【正文】 ），其飛 行姿態(tài)的控制也可以用多級倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行研究。在此基礎(chǔ)上，世界各國專家和學(xué)者對倒立擺進(jìn)行了拓展，產(chǎn)生了直線二級倒立擺、三級倒立擺、多級倒立擺、柔性直線倒立擺、環(huán)形倒立擺、平面倒立擺、環(huán)形并聯(lián)多級倒立擺以及斜坡倒立擺等實驗設(shè)備，并用不同的控制方法對其進(jìn)行了控制。 國內(nèi)對倒立擺的研究始于 80 年代，三級倒立擺及多級倒立擺的研究也取得了很大進(jìn)展，不僅在系統(tǒng)仿真方面，而且在實物實驗中，都出現(xiàn)了控制成功的范例。 2021 年，羅成等人實現(xiàn)了五級倒立擺的控制 [8]。當(dāng)前倒立擺的控制方法可分為以下幾類： (1)線性理論控制方法 將倒立擺系統(tǒng)的非線性模型進(jìn)行近似線性化處理，獲得系統(tǒng)在平衡點(diǎn)附近的線性化模型，然后再利用各種線性系統(tǒng)控制器設(shè)計方法得到期望的控制器。 (2)預(yù)測控制和變結(jié)構(gòu)控制方法 由于線性控制理論在倒立擺控制中的局限性，使得研究者不得不去尋求更加有效的控制方法，于是 先后開展了預(yù)測控制、變結(jié)構(gòu)控制和自適應(yīng)控制的研究。 (3)智能控制方法 在倒立擺系統(tǒng)中用到的智能控制方法主要有神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制、模糊控制、仿人智能控制、擬人智能控制和云模型控制等。常規(guī)的模糊控制器的設(shè)計方法有很大的局限性，首先，難以建立一組比較完善的多維模糊控制規(guī)則，即使能湊成這樣一組不完整的粗糙 的模糊控制規(guī)則，其控制效果也是難以保證的。這又阻礙了智能控制理論的發(fā)展，因此，又有學(xué)者提出了一種新的理論 —— 擬人控制理論。另一核心概念是 “ 擬人 ”， 其含義是在控制規(guī)律形成過程中直接利用人的控制經(jīng)驗直覺推理分析。這種擬人控制不要求給出被控對象精確的數(shù)學(xué)模型，僅僅依據(jù)人的經(jīng)驗、感受和邏輯判斷，將人用自然語言表達(dá)的控制經(jīng)驗，通過語言原子和云模型轉(zhuǎn)換到語言控制規(guī)則器中，就能解決非線性問題和不確定性問題 [10]。分別用現(xiàn)代控制理論及經(jīng)典控制理論對直線倒立擺的位置控制和角度控制進(jìn)行分析。 2 倒立擺機(jī)械系統(tǒng)設(shè)計及實現(xiàn) 5 2 倒立擺機(jī)械系統(tǒng)設(shè)計及實現(xiàn) 倒立擺簡介 倒立擺系統(tǒng)包含倒立擺本體、電控箱及由運(yùn)動控制卡和普通 PC 機(jī)組成的控制平臺等三大部分。 電氣控制箱 由 電機(jī)驅(qū)動器、 I/O 接口板、開關(guān)電源、開關(guān)和指示燈等電氣元件 組成。倒立擺的非線性控制正成為一個研究的熱點(diǎn)。其工作原理如下圖 所示： 畢業(yè)設(shè)計（論文） 6 圖 直線倒立擺控制系統(tǒng)硬件框圖 由圖可以看出倒立擺系統(tǒng)是一個閉環(huán)系統(tǒng)， 圖中光電碼盤 l 由伺服電機(jī)自帶，可以根據(jù)該碼盤的反饋通過換算獲得小車的位 移 ， 小車的速度信號可以通過差分得到。 系統(tǒng)機(jī)械結(jié)構(gòu)設(shè)計 底座設(shè)計 對于底座的設(shè)計，選用的是固定式的 底座 ,如圖 所示： 圖 固定式底座 它的機(jī)構(gòu)穩(wěn)固，不會因為機(jī)器長時間運(yùn)行而改變其水平條件，加工也簡單，可 以直接鑄造得到。