【導(dǎo)讀】臺，因此受到各國及工程研究專家學(xué)者的關(guān)注。許多抽象的概念都可以通過倒立擺系統(tǒng)直。觀的表現(xiàn)出來，如控制系統(tǒng)的可控性、穩(wěn)定性、系統(tǒng)的抗干擾能力和系統(tǒng)的收斂速度等。倒立擺有許多控制方法，比較常見的有PID控制、LQR控制、模糊控制等。單個控制時，總不能同時使倒立擺系統(tǒng)的魯棒性和穩(wěn)態(tài)誤差同時達(dá)到一個滿意的效果。適應(yīng)性和魯棒性，并且可以獲得良好的動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能。

　　

【正文】 7 所示：（進(jìn)入 MATLAB Simulink 實(shí) 25 時 控 制 工 具箱 “Googol Education Products”打開 “Inverted Pendulum\Linear Inverted Pendulum\Linear 1Stage IP Experiment\ PID Experiments”中的 “PID Control Demo”） 圖 17 直線一級倒立擺 PID 實(shí)時控制界面 （ 2） 雙擊 “PID”模塊進(jìn)入 PID 參數(shù)設(shè)置，如圖 18 所示，把仿真得到的參數(shù)輸入 PID控制器，點(diǎn)擊 “OK”保存參數(shù)。 圖 18 參數(shù)設(shè)計調(diào)整 (3) 點(diǎn)擊 編譯程序，完成后點(diǎn)擊 使計算機(jī)和倒立擺建立連接。 (4) 點(diǎn)擊 運(yùn)行程序，檢查電機(jī)是否上伺服。緩慢提起倒立擺的擺桿到豎直向上的位置， 待 進(jìn)入自動控制程序后松開 擺桿 ，當(dāng)小車 即將 運(yùn)動到 兩端 限位的 位置時， 可 用 其他物體 擋一下擺桿，使小車 向另一端 運(yùn)動。 (5) 仿真 結(jié)果如圖 19 所示 。 26 圖 19 PID 控制實(shí)驗(yàn)結(jié)果 1 從圖 19 中可以 得 出，倒立擺 系統(tǒng) 可以較好的實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定性，擺桿的角度 控制 在 （弧度）左右 ，但 對小車位置的控制 卻沒有明顯效果 ，小車會沿 著 滑桿稍微的移動。在 施加一定干擾的情況下 ， 小車位置和擺桿角度的變化曲線如圖 20 所示 。 圖 20 PID 控制實(shí)驗(yàn)結(jié)果 2（施加干擾） 可以看出， 該 系統(tǒng) 對于來自 外界 的 干擾 有 較好的抵 抗作用。待 干擾停止作用后，系統(tǒng)能很快 的 回到 原 平衡位置。倒立擺的擺角幅 度在 弧度左右 ， 倒立擺的位置隨著時間 27 的推移而大致呈線性變化 ，這 說明所設(shè)計的 PID 控制器對倒立擺的擺角控制性能較佳，但 卻 無法實(shí)現(xiàn)對倒立擺位置的控制。 利用 PID 控制 方法可以滿足系統(tǒng)對擺角的控制，而小車 卻 以恒定的速度向相反的方向滑動，即 PID 控制 方法不能對小車 的 位置進(jìn)行控制，最終系統(tǒng)還是不能平衡 。 其原因在于傳統(tǒng)的 PID 控制方式 (建立在傳遞函數(shù)上 )只適應(yīng)于單輸入單輸出系統(tǒng)，而要使實(shí)際倒立擺系統(tǒng)得到控制，即既要使擺桿直立，又能使小車達(dá)到指定的位置，并且在整個過程中，桿不能倒下 ，則 必須采用其它的控制方法。 本章小結(jié) 本章介紹了常規(guī) PID 控制方法，并分別設(shè)計了控制器，用 simulink 分別實(shí)現(xiàn)了建立在傳遞函數(shù)和狀態(tài)方程上的 PID 控制系統(tǒng)地仿真，得到了直線一級倒立擺各狀態(tài)變量及控制量的響應(yīng)曲線，通過仿真說明了后一種控制器的有效性。 28 第四章 直線一級倒立擺系統(tǒng) LQR 控制 線性二次最優(yōu)控制算法 LQR (linear quadratic regulator)即 線性 二次型 調(diào)節(jié)器 ， 在現(xiàn)代控制理論中占有相當(dāng)重要的地位，在控制領(lǐng)域受到一定的重視。 