【正文】 = lqr(A,B,Q,R) 令 11Q =5000， 33Q =100，求得矩陣 K 的值 ， 得矩陣 K =[ ]。 圖 24 直線一級倒立擺 LQR 控制實(shí)時控制結(jié)果 系統(tǒng)保持平衡，幾乎不產(chǎn)生振動。將參數(shù)加大時，擺子起擺后到達(dá)平衡所需時間更短，但左右位移更大一點(diǎn)，穩(wěn)定后的擺角震蕩更小一點(diǎn) 。在巧妙的選擇 Q 及 R 陣的基礎(chǔ)上得到的 LQR 控制器參數(shù)具有優(yōu)良的控制性能。 34 第五章 直線一級倒立擺系統(tǒng) PID 與 LQR 復(fù)合控制 設(shè)計(jì) 兩種控制 算 法的對比分析 通過 直線 一級倒立擺的實(shí)時控制實(shí)驗(yàn)得到以下結(jié)論 ： （ 1） PID 控制效果較 為 平滑 ， 可以 實(shí)現(xiàn)直線 一級倒立擺 的 穩(wěn)定。 （ 5） LQR 控制的抗干擾性能及魯棒性不強(qiáng) 。于是本文提出一種 LQR 結(jié)合 PID 的復(fù)合控制 設(shè)計(jì) 。 認(rèn)真觀察 并 分析 PID Control Demo 和 LQR Control Demo，在經(jīng)過一系列的設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)后， 設(shè)計(jì) PID 和 LQR 復(fù)合控制器 ， 仿真模型圖如圖 25 所示。然后系統(tǒng)受控， 系統(tǒng)運(yùn)行程中，如果偏差較小， LQR 自然能達(dá)到較好控制效果 。 因此 當(dāng) 初始角度偏離 設(shè)定點(diǎn)較大時，這種控制方法的效果明顯變差 ， 特別在擾動較大時，可能失去控制作用； PID 控制器作為反饋傳遞函數(shù)，結(jié)構(gòu)簡單、魯棒性好、可靠性高的線性控制， 雖 控制效果稍差一些 ， 但 可 在一定程度上彌補(bǔ) LQR 的不足 [22]。 （ 3） LQR 控制 對 小車位置 的控制效果較好。 LQR 最優(yōu)控制是一種較成熟的現(xiàn)代控制理論方法，其控制效果較好，可以用在實(shí)時性要求較高的場合 。 由此說明通過合理地選擇輸入量 ， 建立了一種基于加 速度控制的倒立擺數(shù)學(xué)模型。 但 LQR 控制 器 的魯棒性及抗干擾性能不強(qiáng)，而且 LQR 控制 器 是通過對系統(tǒng)進(jìn)行局部線性化后 再 運(yùn)用的一種 控制 方法，因此對于初始角度偏離設(shè)定點(diǎn)較大時，這種控制方法的效果明顯變差 ， 特別在 外界 擾動較大時，可能失去控制作用 。 圖 22 直線一級倒立擺 LQR 控制實(shí)時控制仿真模型 配置參數(shù)如圖 23 所示。0 0 0 0]。 33Q =100。0 0 0 1。*CCQ (46) 其中， 11Q 代表小車位置的權(quán)重，而 33Q 代表擺桿角度的權(quán)重，輸入的 加權(quán)陣 R 為 1。 加權(quán)陣R 取不同的值將有不同的跟蹤的輸出， 通常 情況 下 是假設(shè) R=1， 39。 改變矩陣 Q 的值 ， 可以得到不同的 K 值 ，進(jìn)而可以得到不同的控制效果。 如 上 所述 ， 線性二次最優(yōu)控制規(guī)律是最優(yōu)控制規(guī)律 。式中 Q—為 正定或正半定 矩 陣； R—為正定 矩 陣。 29 圖 21 LQR 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 其中， [ , ]Tyx??為小車的位移和擺桿的角度在倒立擺系統(tǒng)的輸出， R 是作用在小車上的階躍輸入 。 線性 二次型 問題的最優(yōu)解 一般 寫成統(tǒng)一的解析表達(dá)式， 不僅 能夠 實(shí)現(xiàn) 多項(xiàng)性能指標(biāo) 而 且也 可 以 采用狀態(tài)線性反饋 控制律 以 構(gòu)成閉環(huán) 最優(yōu)控制系統(tǒng) 。 