【正文】 DCBA （ 229） 代入上式，并在 Matlab 中計算： cona=[B A*B A^2*B A^3*B]。 rank(cona) rank(cona2) 或可以利用計算能控性矩陣的 ctrb命令和計算能觀性的矩陣 obsv命令來計算。 17 Vo=obsv(A,C)。并且系統(tǒng)的能觀性矩陣的秩等于系統(tǒng)的狀態(tài)變量的行數(shù)，故系統(tǒng)能觀。 本章小結(jié) 本章主要介紹了應(yīng)用 Newton 法建立直線一級倒立擺系統(tǒng)的動力學(xué)模型，推導(dǎo)該系統(tǒng)的運動方程，求出直線一級倒立擺系統(tǒng)傳遞函數(shù)模型及空間狀態(tài)方程模型，并進一步對系統(tǒng)的穩(wěn)定性、能控性及能觀性進行分析，得出直線一級倒立擺系統(tǒng)是線性不穩(wěn)定、完全能控、完全能觀系統(tǒng)結(jié)論。 18 第三章 直線倒立擺系統(tǒng) LQR控制器設(shè)計與仿真 線性二次最優(yōu)控制 LQR基本原理及分析 線性二次控制的 LQR 基本原理為， 由系統(tǒng)方程： BuAXX ??? （ 31） 確定下列最佳控制向量的矩陣 K。并且假設(shè)控制向量 u(t)是無約束的。 ),( RQBAlqrK ? （ 35） 改變矩陣 Q 的值， 可以得到不同的響應(yīng)效果， Q 的值越大 (在一定范圍之內(nèi) )，系統(tǒng)抵抗干擾的能力越強，調(diào)整時間越短。 BuAXX ??? K X u 19 直線一級倒立擺系統(tǒng) LQR控制器設(shè)計與仿真 在第二章我們已經(jīng)得到了直線一級倒立擺系統(tǒng)的比較精確的動力學(xué)模型，下面將對直線型一級倒立擺系統(tǒng)應(yīng)用 LQR 法設(shè)計與調(diào)節(jié)控制器，控制擺桿保持豎直向上平衡的同時，跟蹤小車的位置。設(shè)計控制器使得當(dāng)給系統(tǒng)施加一個階躍輸入時，擺桿會擺動，然后仍然回到垂直位置，小車可以到達新的指定位置。在 Matlab 中得到最優(yōu)控制器對應(yīng)的 K。最簡單的情況是假設(shè) CCQR *,1 ??? 。 ???????????????0000010000000001* CCQ （ 36） 其中， 1,1Q 代表小車位置的權(quán)重，而 3,3Q 是擺桿的權(quán)重，輸入的權(quán)重 R 是 1。 在 Matlab 中編程計算 : 令 1,1 3,31,1 ?? 求得 K=[1 ] 得到仿真結(jié)果如下： 20 圖 32 當(dāng) 1,1 3,31,1 ?? 仿真結(jié)果圖 從圖中可以看出，小車的位置、小車的加速度和擺桿角度、擺桿角速度達不到穩(wěn)定狀態(tài)，所以需調(diào)整 Q 的參數(shù)，令 200,1000 3,31,1 ?? 求得 K=[ ] 可得仿真圖： 圖 33 200,1000 3,31,1 ?? 仿真結(jié)果圖 從仿真圖上可以看出，小車的位置、小車的速度、擺桿的角度、擺桿的角速度可 以在 2s 左右同時達到穩(wěn)定狀態(tài)，可以看出達到了穩(wěn)定效果。 可以發(fā)現(xiàn)， Q 矩陣中，增加 1,1Q 使穩(wěn)定時間和上升時間變短，并且使擺桿的角度變化減小。 從圖中可以看出，系統(tǒng)響應(yīng)時間有明顯的改善，增大 1,1Q 和 3,3Q ，系統(tǒng)的響應(yīng)還會更快，但是對于實際離散控制系統(tǒng)，過大的控制量會引起系統(tǒng)振蕩。借助固 高 Matlab 實時控制軟件，得出直線一級、倒立擺 LQR 控制 Simulink仿真圖，通過改變 Simulink 的 LQR 模塊及狀態(tài)空間模塊中的參數(shù)，觀察仿真，選取合適的控 制參數(shù)從而得到最好的控制效果。 24 第四章 直線倒立擺的實物穩(wěn)定控制 直線一級倒立擺 LQR實物穩(wěn)定控制 本次倒立擺實時控制是基于固高倒立擺 Matlab Simulink 實時控制系統(tǒng)上進行的。 