【導(dǎo)讀】注釋，若有不實(shí)，后果由本人承擔(dān)。倒立擺是一個(gè)高階次，不穩(wěn)定，多變量，非線性，強(qiáng)藕合系統(tǒng)。本文主要研究模糊控制方法，首先通過牛頓。力學(xué)法建立了倒立擺的數(shù)學(xué)模型，在此基礎(chǔ)上分析倒立擺系統(tǒng)的不穩(wěn)定性，利用專家經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)設(shè)計(jì)了基于T-S模型的。模糊控制器，在系統(tǒng)穩(wěn)定的基礎(chǔ)上，用Matlab進(jìn)行倒立擺的仿真實(shí)驗(yàn)。最后，在Matlab/Simulink平臺(tái)上建立倒立擺。模糊實(shí)時(shí)控制模塊，從而驗(yàn)證了本文設(shè)計(jì)的模糊控制器有很好的穩(wěn)定性。倒立擺系統(tǒng)；模糊控制；仿真。

　　

【正文】 封閉式的軟件紛紛淘汰。 20 世紀(jì) 90 年代， MATLAB 就已成為了國際控制界內(nèi)公認(rèn)的標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算軟件，在數(shù)值計(jì)算方面 MATLAB 超過了 30 多個(gè)數(shù)學(xué)類科技應(yīng)用軟件，獨(dú)占鰲頭。 （二） Simulink 及 Control System Toolbox 簡介 1. Simulink Simulink 是 MATLAB 的一種可視化 的 仿真工具， 它是實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)建模和仿真的一個(gè)軟件包， 是一種基于 MATLAB 的框圖設(shè)計(jì)環(huán)境，被廣泛應(yīng)用于線性系統(tǒng)、非線性系統(tǒng)、數(shù)字控制及數(shù)字信號(hào)處理的建模和仿真中。 它與 MATLAB 最大的區(qū)別在于它與用戶交互接口是基于 Windows 的模型化圖形輸入的，從而使得用戶把更多的精力投入到系統(tǒng)模型的構(gòu)建而非語言的 編程上。 Simulink 具有適應(yīng)面廣、結(jié)構(gòu)和流程清晰及仿真精細(xì)、貼近實(shí)際、效率高、靈活等優(yōu)點(diǎn)，并基于以上優(yōu)點(diǎn) Simulink 已被廣泛應(yīng)用于控制理論和數(shù)字信號(hào)處理的復(fù)雜仿真和設(shè)計(jì)。 2. Control System Toolbox（控制系統(tǒng)工具箱） Matlab 工具箱大致有 30 多個(gè)，可以分為兩類：功能型工具箱和領(lǐng)域型工具箱，控制系統(tǒng)工具箱是專業(yè)性很強(qiáng)的領(lǐng)域型工具箱的一種，用于完成一般控制系統(tǒng)工程設(shè)計(jì)，提供了功能強(qiáng)大的圖形化用戶界面的設(shè)計(jì)工具 LTI Viewer，用戶可在圖形化界面中同時(shí)通過圖表得知一個(gè) 或數(shù)個(gè)系統(tǒng)的變化，即使用者可在圖形化界面中分析系統(tǒng)的時(shí)域特性和頻域特性。 控制系統(tǒng)工具箱還提供了能夠迅速完成補(bǔ)償設(shè)計(jì)的圖形化設(shè)計(jì)工具 —— SISO設(shè)計(jì)工具，可以幫助用戶以圖形化的方式來調(diào)整系統(tǒng)的增益值、分析設(shè)計(jì)系統(tǒng)的零極點(diǎn)、分析校正器，同時(shí)可以觀察閉環(huán)響應(yīng)與穩(wěn)定裕量等。 三、 根軌跡設(shè)計(jì)方法及其在控制系統(tǒng)中的應(yīng)用 [9][18][19] （一） 根軌跡方法簡介 1948年，伊文斯（ W R EVANS）提出了直接由系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)確定系統(tǒng)閉環(huán)特征根的圖解法，即工程上廣泛使用的根軌跡法。利用這一方法可以分析系統(tǒng)的 性能，確定系統(tǒng)應(yīng)有的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，也可用于校正裝置的綜合，根軌跡法的基礎(chǔ)是系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，這一方法僅適用于線性系統(tǒng)。 根軌跡法是一種圖解方法，它是古典控制理論中對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析和綜合的基本方法之一。