其對象是現(xiàn)代控制理論中以 狀態(tài)空間 形式給出的線性系統(tǒng) ， 而 目標(biāo)函數(shù) 為對象狀態(tài)和控制輸入的二次型函數(shù)。 LQR 最優(yōu)設(shè)計 是指設(shè)計出的 狀態(tài)反饋 控制器 K 要使 二次型 目標(biāo)函數(shù) J 取最小值 ， 而 K 由 權(quán)矩陣 Q 與 R 唯一決定 ，故此 Q、 R 的選擇尤為重要。 LQR 理論是現(xiàn)代控制理論中發(fā)展最早也最為成熟的一種狀態(tài)空間設(shè)計法。特別可貴的 是， 是易于分析、處理和計算，而且通過 LQR 控制 發(fā)的到的倒立擺系統(tǒng)具有較好的魯棒性與動態(tài)特性，同時能夠得到現(xiàn)行反饋結(jié)構(gòu)特點(diǎn)， 易于構(gòu)成閉環(huán)最優(yōu)控制。而且 Matlab 的應(yīng)用為 LQR 理論仿真提供了條件 ， 更為我們實(shí)現(xiàn)穩(wěn)、準(zhǔn)、快的控制目標(biāo)提供了 保障 [19]。 LQR最優(yōu)控制利用廉價成本可以使原系統(tǒng)達(dá)到較好的性能指標(biāo) (事實(shí)也可以對不穩(wěn)定的系統(tǒng)進(jìn)行整定 )， 而且方法簡單便于實(shí)現(xiàn) ， 同時利用 Matlab 強(qiáng)大的功能體系容易對系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)仿真。 線性二次型最優(yōu)控制研究的系統(tǒng)是線性的或 是 可線性化的 ， 并且性能指標(biāo)是狀態(tài)變量和控制變量的二次型函數(shù)的積分。它的解很容易獲得 ， 并且可以 達(dá)到 很 好的控制效果 ， 因此在工程上有 著 廣泛的應(yīng)用。 線性二次型最優(yōu)控制問題 ：即在 線性系統(tǒng) 的控制器 的 設(shè)計 中 ， 將控制變量和狀態(tài)變量的二次型函數(shù)的積分作為性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問題。 線性 二次型 問題的最優(yōu)解 一般 寫成統(tǒng)一的解析表達(dá)式， 不僅 能夠 實(shí)現(xiàn) 多項(xiàng)性能指標(biāo) 而 且也 可 以 采用狀態(tài)線性反饋 控制律 以 構(gòu)成閉環(huán) 最優(yōu)控制系統(tǒng) 。 最優(yōu)控制理論的核心主要是：通過對性能指標(biāo)的優(yōu)化以尋找可以使目標(biāo)極小的控制器。 求解 Riccati 方程得到控制器最佳參數(shù)可以實(shí)現(xiàn)線性二次型性能指標(biāo)，并且隨著現(xiàn)代計算機(jī)科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步，求解過 程也大大的簡化了 [20]。 最優(yōu)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖 21 所示。 29 圖 21 LQR 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 其中， [ , ]Tyx??為小車的位移和擺桿的角度在倒立擺系統(tǒng)的輸出， R 是作用在小車上的階躍輸入 。 由理論分析知，可以設(shè)計基于最優(yōu)控制的狀態(tài)調(diào)節(jié)器，使系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。 系統(tǒng) 狀態(tài) 方程 為： X AX Bu? ?? (41) 確定下列最優(yōu)控制向量的矩陣 K： ()u Kx t?? (42) 使性能指標(biāo) ： 01 ()2 TTJ x Q x u R u d t???? (43) 達(dá)到最小值 。 