【導讀】它的這些特性使得許多抽象的控制理論概念如系統(tǒng)穩(wěn)定性、可控性等等，都可以通過單級倒立擺系統(tǒng)實驗直觀的表現(xiàn)出來。因此，目前許多控制理論的研究人員一直將它視為典型的研究對。象，用于驗證控制方法的正確性。通過MATLAB軟件對倒立擺進行仿真實驗，實現(xiàn)了倒立擺的平衡控。并在此仿真實驗的基礎(chǔ)上使用硬件設(shè)備進行實際控制。

　　

【正文】 確定下式最佳控制量的矩陣 K： )()( tKxtu ? 使得控制性能指標 J 的值達到最小值： ?? ?? 0 )( dtRuuQxxJ TT 式中， Q—— 正定（或半正定）厄米特或?qū)崒ΨQ矩陣 R—— 正定厄米特或?qū)崒ΨQ矩陣 Q 和 R 分別表示各個狀態(tài)跟蹤誤差和能量損耗的相對重要性，而 Q中 對角矩陣的各個元素分別代表各項指標誤差的相對重要性。 基于 LQR 的增益為： Kxku )( ? 控制律為： ),( RQBAL QRK ? 式中， LQR 為 MATLAB 下的線性二次型調(diào)節(jié)器。 LQR 問題的解是一個全狀態(tài)反饋調(diào)節(jié)器，有非常好的魯棒性能 。它可以通過適當選取權(quán)矩陣 Q 和 R，在控制信號能量和輸出性能之間進行調(diào)周冰：單級倒立擺控制器設(shè)計與實現(xiàn) 30 節(jié)。利用 MATLAB 的 LQR 函數(shù)可以很方便、準確地求出 LQR 的解K 陣。 LQR 的實現(xiàn) LQR 線性二次型最優(yōu)調(diào)節(jié)器通過選取權(quán)矩陣 Q和 R使求解的全狀態(tài)反饋陣 K 與系統(tǒng)的性能指標聯(lián)系起來，其實質(zhì)是設(shè)計最優(yōu)的全狀態(tài)反饋陣，比全狀態(tài)反饋調(diào)節(jié)器更易設(shè)計出魯棒性更強的控制系統(tǒng)。為了控制全部狀態(tài)， LQR 模型由狀態(tài)方程所示，是單輸入四輸出。設(shè)計 LQR 調(diào)節(jié)器如下：選取 ?????????????100000500000300000500Q R=1，則求得 K=[ ] 本章小結(jié) 第三章是單級倒立擺系統(tǒng)的控制方法設(shè)計。首先確定了課題采用的設(shè)計方案，包括 PID 控制、狀態(tài)反饋以及 LQR 控制，詳細分析了實現(xiàn)系統(tǒng)穩(wěn)定的控制方法原理、控制器的設(shè)計以及數(shù)學分析等。西安理工大學本科生畢業(yè)設(shè)計（論文） 31 第四章 單級倒立擺的仿真及控制 實驗儀器介紹 本次研究采用的是深圳固高科技有限公司的直線一級倒立擺系統(tǒng)以及加拿大 QUANSER 公司的旋轉(zhuǎn)一級倒立擺系統(tǒng)。 設(shè)備實物圖 下圖 為直線一級倒立擺硬件系統(tǒng)框圖 圖 倒立擺硬件系統(tǒng)框圖 下圖 為直線一級倒立擺整體實物圖 周冰：單級倒立擺控制器設(shè)計與實現(xiàn) 32 圖 直線倒立擺整體實物 如下圖 為加拿大 QUANSER 公司的旋轉(zhuǎn)一級倒立擺 圖 旋轉(zhuǎn)一級倒立擺 西安理工大學本科生畢業(yè)設(shè)計（論文） 33 Quanser 的 QUBE 便攜式旋轉(zhuǎn)倒立擺，集成了 Quanser 的數(shù)據(jù)采集卡，功放電源及旋轉(zhuǎn)倒立擺于一身，只通過一根 USB 線與電腦直接連接。 不僅可以在 Quanse 設(shè)計好的 LabVIEW 版面上進行在線調(diào)整和數(shù)據(jù)采集，又可以在 Matlab/Simulink 及 LabVIEW 系統(tǒng)中對 QUBE 進行實時控制，驗證各種控制算法。其含有與 Matlab/Simulink 兼容的 Quanser QuaRC 軟件控 制軟件。 在深入學習一級倒立擺的相關(guān)控制及固高的一級直線倒立擺情況下，又對加拿大 QUANSER 公司的倒立擺進行學習，并使用 QUARC 及 matlab進行實際操作實驗。 直線一級倒立擺的 PID 控制 PID 程序仿真結(jié)果及實時控制圖 如下圖 所示為 matlab 下使用程序模擬的 PID 輸出結(jié)果圖。 