它描述的是系統(tǒng)某個(gè)參數(shù) (通常指增益 )從零變化到無窮大時(shí)的閉環(huán)極點(diǎn)的位置變化。由于根軌跡圖直觀地描述了系統(tǒng)特征方程的根（即系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)）在 s平面上的分布，因此，用根軌跡法分析自動(dòng)控制系統(tǒng)十分方便，特別是對(duì)于高階系統(tǒng)和多回路系統(tǒng)，應(yīng)用根軌跡法比用其他方法更為方便，因此在工程實(shí)踐中獲得了廣泛應(yīng)用。 （二）控制系統(tǒng)的根軌跡 分析方法 [18] 控制系統(tǒng)的根軌跡分析方法，是首先根據(jù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)繪制出閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡圖，然后再根軌跡圖上分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能。在根軌跡圖上可以進(jìn)行反饋系統(tǒng)的綜合或校正。 1. 控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)問題 根據(jù)給定的被控對(duì)象和自動(dòng)控制的技術(shù)要求，進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)，使控制器與被控對(duì)象組成的系統(tǒng)能較好地完成自動(dòng)控制任務(wù)。設(shè)計(jì)問題要求設(shè)計(jì)整個(gè)控制器 (包括設(shè)備選型、可靠性、經(jīng)濟(jì)性等實(shí)際問題 )。 2. 控制系統(tǒng)的校正問題 [19] 所謂校正，就是在系統(tǒng)中加入一些其參數(shù)可以根據(jù)需要而改變的機(jī)構(gòu)或裝置， 使系統(tǒng)寧波大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì) 31 整個(gè)特性發(fā)生變化，從而滿足給定的各項(xiàng)性能指標(biāo)。這一附加裝置稱為校正裝置。加入校正裝置后使未校正系統(tǒng)的缺陷得到補(bǔ)償，這就是校正作用。 常用的校正方式有串聯(lián)校正、反饋校正、前饋校正和復(fù)合校正 4種。本文我們所涉及的是反饋校正。 （ 1）超前校正網(wǎng)絡(luò) 無源超前校正網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)可寫為TsaTssG ??? 11)(其中 a1,故超前網(wǎng)絡(luò)的負(fù)實(shí)零點(diǎn)總是位于其負(fù)實(shí)極點(diǎn)之右，起到微分作用， a的值選的越大，則超前網(wǎng)絡(luò)的微分作用越強(qiáng)。 （ 2）滯后校正網(wǎng)絡(luò) 無源滯后校正網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)可寫為TsTssG ??? 1 b1)(其中 b1, 故滯后網(wǎng)絡(luò)的負(fù)實(shí)極點(diǎn)總是位于其負(fù)實(shí)零點(diǎn)之右，起到積分作用。 （三） 根軌跡法在控制系統(tǒng)中的應(yīng)用 [18] 根軌跡法校正的特征是基于閉環(huán)系統(tǒng)具有一對(duì)主導(dǎo)閉環(huán)極點(diǎn)，并且，零點(diǎn)和附加的極點(diǎn)會(huì)影響響應(yīng)特性 ，在系統(tǒng)中加入校正裝置，相當(dāng)于增加了新的開環(huán)零極點(diǎn)，這些零極點(diǎn)將使校正后的閉環(huán)根軌跡，向有利于改善系統(tǒng)性能的方向改變，系統(tǒng)閉環(huán)零極點(diǎn)重新布置，從而滿足閉環(huán)系統(tǒng)性能的要求。 1. 開環(huán)零點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響 （ 1） 改變了實(shí)軸上根軌跡的分布。 （ 2） 改變了根軌跡漸近線的條數(shù)、與實(shí)軸 的交點(diǎn)的坐標(biāo)及夾角的大小。 （ 3） 使系統(tǒng)的根軌跡向左偏移。提高了系統(tǒng)的穩(wěn)定度，有利于改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。開環(huán)負(fù)實(shí)零點(diǎn)離虛軸越近，這種作用越大。 （ 4） 開環(huán)零點(diǎn)和極點(diǎn)重合或相近時(shí)，二者構(gòu)成開環(huán)偶極子。開環(huán)偶極子中的零點(diǎn)和極點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響可以忽略不計(jì)。通過加入開環(huán)零點(diǎn)構(gòu)成開環(huán)偶極子的方法可抵消有損系統(tǒng)性能的極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生不利的影響。 2. 開環(huán)極點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響 （ 1） 改變了實(shí)軸上根軌跡的分布； （ 2） 改變了根軌跡的漸近線的條數(shù)、與實(shí)軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)及夾角的大小； （ 3） 使系統(tǒng)的根軌跡向右偏移。降低了系統(tǒng)的穩(wěn)定度，有損于系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，使得系統(tǒng)響 應(yīng)的快速性變差。開環(huán)負(fù)實(shí)極點(diǎn)離虛軸越近，這種作用越大。 當(dāng)系統(tǒng)的性能指標(biāo)是以最大超調(diào)量、上升時(shí)間、調(diào)整時(shí)間、阻尼比以及希望的閉環(huán)阻尼比、閉環(huán)極點(diǎn)無阻尼震蕩頻率等表示時(shí)，采用根軌跡法進(jìn)行校正比較方便，在設(shè)計(jì)系統(tǒng)時(shí)，如果需要對(duì)增益以外的參數(shù)進(jìn)行調(diào)整，則必須通過引入適當(dāng)?shù)男Ｕb置來改變原來的零極點(diǎn)。 四、 直線一級(jí)倒立擺模型的線性化 [10][11] 對(duì)于倒立擺系統(tǒng)，由于其本身是自然不穩(wěn)定的系統(tǒng)，實(shí)驗(yàn)建模存在一定的困難。但是經(jīng)過小心的假設(shè)忽略掉一些次要的因素后，倒立擺系統(tǒng)就是一個(gè)典型的運(yùn)動(dòng)的剛體系統(tǒng)，可以在慣性坐 標(biāo)系內(nèi)應(yīng)用經(jīng)典力學(xué)理論建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程。下面是通過牛頓 歐拉方法建立的直線型一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。由于狀態(tài)反饋要求的被控系統(tǒng)是一個(gè)線性系統(tǒng)，而倒立擺系統(tǒng)本身卻是一個(gè)非線性系統(tǒng)，因而用狀態(tài)反饋控制倒立擺系統(tǒng)時(shí)，首先要做的是將這個(gè)非線性的系統(tǒng)近似為線性系統(tǒng)。本文用兩種方法進(jìn)行了線性化， ? =0 附近將其非線性數(shù)學(xué)模型線性化； Simulink 搭建非線性仿真模型，并將其進(jìn)行了線性化。 倒立擺模糊控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn) 32 （一） 參量的假設(shè)以及系統(tǒng)內(nèi)部各相關(guān)參數(shù)的假設(shè) 1. 參量的假設(shè) M 小車質(zhì)量 m 擺桿質(zhì)量 b 小車摩擦系數(shù) l 擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長度 I 擺桿慣量 F 加在小車上的力 g 重力加速度 x 小車的位置 ? 擺桿與垂直向上方向的夾角 ? 擺桿與垂直向下方向的夾角（初始位置為豎直向下） M 小車質(zhì)量 m 擺桿質(zhì)量 b 小車摩擦系數(shù) l 擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長度 I 擺桿慣量 *m*m。 由牛頓 歐拉方法可知倒立擺系統(tǒng)的非線性模型為： 22( ) 39。39。 39。 [ 39。39。 c o s ( 39。) s in ]( ) 39。39。 s in 39。39。 c o sM m x b x m l FI m l m g l m lx? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ??? ○ 1 （二）在擺角 ? =0 附近將其非線性數(shù)學(xué)模型線性化 方程中 ? ? ???，當(dāng) ? 