)、倒立擺本體、伺服機(jī)構(gòu)、運(yùn)動(dòng)控制卡和光電碼盤(pán)幾大部分組成的閉環(huán)系統(tǒng)。 著重介紹 PID 控制方法、 LQR 控制方法，并對(duì) 直線 一級(jí)倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行 MATLAB 仿真。它能夠搭建很多復(fù)雜控制系統(tǒng)的仿真，對(duì)實(shí)際的生產(chǎn)設(shè)計(jì)具有很大的指導(dǎo)意義。 目前