周冰：單級倒立擺控制器設(shè)計與實現(xiàn) 34 圖 控制的程序仿真響應 如下圖 為 PID 實時控制圖，其中 20,100,10 ??? IPD KKK 西安理工大學本科生畢業(yè)設(shè)計（論文） 35 圖 PID 實時控制圖 PID 控制操作結(jié)果 如圖 為實時控制輸出結(jié)果圖： PID 控制實時結(jié)果圖 PID 控制結(jié)果分析 可以看出，啟動設(shè)備后，系統(tǒng)在使擺桿平衡的情況下向一邊緩慢移動，在 17s 左右用手擋住一側(cè)，倒立擺向相反方向移動。控制器較好的完成了對倒立擺的穩(wěn)定控制，但是震蕩比較明顯。 這是因為 PID 控制是單輸出控制，因此并沒有控制滑塊的位置，一般情況下，滑塊都會往一個方向做慢速的運動，當運動到一邊時，需要手周冰：單級倒立擺控制器設(shè)計與實現(xiàn) 36 動擋一下擺桿，避免滑塊運動到限位，程序停止運行。 直線一級倒立擺的狀態(tài)空間反饋控制 狀態(tài)反饋程序仿真結(jié)果圖及實時控制圖 下圖 為程序仿真結(jié)果圖。 圖 程序仿真結(jié)果 如下圖 所示為自行設(shè)計的狀態(tài)空間反饋實時控制圖，狀態(tài)反饋陣K=[ ] 西安理工大學本科生畢業(yè)設(shè)計（論文） 37 圖 狀態(tài)反饋實時控制圖 狀態(tài)反饋控制結(jié)果 如下圖 所示為狀態(tài)反饋控制的運行結(jié)果圖。 周冰：單級倒立擺控制器設(shè)計與實現(xiàn) 38 圖 狀態(tài)反饋響應 狀態(tài)反饋結(jié)果分析 由于施加了干擾的作用、系統(tǒng)的非線性因素 以及系統(tǒng)在穩(wěn)定點起控的零時刻時初始狀態(tài)并不全為零，導致系統(tǒng)穩(wěn)定后，滑塊的位移 、擺桿角度量總要偏離原點?；瑝K的位移、擺桿角度量在一定范圍內(nèi)振蕩，滑塊的速度、擺桿的角速度在原點處一定范圍內(nèi)反復振蕩。 直線一級倒立擺的 LQR 控制 LQR 程序仿真結(jié)果及實時控制圖 西安理工大學本科生畢業(yè)設(shè)計（論文） 39 LQR 程序仿真結(jié)果下圖 為 LQR 程序仿真結(jié)果。 圖 LQR 控制程序仿真結(jié)果 如下圖 為自行設(shè)計的 LQR 實時控制圖?？刂破?K 的參數(shù)為：K=[ ] 周冰：單級倒立擺控制器設(shè)計與實現(xiàn) 40 LQR 實時控制圖 LQR 控制操作結(jié)果 如下圖 所示為 LQR 控制運行的結(jié)果圖。 西安理工大學本科生畢業(yè)設(shè)計（論文） 41 LQR 控制運行結(jié)果圖 LQR 控制結(jié)果分析 由以上的結(jié)果可知，由 LQR 控制器控制倒立擺系統(tǒng)，擺桿的角度在大約 3s 內(nèi)趨向于零，保持穩(wěn)定狀態(tài)。在 5s 左右施加了一個干擾，滑塊在大約 9s內(nèi)返回到中心位置，使系統(tǒng)保持在穩(wěn)定狀態(tài)。擺桿角度較穩(wěn)定，但仍有小幅震蕩。對于 LQR 控制器而言，它所要輸入的控制量的范圍很小，但使系統(tǒng)達到穩(wěn)定所需的控制時間相對較長。 綜上所述， 說明了當系統(tǒng)受到外界干擾而偏離中心位置后， LQR 控制器能夠使倒立擺系統(tǒng)在較短的時間內(nèi)能夠使系統(tǒng)達到穩(wěn)定狀態(tài)。這充分表明了 LQR 控制器能夠?qū)渭壍沽[系統(tǒng)進行實時有效的控制。 旋轉(zhuǎn)一級倒立擺的 LQR 控制 周冰：單級倒立擺控制器設(shè)計與實現(xiàn) 42 旋轉(zhuǎn)一級倒立擺的實時控制圖 如下圖 所示為旋轉(zhuǎn)一級倒立擺的實時控制圖，其中起擺模塊為引用封裝模塊，擺桿與旋臂的角度，角速度（需用高通濾波器求得）輸出以及 LQR 控制部分增益為自行設(shè)計。 K=[2 35 3]. 圖 旋轉(zhuǎn)倒立擺實時控制圖 旋 轉(zhuǎn)一級倒立擺的控制結(jié)果 如下圖 為旋轉(zhuǎn)倒立擺的控制結(jié)果，從最開始的起擺到穩(wěn)定，以及在 4s 左右時加入擾動后恢復平衡。 