與 1（單位為弧度）相比很小時(shí)，可進(jìn)行近似處理： cos 1??? ， sin???? ， 2( ) 0ddt? ? ，用符號(hào) u 代替被控對(duì)象的輸入量 F，將上三等式帶入 ○ 1 ，得到近似的線性模型如下： 2( ) 39。39。 39。 39。39。( ) 39。39。 39。39。M m x b x m l uI m l m g l m lx???? ? ? ??? ? ? ?? 從而得到倒立擺的 傳遞函數(shù)模型為 224 3 2()( ) ( )()ml ss qb I m l M m m g l b m g lUs s s s sq q q? ???? ? ? 其中 22[ ( ) ( ) ( ) ]q M m I ml ml? ? ? ? 寧波大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì) 33 狀態(tài)空間模型為 2 2 2 20 1 0 0 039。 ()0039。39。 39。39。 0 0 0 1 039。39。 39。()00xxI ml b m gl I mlpp pumlb mgl M m mlppp???? ???? ??? ? ? ??? ???? ? ? ???? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ? ????? ? ? ??????? 1 0 0 0 39。 0[]0 0 1 0 039。xxxyu???????? ? ? ???? ? ?? ? ? ???? ? ? ????? 其中， 2()p I M m M ml? ? ? Matlab 中求解擺桿角度控制器的傳遞函數(shù) 前面我們已經(jīng)獲得了倒立擺系統(tǒng)開環(huán)的傳遞函數(shù)，小車的推力作為輸入（單位階躍），倒立擺系統(tǒng)擺桿的角度作為輸出，則被控對(duì)象的傳遞函數(shù)為 其中令 22[ ( ) ( ) ( ) ]q M m I ml ml? ? ? ? 則224 3 2()( ) ( )()ml ss qb I m l M m m g l b m g lUs s s s sq q q? ???? ? ? 給系統(tǒng)施加一個(gè)單位階躍擾動(dòng)，輸出量為擺桿角度時(shí)，系統(tǒng)框圖如 41所示： 圖 41 一般情況下，輸入 r(s)=0,系統(tǒng)框圖可變換成如圖 42 所示： ∑ Plant Gs Controller Cs ∑ ∑ Controller KD(s) Plant G(s) 倒立擺模糊控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn) 34 圖 42 其中， Gs 是單位階躍輸入到擺桿角度輸出的傳遞函數(shù)，反饋環(huán)節(jié)的 Cs 則是所要設(shè)計(jì)的擺桿角度的控制器。 Matlab 描述 在 Matlab 中，通過求解狀態(tài)方程中 的系數(shù)矩陣來求得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。以下是輸入為單位階躍干擾，輸出為擺桿角度的系統(tǒng)傳遞函數(shù)的 mfile %直線一級(jí)倒立擺的傳遞函數(shù) M=。 m=。 b=。 l=。 I=。 g=。 p=(I*(M+m)+M*m*l^2)。 A=[0 1 0 0。 0 (I+m*(l^2))*b/p (m^2)*g*(l^2)/p 0。 0 0 0 1。 0 m*l*b/p m*g*l*(M+m)/p 0]。 B=[0。(I+m*l^2)/p。0。m*l/p]。 C=[1 0 0 0。0 0 1 0]。 D=[0。0]。 Gz=ss(A,B,C,D) Gc=tf(Gz) Gs=zpk(Gz(2,1)) %end 執(zhí)行上面文件，可以依次得到系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式、系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，以及零極點(diǎn)增益模型如下： ○ 1 狀態(tài)空間表達(dá)式 a = x1 x2 x3 x4 x1 0 1 0 0 x2 0 0 x3 0 0 0 1 x4 0 0 b = u1 x1 0 x2 x3 0 x4 c = x1 x2 x3 x4 y1 1 0 0 0 y2 0 0 1 0 寧波大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì) 35 d = u1 y1 0 y2 0 Continuoustime model. ○ 2 傳遞函數(shù)表達(dá)式 Transfer function from input to output... s^2 1: