【正文】 F x x? xb? P ? mg N X F ? 擺桿 l 11 根據(jù)擺桿水平方向的受力情況可以得到下面的等式： )s in(22 ?lxdtdmN ?? （ 22） 即： ???? s inc os 2????? mlmlxmN ??? （ 23） 把式（ 23）代入式（ 21）中，就得到系統(tǒng)的第一個運(yùn)動方程： FmlmlxbxmM ????? ???? s i nc o s)( 2?????? （ 24） 為了推導(dǎo)系統(tǒng)的第二個運(yùn)動方程，我們對擺桿垂直向上的合力進(jìn)行分析，可以得到下面方程： )co s(22 ?ldtdmmgP ?? （ 25） ???? c o ss in 2??? mlmlmgP ???? （ 26） 力矩平衡方程如下： ??? ??INlPl ??? c oss in （ 27） 注意：此方程中力矩的方向，由于 ,s ins in,c osc os, ??????? ??????故等式前面有負(fù)號。 直線一級倒立擺系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型 在忽略了空氣阻力和各種摩擦之后，可將直線一級倒立擺系統(tǒng)抽象成小車和勻質(zhì)桿組成的系統(tǒng)，如圖 21 所示。機(jī)理建模就是在了解研究對象的運(yùn)動規(guī)律基礎(chǔ)上，通過物理、化學(xué)的知識和數(shù)學(xué)手段建立起系統(tǒng)內(nèi)部的輸入 — 狀態(tài)關(guān)系。 第五章為總結(jié)與展望，對論文所做的工作進(jìn)行總結(jié)，指出進(jìn)一步工作的重點(diǎn)和方向。 第二章應(yīng)用 Newton 法建立直線一級倒立擺系統(tǒng)的動力學(xué) 模型，推導(dǎo)該系統(tǒng)的運(yùn)動方程，求出直線一級倒立擺系統(tǒng)傳遞函數(shù)模型及空間狀態(tài)方程模型，并進(jìn)一步對系統(tǒng)的穩(wěn)定性、能控性及能觀性進(jìn)行分析，得出直線一級倒立擺系統(tǒng)是線性不穩(wěn)定、完全能控、完全能觀系統(tǒng)結(jié)論。 本文的主要研究內(nèi)容與章節(jié)安排 本文以固高公司直線倒立擺為研究對象，利用 Newton 法建立直線一級倒立擺的動力學(xué)模型。對于倒立擺起擺問題的研究最早是在 1976 年， Mori 等人使用了兩個控制器 的控制系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)對倒立擺控制。該實(shí)驗(yàn)的成功在控制理論領(lǐng)域具有重大意義，刷新了倒立擺系統(tǒng)發(fā)展的歷史，填補(bǔ)了世界在控制理論領(lǐng)域內(nèi)的空白，為控制理論的發(fā)展提出了新的發(fā)展方向。這一實(shí)踐的成功，完美的解決了三級倒立擺這一控制界的難題，將倒立擺的控制推向了一個嶄新的階段。 從總體來看，國外對倒立擺系統(tǒng)的研究比國內(nèi)的多很多。用一種全新的概念進(jìn)行信息處理，克服了 PID 參數(shù)整定的盲目性。用智能控制理論控制倒立擺的優(yōu)點(diǎn)是不需要精確的倒立擺模型，克服了倒立擺系統(tǒng)不確定性。 隨著科學(xué)技術(shù)的日益發(fā)展和進(jìn)步，被控對象也越來越復(fù)雜，因而對控制性能有了更高的要求，在高科技迅猛發(fā)展的今天，傳統(tǒng)的控制理論表現(xiàn)出越來越 6 多的局限性，其發(fā)展將面臨更 多新的挑戰(zhàn)。具有代表性的研究成果主要有： Fuurta 等人在 1992 年對倒立擺系統(tǒng)的不確定性進(jìn)行了研 究，并提出了變結(jié)構(gòu)控制理論； Fradkov 等人在 1975 年提出了一種無電機(jī)控制的方法實(shí)現(xiàn)對倒立擺系統(tǒng)的控制。 1984 年，對倒立擺系統(tǒng)的研究取得了突破 性的成果。 對于倒立擺穩(wěn)定控制的研究可以追溯到 20 世紀(jì) 60 年代， 利用現(xiàn)代控制理論中的 BangBang 控制理論， 1966 年 Schaefer 和 Cannon 實(shí)現(xiàn)了一曲軸穩(wěn)定于倒立位置。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，控制理論也得到了進(jìn)一步的發(fā)展， 20 世紀(jì)中后期出現(xiàn)了很多新的控制方法。 倒立擺系統(tǒng)發(fā)展及研究現(xiàn)狀 倒立擺系統(tǒng)是多種技術(shù)、多個學(xué)科領(lǐng)域的結(jié)合產(chǎn)物，比如很多控制理論在倒立擺系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)中得到完美的體現(xiàn)；在倒立擺的控制 過程中，計(jì)算機(jī)控制技術(shù)發(fā)揮著不可磨滅作用；另外隨著技術(shù)的發(fā)展，已將倒立擺系統(tǒng)控制的原理成功的應(yīng)用于機(jī)器人技術(shù)的研究中。為了使擺桿擺動或者達(dá)到豎直向上的穩(wěn)定，需要給小車一個控制力，使其 在軌道上被往前或朝后拉動。 倒立擺控制方法 倒立擺系統(tǒng)的輸入為小車 的位移 (即位置 )和擺桿的傾斜角度期望值，計(jì)算機(jī)在每一個采樣周期中采集來自傳感器的小車與擺桿的實(shí)際位置信號，與期望值進(jìn)行比較后，通過控制算法得到控制量，再經(jīng)數(shù)模轉(zhuǎn)換驅(qū)動電機(jī)實(shí)現(xiàn)倒立擺的實(shí)時控制。當(dāng)擺桿到達(dá)期望的位置后，系統(tǒng)能克服隨機(jī)擾動而保持穩(wěn)定的位置。 (5) 約束限制 倒立擺系統(tǒng)的約束限制主要是機(jī)構(gòu)限制，如電機(jī)力矩限制、運(yùn)動模塊行程限制等。 (2) 不確定性 造成不確定性的因素主要是指模型誤差、機(jī)械傳動間隙和各種阻力等。 按倒立擺的級數(shù)來分：有一級倒立擺、兩級倒立擺、三級倒立擺和四級倒立擺，一級倒立擺常用于控制理論的基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)，多級倒立擺常用于控制算法的研究，倒立擺的級數(shù)越高，其控制難度更大，目前，可以實(shí)現(xiàn)的倒立擺控制最高為四級倒立擺。 (2) 環(huán)形倒立擺系列 環(huán)形倒立擺是在圓周運(yùn)動模塊上裝有擺體組件，圓周運(yùn)動模塊有一個自由度，可以圍繞齒輪中心做圓周運(yùn) 動，在運(yùn)動手臂末端裝有擺體組件，根據(jù)擺體組件的級數(shù)和串連或并聯(lián)的方式，可以組成很多形式的倒立擺。 倒立擺分類 倒立擺系統(tǒng)開始為單級直線形式，即僅有的一級擺桿其一端自由，另一端則連接在可以在直線導(dǎo)軌上自由滑動的小車上。 關(guān)鍵詞： 直線倒立擺；建模；穩(wěn)定性； LQR；仿真 ABSTRACT Inverted pendulum system is nonlinear, strongly coupled, multivariable and naturally instable. In the control process this system can reflect some key problems of control theory, such as stabilization problem, nonlinear problems, robustness, and tracking problem. It’s a typically experimental facility which can verify the methods of modern control theory, moreover the control methods and thoughts play an important role in dealing with the general industrial process. So the studies of inverted pendulum system are theoretically and practically valued. Googol pany linear inverted pendulum, Newton39。在控制過程中能反映控制理論中的許多關(guān)鍵問題，如鎮(zhèn)定問題、非線性問題、魯棒性問題以及跟蹤問題等。不僅是驗(yàn)證現(xiàn)代控制理論方法的典型實(shí)驗(yàn)裝置，而且其控制方法和思路對處理一般工業(yè)過程亦有廣泛的用途，因此對倒立擺系統(tǒng)的研究具有重要的理論研究和實(shí)際應(yīng)用價值。