即需確定最佳反饋矩陣 K，使得 ( ) ( )u t Kx t?? 對任意初始狀態(tài) (0)x 而言均是最佳的。式中 Q—為 正定或正半定 矩 陣； R—為正定 矩 陣。 對 Riccalia 方程： 1 0T T TP A A P P B R B P C Q C?? ? ? ? (44) 求解，可以得到矩陣 P，進(jìn)而得到 1 TK R B P?? 。 x Ax Bu? ?? DuCxy ?? K R + y x 30 矩陣 Q 和 R 確定了誤差和能量損耗的相對重要性 ， 并且假設(shè)控制向量 ()ut 是無約束的 。 對于不同的 Q 和 R 陣的選擇，可以得到一系列不同的 ()ut ，故 需要分析研究狀態(tài)變量的加權(quán)陣 Q 和輸入量的加權(quán)陣 R 對系統(tǒng)性能的影響 [21]。 如 上 所述 ， 線性二次最優(yōu)控制規(guī)律是最優(yōu)控制規(guī)律 。 因此 ， 如果能夠確定反饋矩陣 K的未知元素 ， 使得性能指標(biāo)達(dá)到最小 ， 則 ()u Kxt?? 對任意 的 初始狀態(tài) x(0)來說 都是最優(yōu)的。 對于狀態(tài)方程已經(jīng)知道的系統(tǒng) ， 利用 Matlab 的 LQR 函數(shù)可以很方便的求解反饋矩陣K， 具體方法為 如下。 對于線性系統(tǒng)： x A x B uy C x D u??? ??? ???? (45) 根據(jù)期望性能指標(biāo)選取 Q 和 R， 利用 ： K = lqr(A,B,Q,R) (46) 即可以得到 K 的值。 改變矩陣 Q 的值 ， 可以得到不同的 K 值 ，進(jìn)而可以得到不同的控制效果。 直線一級倒立擺的 LQR 控制器設(shè)計 假設(shè)全狀態(tài)反饋可以實(shí)現(xiàn)， 則可通過計算來 確定反饋控制規(guī)律的 K 向量。 我們可 在Matlab 中 ，通過仿真計算 得到最優(yōu)控制器對應(yīng)的 K 向量。 LQR 函數(shù) 中的 兩個 重要 矩陣——R 和 Q， Q 和 R 矩 陣這兩個參數(shù)是用來平衡系統(tǒng)對狀態(tài)量和輸入量 的權(quán)重。 加權(quán)陣R 取不同的值將有不同的跟蹤的輸出， 通常 情況 下 是假設(shè) R=1， 39。*Q C C? 。當(dāng)然，也可以通過改變 Q 矩陣中的非零元素來調(diào)節(jié)控制器以得到期望的響應(yīng)。 ??????????????000001000000000139。*CCQ (46) 其中， 11Q 代表小車位置的權(quán)重，而 33Q 代表擺桿角度的權(quán)重，輸入的 加權(quán)陣 R 為 1。 31 MATLAB 中求矩陣 K 的仿真程序如下： clc。 A=[0 1 0 0。0 0。0 0 0 1。0 0] B=[0。0。] 11Q =5000。 33Q =100。 Q=[ 11Q 0 0 0。0 0 0 0。0 0 33Q 0。0 0 0 0]。 R = 1。 K = lqr(A,B,Q,R) 令 11Q =5000， 33Q =100，求得矩陣 K 的值 ， 得矩陣 K =[ ]。 直線一級倒立擺的 LQR 控制器仿真 直線一級倒立擺 LQR 控制實(shí)時控制仿真模型如圖 22 所示。 圖 22 直線一級倒立擺 LQR 控制實(shí)時控制仿真模型 配置參數(shù)如圖 23 所示。 32 圖 23 直線一級倒立擺 LQR 控制參數(shù)配置 在沒有受到擾動的情況下，倒立擺的位置、擺角與時間之間的變化曲線如圖 24 所示。 圖 24 直線一級倒立擺 LQR 控制實(shí)時控制結(jié)果 系統(tǒng)保持平衡，幾乎不產(chǎn)生振動。 LQR 對于倒立擺位置與角度的控制均達(dá)到了較好 33 的控制性能。 但 LQR 控制 器 的魯棒性及抗干擾性能不強(qiáng)，而且 LQR 控制 器 是通過對系統(tǒng)進(jìn)行局部線性化后 再 運(yùn)用的一種 控制 方法，因此對于初始角度偏離設(shè)定點(diǎn)較大時，這種控制方法的效果明顯變差 ， 特別在 外界 擾動較大時，可能失去控制作用 。 