LQR最優(yōu)控制利用廉價(jià)成本可以使原系統(tǒng)達(dá)到較好的性能指標(biāo) (事實(shí)也可以對不穩(wěn)定的系統(tǒng)進(jìn)行整定 )， 而且方法簡單便于實(shí)現(xiàn) ， 同時利用 Matlab 強(qiáng)大的功能體系容易對系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)仿真。 LQR 最優(yōu)設(shè)計(jì) 是指設(shè)計(jì)出的 狀態(tài)反饋 控制器 K 要使 二次型 目標(biāo)函數(shù) J 取最小值 ， 而 K 由 權(quán)矩陣 Q 與 R 唯一決定 ，故此 Q、 R 的選擇尤為重要。 其原因在于傳統(tǒng)的 PID 控制方式 (建立在傳遞函數(shù)上 )只適應(yīng)于單輸入單輸出系統(tǒng)，而要使實(shí)際倒立擺系統(tǒng)得到控制，即既要使擺桿直立，又能使小車達(dá)到指定的位置，并且在整個過程中，桿不能倒下 ，則 必須采用其它的控制方法。 圖 20 PID 控制實(shí)驗(yàn)結(jié)果 2（施加干擾） 可以看出， 該 系統(tǒng) 對于來自 外界 的 干擾 有 較好的抵 抗作用。緩慢提起倒立擺的擺桿到豎直向上的位置， 待 進(jìn)入自動控制程序后松開 擺桿 ，當(dāng)小車 即將 運(yùn)動到 兩端 限位的 位置時， 可 用 其他物體 擋一下擺桿，使小車 向另一端 運(yùn)動。 直線一級倒立擺的 PID 控制器仿真 PID 控制器設(shè)計(jì)完成以后，進(jìn)行 直線一級倒立擺 的 PID 控制器 Simulink 仿真 。因此再增加微分控制參數(shù) Kd，取： Kp=100， Ki=1， Kd=20。 圖 12 PID 控制仿真結(jié)果圖（ Kp=1， Ki=1， Kd=1） 從圖 12 中可以看出，此時的閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定 ， 要想得到穩(wěn)定的系統(tǒng) ， 可以加大比例反饋系數(shù) Kp，取 Kp=100， Ki=1， Kd=1，得到仿真結(jié)果如圖 13 所示 。通過選擇不同的 PID 參數(shù)對倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行仿真。 圖 8 直線一級倒立擺閉環(huán)系統(tǒng)圖 圖中 ()DKs是控制器傳遞函數(shù)， ()Gs是被控對象傳遞函數(shù)。 （ 3） 微分調(diào)節(jié) (D) 可以消除振蕩，提高快速性， 當(dāng)偏差 ()et 瞬間 的 波動 較 快時 ， 微分調(diào)節(jié)器 則 會 立刻 產(chǎn)生響應(yīng)來抑制偏差 ()et 的變化 ，從而 使系統(tǒng)趨于穩(wěn) 定 ，而且 系統(tǒng)的動態(tài)性能 也得到了 改善 。 pK 越 大 ，系統(tǒng)的快速性越好，但 pK 過大 會 導(dǎo)致系統(tǒng)靜態(tài)偏差增大 。 K 比例 微分 積分 被控對象 rin(k) + + + yout(k) 19 圖 7 常規(guī) PID 控制系統(tǒng)圖 PID 控制器是 作為 一種線性控制器，它 是 根據(jù)給定值 ()rt與實(shí)際輸出值 ()yt 構(gòu)成控制偏差 ()et ： ( ) ( ) ( )e t r t y t?? 將偏差的比例 (P)、積分 (I)和微分 (D)通過線性組合構(gòu)成控制量， 來 對被控對象進(jìn)行控制，故稱 為 PID 控制器。 PID 控制系統(tǒng)原理 結(jié)構(gòu) 框圖如圖 6 所示。 PID 控制的基本思想是：通過測量輸出變量，與期望值相比較，用這 個誤差調(diào)節(jié)控制系統(tǒng)。 本章小結(jié) 本章應(yīng)用 牛頓一歐拉 法建立 了 直線一級倒立擺系統(tǒng) 的 數(shù) 學(xué)模型，推導(dǎo) 出 了該系統(tǒng)的運(yùn)動方程， 并 求出了直線一級倒立擺系統(tǒng)傳遞函數(shù)模型 以 及空間狀態(tài)方程 矩陣 ，并 且 分析 了系統(tǒng)的穩(wěn)定性、能控性及能觀性， 最終 得出直線一級倒立擺系統(tǒng)是線性不穩(wěn)定系統(tǒng) 但是卻能控能觀 的 。 