因此，軸承座安裝軸承的孔應(yīng)設(shè)計為通孔，并在車床上一次裝夾加工完成，以避免產(chǎn)生二次裝夾誤差。因此，必須保證轉(zhuǎn)軸軸承裝配面和編碼器軸裝配面是同心的。 因此， 需要先將兩個截面為正方形的長方體棒料在車床上利用四爪夾盤裝夾，并在正方形截面的中心鉆孔，留 毫米余量進(jìn)行精加工，之后進(jìn)行直線軸座裝配。 b. 電機(jī)與同步帶裝置連接裝置 為了降低皮帶輪與電機(jī)軸裝配的同心度要求，電機(jī)和皮帶輪之間用聯(lián)軸器聯(lián)結(jié)。 從電動機(jī)角度考慮，電動機(jī)受到的主要負(fù)載為摩擦負(fù)載和慣性負(fù)載，摩擦負(fù) 載主要來源于作直線 運(yùn)動的倒立擺小車被控對象與運(yùn)行軌道的摩擦力、傳動裝置同步帶和齒輪之間的摩擦力，慣性負(fù)載除了電動機(jī)轉(zhuǎn)子的慣性力外，還有擺和小車以及齒輪的慣性力，忽略齒輪的慣性力，現(xiàn)分別計算其它負(fù)載力 (全部折算到電機(jī)軸上 )。 (2)采用恒流斬波，雙極性全橋式驅(qū)動 。 3 一級直線倒立擺系統(tǒng)建模分析與仿真 10 3 一級直線倒立擺系統(tǒng)的建模分析與仿真 在控制系統(tǒng) 的分析和設(shè)計中，首先要建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。因此，建立控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是進(jìn)行控制系統(tǒng)分析和設(shè)計的首要工作。實驗法是人為地給系統(tǒng)施加某種測試信號，記錄其輸出響應(yīng)，并用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型去逼近，這種方法稱為系統(tǒng)辯識 [13]。 合并這兩個方程，約去 P 和 N ，得到第二個運(yùn)動方程： ??? c o ss i n)( 2 xmlm g lmlI ???? ???? () 設(shè) ??? ?? ，（ ? 是擺桿與垂直向上方向之間的夾角），假設(shè) ? 與 1（單位是弧度）相比很小，即 1??? 時，則可以進(jìn)行近似處理： 1cos ??? ， ?? ??sin ，0)( 2 ?dtd? 。 系統(tǒng)階躍響應(yīng)分析 上面已經(jīng)得到系統(tǒng)的狀態(tài)方程，對其進(jìn)行階躍響應(yīng)分析，在 Matlab 中鍵入以下命令： A=[0 1 0 0； 0 0； 0 0 0 1； 0 0]； B=[0； ； 0； ]； C=[1 0 0 0； 0 1 0 0]； D=[0； 0]； step（ A， B， C， D） 得到如下結(jié)果： 畢業(yè)設(shè)計（論文） 15 圖 直線一級倒立擺單位階躍響應(yīng)仿真 可以看出，在單位階躍響應(yīng)作用下，小車位置和擺桿角度都是發(fā)散的。 PID 控制器是一種線性控制器， 它根據(jù)給定 rin(t)與實際輸出值 yout(t)構(gòu)成控制偏差： ? ? ? ? ? ?e t rin t yo ur t?? () PID 的控制規(guī)律為： ? ? ? ? ? ?? ?1 0 dpit T de tu t K e t e tT dt??? ? ?????? () ? ?? ?? ? 11pdiUsG s K T sE s T s??? ? ? ????? () 式中， Kp 為比例系數(shù)； Ki 為積分時間常數(shù)； Kd 為微分時間常數(shù)。 