圖 43 一級倒立擺 LQR控制參數(shù)設(shè)置框 在“ LQR Controller”模塊上點擊鼠標右鍵選擇“ Look under mask”打開模型如下： 圖 44 LQR 控制器內(nèi)部結(jié)構(gòu) 將“ Real Control”模塊打開實時控制模塊如下圖： 26 圖 45 實時控制模塊內(nèi)部結(jié)構(gòu) 其中“ Pendulum”模塊 為倒立擺系統(tǒng)輸入輸出模塊，輸入為小車的速度“ Vel”和“ Acc”，輸出為小車的位置“ Pos”和擺桿的角度“ Angle”。 設(shè)置好相關(guān)參數(shù)再點擊 編譯程序，編譯成功后點擊“ ”連接， 再點擊“ ”運行程序，在確認點擊上伺服后，緩慢的提起擺桿到豎直向上的位置， 27 程序進入自動控制后松開擺桿。 下面的圖則為有擾動的情況下的位置與角度圖： 圖 49 一級倒立擺穩(wěn)定時受擾動過程的位置 與角度波形圖 從圖 49 可以看出，擺桿在受到右邊的擾動擺桿經(jīng)過了一個很大的擺動，但小車經(jīng)過 2 秒左右的自動調(diào)整，又回到了平衡位置。 29 本章小結(jié) 本章是介紹利用固高教學(xué)產(chǎn)品 Matlab/Simulink 實時控制軟件以及固高科技有限公司生產(chǎn)的直線一級倒立擺 GLIP2020 來驗證第三章設(shè)計的 LQR 控制器是否成功，并借助該軟件利用計算機實現(xiàn)直線一級倒立擺的實物系統(tǒng)的控制，給出實物系統(tǒng)穩(wěn)定時和受干擾時各狀態(tài)變量的響應(yīng)曲線，以表明設(shè)計的控制器對實物系統(tǒng)的 控制是否有效。 利用目前流行的硬件在回路仿真技術(shù)，使用 MATLAB 直接實時控制倒立擺系統(tǒng)，并且在線調(diào)整參數(shù)，將使該實驗系統(tǒng)具備更高效率，更好的效果，更廣泛的適用性。 本文對一級倒立擺進行了系統(tǒng)分析研究并推算出系統(tǒng)的狀態(tài)方程。對一級倒立擺的仿真控制結(jié)果進行了分析，最后對一級倒立擺進行了實物控制實驗，進一步證明了 LQR 控制器對非線性、多變量、強耦合的不穩(wěn)定系統(tǒng)具有良好的控制效果。在實際中必修考慮到這些現(xiàn)實的因素，在用這些控制方法對倒立擺進行控制，難度將大大的提高，甚至不可行。 (2) 可以嘗試在 Windows 操作系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，搭建倒立擺系統(tǒng)的控制平臺上，如用 VC++開發(fā)一個人機控制界面，通過界面的操作，實現(xiàn)對倒立擺系統(tǒng)參數(shù)的設(shè)置、控制操作等。 31 附 錄 一級倒立擺能控、能觀性程序 clear。 0 0 0 0。 0 0 0 ]。1。3]。0 1 0 0]。0]。 cona2=[C*B C*A*B C*A^2*B C*A^3*B D]。 A=[ 0 1 0 0。 0 0 0 1。 B=[ 0 1 0 3]39。 0 0 1 0]。 Q11=1000。 Q=[Q11 0 0 0。 0 0 Q33 0。 R = 1。 Bc = [B]。 Dc = [D]。 U=*ones(size(T))。 32 s=size(A,1)。 N=inv([A,B。 Nx=N(1:s)。 Nbar=Nu+K*Nx。 B=[Nbar*B]。 plot(T,X(:,1),39。)。 plot(T,X(:,2),39。)。 plot(T,X(:,3),39。)。 plot(T,X(:,4),39。) legend(39。,39。,39。,39。) 參考文獻 [1] 張葛祥 ,李娜 .基于線性二次最優(yōu)控制的參數(shù)滿意優(yōu)化方法研究 [J].控制與決策 , [2] 王士瑩 ,張峰 ,陳志勇等 .直線一級倒立擺的 LQR 控制器設(shè)計 [J].信息技術(shù) ,2020 [3] 王仲民 ,孫志軍 ,岳宏 .基于 LQR 的倒立擺最優(yōu)控制系統(tǒng)研究 [J].工業(yè)儀表與自動化裝置 , [4] 黃宏格 .直線倒立擺機理模型及控制性能研究 [D].中南大學(xué)碩士學(xué)位論文 , [5] 劉時鵬 . 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