若 ()Orank T n? ，則 說明 系統(tǒng) 是 完全能觀測 的 。若系統(tǒng)中至少有一個狀態(tài)變量是不可測的，則稱此系統(tǒng)為不完全可測的。 ctrb()函數(shù) 的 調(diào)用格式為： ( , )cQ ctrb A B?，通過該函數(shù) 可 以 求出系統(tǒng)的能控矩陣： ? ?????????????????????00, 32 BABAABBT c cT 矩陣的秩 ()crankT 稱為系統(tǒng)的能控性指數(shù)，它的值是系統(tǒng)中能控狀態(tài)的數(shù)目。 （ 2）若系統(tǒng)能控，則 nnr? 能控性 矩陣 21[ , , , , ]c nQ B A B A B A B???滿秩。 若系統(tǒng)是能控的，則存在容許控制 ()ut ，使得： 15 111 ()1 0( ) ( 0) ( )tA t A tx t e x e Bu d??? ? ? ? ? ??； 111()0( 0 ) ( )tAt A te x e B u d??? ? ? ?? ； 10(0 ) ( )t Ax e Bu d??? ? ? ?? 。由于有一個開環(huán)極點(diǎn)位于 S 平面的右半部，開環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。 l = 。 m = 。 調(diào)用 MATLAB 函數(shù) 中的 roots(den)或 eig(A)， 即可得出 由 傳遞函數(shù)描述的系統(tǒng) 或 狀態(tài)方程描述的系統(tǒng)的所有極點(diǎn)， 則 這樣就可以由得出的極點(diǎn)位置直接判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性了。李雅普諾夫穩(wěn)定性判據(jù) 常 應(yīng)用 于 系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析。在對時不變系統(tǒng)進(jìn)行定性分析時， 就需要 用到 現(xiàn)代 控制理論中的穩(wěn)定性判據(jù)、能觀性 以及 能控性判據(jù) [15]。0。只要將直線一級倒立擺的實(shí)際結(jié)構(gòu)參數(shù)（ kg? ， ? ， kg? ， 34I kg m??， /b N m s??， /g m s? ）代入上面兩式，得對應(yīng)系數(shù)矩陣為： A=[0 1 0 0。 圖 5 擺桿隔離受力圖 )s in(22 ?lxdtdmN ?? （ 22） 即 ： M F bx? N P mg θ P 10 2c o s s i nN m x m l m l? ? ? ???? ??? ? ? （ 23） 將 等式代入上式中， 可 得系統(tǒng)的第一個運(yùn)動方程 為： 2( ) c o s sinM m x b x m l m l F? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ? ? （ 24） 對擺桿垂直方向上的合力進(jìn)行分析，可得方程 為 ： 22 ( c os )dp m g m l ldt ?? ? ? （ 25） 即： 2si n c osP m g m l m l? ? ? ????? ? ? （ 26） 力矩平衡方程為： s i n c o sP l N l I? ? ???? ? ? （ 27） 由于 ??? ?? ， cos cos?? ? ? ， sin sin??? ? ， 故等式前面有負(fù)號。 在圖 3 中設(shè)： X 為 小車 的 位移，單位 (m)； ? 為 擺桿與垂直方向的夾角，單位 (rad)； m為 擺桿的質(zhì)量，單位 (kg)； M 為 小車的質(zhì)量，單位 (kg)； l為 擺桿的轉(zhuǎn)動軸心到擺桿質(zhì)心的長度，單位 m； F 為 小車 受到 的作用力，單位 (N)； I 為 擺桿對重心的轉(zhuǎn)動慣量，單位 ( 2kgm? )； g 為 重力加速度 ，單位 ( 2/ms)； m M F x bx? θ 0 9 b 為 小車受 到 的滑動摩擦系數(shù)，單位 (N/m/s)； 首先，對小車進(jìn)行受力分析，如圖 4 所示。