增加積分系數(shù) I 時可以看見到 ， 當(dāng) I 從 13 時 ， 系統(tǒng)的性能明顯提高，響應(yīng)時間縮短，動態(tài)性能得到了很大的提高 。仿真結(jié)果表明通過采用 P1D 控制，可以得到較為滿意的響應(yīng)結(jié)果。 下面是幾個選擇的一般原則， 通常選用 Q 和 R為對角線矩陣 ， 實際 應(yīng)用中 ， 通常將 R 值固定 ， 然后改變 Q 的數(shù)值 (一般可直接選 R = 1)， Q 的選擇不唯一表明當(dāng)?shù)玫降目刂破飨嗤瑫r ， 可以有多種 Q 值的選擇 ,其中總有一個對角線形式的 Q。因為系統(tǒng)是能控的，所以 ， 可以通過狀態(tài)反饋來任意配置極點(diǎn)。如何快速的進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài)僅僅由 它 們的參數(shù)選擇決定。 LQR 控制算法中，最終決定控制效果的是 Q， R 矩陣 ， 其中 R 矩陣常設(shè)定為 1， 可以參考已有的擺桿運(yùn)動曲線根據(jù)其規(guī)律進(jìn)行調(diào)節(jié)。 總的來說，三種控制方法都可以實現(xiàn)直線一級倒立擺的穩(wěn)定控制且控制效果非常好， PID 控制中擺桿的角度與角速度、小車位置及速度控制效果較好；而LQR 控制中可以比較好地控制住擺桿且響應(yīng)速度較快超調(diào)量較小，但是對小車的控制效果卻稍差些。 4 二級直線倒立擺系統(tǒng)建模分析與仿真 24 4 二級直線倒立擺系統(tǒng)的 建模分析與仿真 二級倒立擺模型的分析 為簡化系統(tǒng)， 我們在建模時忽略了空氣阻力和各種摩擦， 并認(rèn)為擺桿為剛體。 小車的動能： 212MxTm ?? （ ） 由式（ ）可得： 39。1mT ， 39。 39。39。 (( ) ( ) )1 2 d X p d Y pTmm d t d t?? （ ） 畢業(yè)設(shè)計（論文） 26 211139。 39。 21 1 1 126T J m lmp ?????? （ ） 同理 1 ( 2 ) ( 2 )39。 對于系統(tǒng)，可設(shè)以下變量： Xp1 擺桿 1 質(zhì)心橫坐標(biāo)； Xp1 擺 桿 1 質(zhì)心縱坐標(biāo)； Xp2 擺桿 2 質(zhì)心橫坐標(biāo)； Xp2 擺桿 2 質(zhì)心縱坐標(biāo)； Xm 質(zhì)量塊質(zhì)心橫坐標(biāo)； Ym 質(zhì)量塊質(zhì)心縱坐標(biāo)。2 2 2T T Tm m m?? 其中 39。1Tm 分別為擺桿 1 的平均動能和轉(zhuǎn)動動能。39。拉格朗日方程由廣義坐標(biāo) qi 和 L 表示為： 參數(shù) 名稱 實際值 單位 M 小車質(zhì)量 Kg 1m 擺桿 1 的質(zhì)量 Kg 2m 擺桿 2 的質(zhì)量 Kg 3m 質(zhì)量塊的質(zhì)量 Kg 1l 擺桿 1 轉(zhuǎn)動軸心到桿質(zhì)心的長度 M 2l 擺桿 2 轉(zhuǎn)動軸心到桿質(zhì)心的長度 M 1θ 擺桿 1 與豎直方向的夾角 / rad 2θ 擺桿 2 與豎直方向的夾角 / rad r 小車的位置 / M F 作用在系統(tǒng)上的外力 / N g 重力加速度 m/ 2s 畢業(yè)設(shè)計（論文） 25 qid L L fidt qi??????? （ ） 其中 i =1,2,3……n ， fi 為系統(tǒng)在 i 個廣義坐標(biāo)上的外力，在二級倒立擺系統(tǒng)中，系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)分別為 ,12x?? 