隨后又分別將 11Q 和 33Q 改大或減小，發(fā)現(xiàn)當(dāng) 11Q 、 33Q 比值一定時，取大的值時系統(tǒng)的響應(yīng)速度加快，但是超調(diào)加大；反之則響應(yīng)變慢但超調(diào)減小。將參數(shù)加大時，擺子起擺后到達(dá)平衡所需時間更短，但左右位移更大一點(diǎn)，穩(wěn)定后的擺角震蕩更小一點(diǎn) 。 這是因?yàn)?Q是誤差的權(quán)矩陣， Q 增大 表 明指標(biāo)更看重誤差，于是會用相對大的能量來使靜態(tài)誤差更快的減小，于是過渡時間變小，超調(diào)變大，穩(wěn)態(tài)誤差變小 。 由此說明通過合理地選擇輸入量 ， 建立了一種基于加 速度控制的倒立擺數(shù)學(xué)模型。模型的正確性不但在理論上通過 Matlab 仿真 ， 而且在實(shí)際 實(shí)驗(yàn) 設(shè)備上得到了證明。在巧妙的選擇 Q 及 R 陣的基礎(chǔ)上得到的 LQR 控制器參數(shù)具有優(yōu)良的控制性能。 本章小結(jié) 本章為 直線一級倒立擺系統(tǒng)的 LQR 控制， 著重介紹 了 LQR 控制算法并對系統(tǒng)進(jìn)行MATLAB 仿真 。 LQR 最優(yōu)控制是一種較成熟的現(xiàn)代控制理論方法，其控制效果較好，可以用在實(shí)時性要求較高的場合 。 但被控系統(tǒng)的復(fù)雜性，非線性的增加控制性能會降低，有待提出更有效的控制方法 。 34 第五章 直線一級倒立擺系統(tǒng) PID 與 LQR 復(fù)合控制 設(shè)計 兩種控制 算 法的對比分析 通過 直線 一級倒立擺的實(shí)時控制實(shí)驗(yàn)得到以下結(jié)論 ： （ 1） PID 控制效果較 為 平滑 ， 可以 實(shí)現(xiàn)直線 一級倒立擺 的 穩(wěn)定。 （ 2） PID 控制 對擺角的控制效果較 好， 但對小車位置的 控制卻 無能為力。 （ 3） LQR 控制 對 小車位置 的控制效果較好。 （ 4） LQR 控制對 擺桿 初始角度偏離設(shè)定點(diǎn)較大時 ， 控制效果 不佳。 （ 5） LQR 控制的抗干擾性能及魯棒性不強(qiáng) 。 綜上所述， LQR 最優(yōu)控制可以用在實(shí)時性要求較高的場合 ， 但 當(dāng) 被控系統(tǒng)的復(fù)雜性，非線性增加 時會使其 控制性能降低 。 因此 當(dāng) 初始角度偏離 設(shè)定點(diǎn)較大時，這種控制方法的效果明顯變差 ， 特別在擾動較大時，可能失去控制作用； PID 控制器作為反饋傳遞函數(shù)，結(jié)構(gòu)簡單、魯棒性好、可靠性高的線性控制， 雖 控制效果稍差一些 ， 但 可 在一定程度上彌補(bǔ) LQR 的不足 [22]。 直線一級倒立擺 PID 與 LQR 復(fù)合控制器設(shè)計 由 上文 對 PID 控制和 LQR 控制優(yōu)缺點(diǎn)的論述 可 知， PID 控制和 LQR 控制可以組成一個很好的復(fù)合控制器。于是本文提出一種 LQR 結(jié)合 PID 的復(fù)合控制 設(shè)計 。 當(dāng)擺桿處于自然平衡 (自然下垂 )位置時，在系統(tǒng)受控前，通過手動協(xié)助使擺桿進(jìn)入倒立狀態(tài)。然后系統(tǒng)受控， 系統(tǒng)運(yùn)行程中，如果偏差較小， LQR 自然能達(dá)到較好控制效果 。但如果差較大 ， 就需要切換到 PID 控制，這樣可以使系統(tǒng)有較強(qiáng)的棒性，使倒立擺在大擾動下也能處于倒立狀態(tài) [23]。 認(rèn)真觀察 并 分析 PID Control Demo 和 LQR Control Demo，在經(jīng)過一系列的設(shè)計實(shí)驗(yàn)后， 設(shè)計 PID 和 LQR 復(fù)合控制器 ， 仿真模型圖如圖 25 所示。 35 圖 25 PID 控制和 LQR 控制