這就意味著，機(jī)理建模法對于倒立擺系統(tǒng)更加合適。 這里面包括輸入信號的設(shè)計(jì)選取，輸出信號的精確檢測，數(shù)學(xué)算法的研究等等內(nèi)容 [13]。實(shí)驗(yàn)法一般只用于建立輸入輸出模型，它是根據(jù)輸入和輸出的實(shí)測數(shù)據(jù)進(jìn)行進(jìn)行相應(yīng)的處理和計(jì)算后得到系統(tǒng)的模型。因此，為了實(shí)現(xiàn)仿真，首先要采用某種方法對真實(shí)系統(tǒng)進(jìn)行抽象，得到系統(tǒng)模型，其過程稱為系統(tǒng)建模。當(dāng)動物接近靜物時，開關(guān)的連桿驅(qū)動開關(guān)的接點(diǎn)引起接點(diǎn)分?jǐn)唷?通過 改變控制電壓 來改 變伺服電機(jī)的轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)向。小車的位移、速度信號 由 光電碼盤 1 反饋給伺服驅(qū)動器和運(yùn)動控制卡 。 控制平臺主要部分組成： （ 1） PC 機(jī)，帶 PCI 總線插槽； （ 2） 運(yùn)動控制卡用戶接口軟件； （ 3） 運(yùn)動控制卡。 第六章 ，總結(jié)與展望， 對論文工作做總結(jié)，并對直線一級倒立擺系統(tǒng)作了進(jìn)一步展望。同時分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、可控性及可觀測性。 然 后分析 兩 種方法 各自 的優(yōu)缺點(diǎn) ，通過實(shí)驗(yàn)仿真及分析完成復(fù)合控制器的設(shè)計(jì)。 同時 Simulink 還允許 其他多領(lǐng)域產(chǎn)品擴(kuò)展 其 建模功能 與模塊 ， 有利于用戶的 設(shè)計(jì)、執(zhí)行、驗(yàn)證和確認(rèn)任務(wù)。 Simulink可以用 各種不同 的采樣時間 和 多速率系統(tǒng)進(jìn)行建模。 本文所應(yīng)用到的就是由固高公司所開發(fā)的硬件和 Simulink自定義工具箱。 它提供 了 一個 完整 的集成環(huán)境 ，具有很高的理論研究分析意義 。同時 MATLAB可以進(jìn)行眾多的程序編寫、計(jì)算和仿真的功能，在工程計(jì)算、控制設(shè)計(jì)、信號檢測、等領(lǐng)域具有很強(qiáng)的應(yīng)用型，極大方便了人們的設(shè)計(jì)。比如模糊自適應(yīng)控制，分散魯棒自適應(yīng)控制等 。對倒立擺的物理模型進(jìn)行分析，建立起倒立擺的動力 學(xué)模型，然后使用狀態(tài)空間理論知識推導(dǎo)出狀態(tài)方程和輸出方程，最后應(yīng)用狀態(tài)反饋的方法，實(shí)現(xiàn)對倒立擺系統(tǒng)的控制 [6]。20xx 年國防科學(xué)技術(shù)大學(xué)利用基于 LQR的模糊插值 成功的 實(shí)現(xiàn)了 對 五級倒立擺 系統(tǒng) 的控制 [5]。 由于倒立擺系統(tǒng)與雙足機(jī)器人、各類伺服云臺穩(wěn)定 以及 火箭飛行控制 存在 很 多的共同點(diǎn) ，因此對倒立擺控制 系統(tǒng) 的研究具有重要的理論和實(shí)踐意義 [4]。 （ 2） 火箭等飛行器飛行過程中 的 實(shí)時控制。目前，對倒立擺 系統(tǒng) 的研究已經(jīng)引起國內(nèi)外的廣泛關(guān)注，是控制領(lǐng)域研究的熱門課題之一 [2]。 （ 5） 約束限制 ， 由于實(shí)際機(jī)構(gòu)的限制，小車很容易出現(xiàn)撞邊現(xiàn)象。 無論哪種類型的倒立擺系統(tǒng)都具有如下特性 ： （ 1） 非線性 ，實(shí)際控制 可以通過線性化得到系統(tǒng)的近似模型，線性化處理后再進(jìn)行控制。 關(guān)鍵詞：倒立擺； PID 控制； LQR 控制；復(fù)合控制 II