西安理工大學本科生畢業(yè)設(shè)計（論文） 43 圖 旋轉(zhuǎn)倒立擺旋臂與擺桿的角度響應 結(jié)果分析 從響應圖可以看出系統(tǒng)在起擺之后 3s達到了平衡，但是旋臂并沒有回到初始位置，在 4s時加入擾動后， 5s 的時候系統(tǒng)達到了預計的穩(wěn)定，旋臂回到了初始位置，擺桿也達到了平衡。說明 LQR 理論較好的實現(xiàn)了對旋轉(zhuǎn)倒立擺的控制。 本章小結(jié) 第四章是 系統(tǒng)的程序仿真以及實際設(shè)備控制。 通過 MATLAB軟 件對其系統(tǒng)建立系統(tǒng)模型圖，然后進行編程，輸出系統(tǒng)各個環(huán)節(jié)的控制實驗結(jié)果。在此基礎(chǔ)上再進行實際設(shè)備的操作控制，并進行各種控制方法結(jié)果的分析。 周冰：單級倒立擺控制器設(shè)計與實現(xiàn) 44 第五章 總結(jié) 本文是在研究了單級倒立擺的基礎(chǔ)上完成的，目的是運用 MATLAB仿真軟件以及實際設(shè)備，實現(xiàn)通過 PID 控制、狀態(tài)空間反饋控制和 LQR控制三種方法來對單級倒立擺進行控制，它基本實現(xiàn)了預期的目標，實現(xiàn)了控制方法對倒立擺的穩(wěn)定控制。并使我對于自動控制理論的整體認知程度提升的一大截，從最開始的理論學習、建模分析、參數(shù)計算、程序仿真、控制圖搭建到最后的設(shè)備調(diào)整， 整個步驟基本完整的展現(xiàn)了自動控制理論在實際問題中的應用以及研究流程。 全文對倒立擺的研究的背景及意義做了簡要介紹，并對倒立擺在國內(nèi)外的研究現(xiàn)狀及倒立擺控制方法的發(fā)展趨勢進行了綜述。在此基礎(chǔ)上對單級倒立擺的運動方式進行了分析研究，對系統(tǒng)的非線性問題做了線性化處理，并建立了系統(tǒng)的模型框圖。在控制器的選擇上做了一定的研究，并學習了 MATLAB 仿真軟件的基本編程和使用。在眾多控制方法中，我選擇了 PID 控制、狀態(tài)反饋控制與 LQR 控制。此三種方法彼此有較好的對比性并且基本代表了單級倒立擺的主體控制方法。結(jié)果表明， LQR控制具有易于分析、處理、計算等特點，能夠在較小的控制量輸入范圍內(nèi)對倒立擺系統(tǒng)進行有效的穩(wěn)定控制。而 PID 控制相比于另外兩種控制方法是經(jīng)典線性單輸出控制，不能控制滑塊位移，但思路明確簡單。這說明方法各有特點，在實際應用中，我們應該根據(jù)實際情況需求來選擇恰當?shù)目刂品椒?。在實際的研究過程中雖然遇到不少困難，但經(jīng)過不斷努力最后成功地搭建了該系統(tǒng)，在實際運行中該系統(tǒng)運行基本達到了設(shè)西安理工大學本科生畢業(yè)設(shè)計（論文） 45 計要求。 致 謝 本課題是在辛菁導師以及韓學長的精心指導下完成的。 本文在課題選擇和研究過程中自始至終都得到了 辛菁導師 的親切關(guān)懷、悉心 指導和嚴格要求。 從論文的選題、研究思路和論文撰寫方面辛菁導師都提出了許多寶貴的意見和建議， 在細節(jié)方面也作出了提示及幫助， 使得論文的研究工作得以順利開展。辛菁導師 諄諄教誨與無微不至的關(guān)懷使我受益終生，不僅為今后從事科學研究工作培養(yǎng)了嚴謹、扎實、認真的工作態(tài)度，而且還培養(yǎng)了樂觀上進、積極進取、團結(jié)協(xié)作和頑強拚搏的工作精神， 在此謹向他表示衷心的感謝！ 同時，在 畢業(yè)設(shè)計 過程中，還得到韓學長的大力支持與幫助，并且提出了許多寶貴的意見和建議，在此我要對他表示衷心的感謝。 由于作者的水平有限，論文中難免有不足之處，誠摯的 懇請各位專家、教授給予批評指正。 最后，向百忙之中審閱本文的各位老師致以崇高的敬意和深深的謝意！ 同時，還要感謝曾給予我關(guān)心和幫助的 西安理工大學自動化與信息工程學院 的各位老師和同學。 最后，對即將參加論文評議、評閱和對本論文提出寶貴意見的所有專家和老師表示誠摯的感謝。 周冰 周冰：單級倒立擺控制器設(shè)計與實現(xiàn) 46 20xx 年 6 月 參考文獻 [1] 直線一級倒立擺實驗教程 [M].深圳 :固高科技有限公司， 20xx. 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