s method to create a straight line an inverted pendulum dynamic model using the Lagrange equation deduced straight line double inverted pendulum mathematical model of analytical mechanics methods. This thesis adopts Googol pany linear inverted pendulum as the study object,. First controllability and observability analysis of system state equation should be analyzed, afterwards, with the Googol hightech Matlab realtime control software experimental platform, LQR controller can be designed and LQR control method can conduct online realtime simulation experiment on straight line, double inverted pendulum Simulink, analyze results of experiment and adjust LQR parameters so as to achieve the best stability and regulation state. Some certain disturbance online imposed on the system enables it to restore the balance in a very short time, and achieve very good realtime control effects. Keywords： linear inverted pendulum。在此基礎(chǔ)上，人們又進(jìn)行了拓展，產(chǎn)生了多種類型的倒立擺。如圖 12 所示。 圖 11 直線倒立擺系列 圖 12 環(huán)形倒立擺系列 圖 13 復(fù)合倒立擺系列 3 圖 14 平面倒立擺系列 倒立擺特性 倒立擺的形式和結(jié)構(gòu)盡管不同，但卻都具有相同的特性。實(shí)際控制中必修通過減少各種誤差來解決問題，如通過施加預(yù)緊力減少皮帶或齒輪的傳動誤差，或利用滾珠軸承減少摩擦阻力等不確定性因素。為降低成本和制造方便，倒立擺的結(jié)構(gòu)尺寸及電機(jī)功率都盡量要求最 4 小，在這些限制中，其中行程限制對于倒立擺的擺起尤為突出，容易出現(xiàn)小車的撞邊現(xiàn)象。直線倒立擺控制的目的是：小車和擺桿組成的直線倒立擺系統(tǒng)在受到干擾后，小車處于軌道的中心位置，擺桿將保持垂直位置不倒。電機(jī)通過皮帶帶動小車在固定的軌道上運(yùn)動，擺桿的一端安裝在小車上，能以此點(diǎn)為軸心使擺桿能在垂直的平面上自由地?cái)[動。 因此，倒立擺系統(tǒng)的控制原理可簡述如下：用一種強(qiáng)有力的控制方法對小車的速度作適當(dāng)?shù)目刂疲瑥亩箶[桿倒置穩(wěn)定于小車正上方。倒立擺系統(tǒng)本身不穩(wěn)定、多變量、強(qiáng)耦合、非 5 線性等特點(diǎn)使得被學(xué)術(shù)界看做是一個典型的控制裝置進(jìn)行研究。在近幾年的研究中，學(xué)者都嘗試著用倒立擺系統(tǒng)作為實(shí)驗(yàn)裝置去檢驗(yàn)新的控制方法的各種性能和控制能力，從而試圖選出最好的控制方法。 1970 年 等實(shí)現(xiàn)了對一級倒立擺的穩(wěn)定控制。 Furuta 等學(xué)者研究用雙電機(jī)對倒立擺進(jìn)行控制，最終成功的完成了對三級倒立擺系統(tǒng)的實(shí)物控制。此外， Wiklund 等人用現(xiàn)代控制理論中的李亞普諾夫原理對環(huán)形一級倒立擺進(jìn)行了控制，并取得了良好的效果。為了適應(yīng)控制系統(tǒng)的要求，智能控制理論得到快速發(fā)展，用智能控制理論方法控制倒立擺系統(tǒng)的研究受到越來越多學(xué)者的重視。 1997 年， 等利用模糊 PID 控制器控制一級倒立擺。 1997 年， Gordlio 以倒立擺為實(shí)驗(yàn)對象，對最優(yōu)控制 LQR 方法和基于遺傳算法的控制控制結(jié)果進(jìn)行了對比分析，得出對于級數(shù)較低的倒立擺系統(tǒng)而言，傳統(tǒng)控制方法比遺傳算法控制效果好。雖然，國外對倒立擺系統(tǒng)穩(wěn)定性的研究已取得了一系列的成功，但在國內(nèi)，對倒立擺系統(tǒng)的研究也取得了很大的突破。李洪興教授根據(jù)倒立擺系統(tǒng)的特點(diǎn)，將變論域自適應(yīng)控制和模糊控制相結(jié)合，提出了另一種新的理論，即“變論域自適應(yīng)模糊控制理論