。 LQR 中 Q 矩陣的選定可根據(jù)其擺桿的運(yùn)動曲線及要求進(jìn)行相應(yīng)調(diào)整，調(diào)節(jié)過程有規(guī)律容易掌握。取不同的極點(diǎn)對應(yīng)不同的狀態(tài)反饋矩陣，不同的控制效果。其中，若初始位置較大， Kp 必須有很大的改動才能明顯看出擺桿運(yùn)動曲線的變化，積分系數(shù) Ki 也一樣，微分系數(shù) Kd 則相對于 Kp、 Ki 只要有很小的變 化就可以使擺桿運(yùn)動曲線產(chǎn)生明顯變化。 在 Matlab 中計算得： A=[0 1 0 0； 0 0； 0 0 0 1； 0 0]； B=[0； ； 0； ]； P=[*j， 10+*j， 22*sqrt(3)*j， 2+2*sqrt(3)*j]； K=place(A， B， P) 運(yùn)行結(jié)果為 ： K = 通過在 Matlab 中進(jìn)行編程，得到以下仿真圖： 圖 系統(tǒng)響應(yīng)曲線 改變極點(diǎn)，取 P=[2+5i 25i 5+4i 54i]，得到狀態(tài)反饋增益矩陣 K： K= ，得到仿真圖： 畢業(yè)設(shè)計（論文） 22 圖 系統(tǒng)響應(yīng)曲線 從仿真圖中可以看出系統(tǒng)基本上可以在短時 間內(nèi)實現(xiàn)穩(wěn)定，說明這種算法具有可行性。 狀態(tài)空間極點(diǎn)配置控制設(shè)計及仿真 對于控制系統(tǒng) .X Ax Bu?? 式中： X 為狀態(tài)向量（ n 維） u 控制向量（純量） A nn 維常數(shù)矩陣 B n1 維常數(shù)矩陣 選擇控制信號為： u KX?? 畢業(yè)設(shè)計（論文） 21 圖 狀態(tài)反饋閉環(huán)控制控制原理圖 求解上式，得到： ? ? ? ? ? ?.x t A BK x t?? 方程的解為： ? ? ? ? ? ?0A BK tx t e x?? 可以看出，如果系統(tǒng)狀態(tài)完全可控， K 選擇適當(dāng)，對于任意的初始狀態(tài)，當(dāng)t 趨于無窮時，都可以使 x(t)趨于 0。確定最佳控制向量的矩陣 K： u(t)= K* x(t)，使得性能指標(biāo)達(dá)到最小值。 從圖中可以看出建立的一階倒立擺控制系統(tǒng)在 Matlab 中能夠?qū)崿F(xiàn)倒立擺的要求，能通過電動機(jī)牽引機(jī)構(gòu)帶動小車的移動來控制擺桿和保持平衡。 Kp，調(diào)節(jié)器的各個參數(shù) Ki 和 Kd 的值，觀察曲線的變化情況，同理，再次改變另外兩個參數(shù)時，觀察曲線變化。當(dāng)被控對象的結(jié)構(gòu)和參數(shù)不能完全掌握，或得不到精確的數(shù)學(xué)模型時，控制理論的其它技術(shù)難以采用時，系統(tǒng)控制器的結(jié)構(gòu)和參數(shù)必須依靠經(jīng)驗和現(xiàn)場調(diào)試來確定，這時應(yīng)用 PID 控制技術(shù)最為方便。 由于輸出為角度 ? ，求解方程組（ ）的第一個方程，可以得到： )(])([)(22 ssgmlmlIsX ???? () 或： ? ?? ? ? ? 222s m lsXsI m l s m g l? ??? () 如果令 vx? ，則有： ? ?? ? ? ?22s mlVs I m l s m gl? ? ?? () 把上式代入方程組（ ）的第二個方程，得到： )()()()()()()( 22222 sUssmlsssgml mlIbsssgml mlImM ???