【正文】 。 畢業(yè)設(shè)計（論文）說明書 題目名稱： 基于 LMI 的單級倒立擺魯棒控制器設(shè)計 學(xué) 院： 機(jī)械工程學(xué)院 專業(yè) 年 級： 機(jī)械設(shè)計制造及其自動化 11 級 姓 名： 梁鉅鋒 班級學(xué)號： 機(jī)設(shè) 110204 指導(dǎo)教師： 張澤健 二○一五 年 六 月 三 日 北華大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 摘 要 倒立擺控制系統(tǒng)是一個 多變量、 高階次、 非線性 和強(qiáng)耦合 的典型不穩(wěn)定 控制系統(tǒng)，它的各項參數(shù)具有不確定性，同時還受到不確定因素的干擾。 用SolidWorks軟件做了三維建模；完成了模型的 ADAMS建模和 動力學(xué) 仿真，得到了擺桿速度、小車位移和小車加速度的函數(shù)圖像，并輸出了仿真動畫。 關(guān)鍵詞： H? 控制；倒立擺；狀態(tài)反饋 ； ADAMS仿真 ； LMI方法 。 then, using LMI (linear matrix inequality method) to design the H? state feedback controller, gives the system with H? performance in terms of linear matrix inequality conditions and inverted pendulum system as an example and simulation to verify the effectiveness and superiority of the design method. SolidWorks software is used to do 3D modeling。深入研究倒立擺控制系統(tǒng)能有效的反映工程控制中 的許多典型問題：例如魯棒性問題、鎮(zhèn)定問題、隨動問題、跟蹤問題以及非線性問題等 [1]。所以，倒立擺原理的深入研究具有重要的理論和實(shí)際意義，也必將成為控制理論中經(jīng)久不衰的研究課題。 一種控制理論的正確性和在實(shí)際應(yīng)用中的可行性的驗(yàn)證，在控制理論發(fā)展的過程中，通常是將一個按其理論設(shè)計的控制器用于控制一個典型對象進(jìn)而根據(jù)結(jié)果驗(yàn)證這一理論。一次繼續(xù)研究倒立擺控制系統(tǒng)一來可以解決控制中的理論性問題，二來也能將控制理論涉及的相關(guān)主要學(xué)科進(jìn)行綜合應(yīng)用，如：數(shù)學(xué)、機(jī)械、電學(xué)、計算機(jī)和力學(xué)等。由于大多數(shù)的工程系統(tǒng)都在變化的環(huán)境中運(yùn)行，系統(tǒng)不確定性是普遍存的，不可能用精確的數(shù)學(xué)模型描述系統(tǒng)中的動態(tài)特性，這是不現(xiàn)實(shí)的。試圖描述被控對象模型的不確定性是魯棒控制的核心，且能估計達(dá)到控制目標(biāo)所留有 的自由度，即使在某些特定界限下 [2]。而在中國也有主要的三所高校：北師大、北航 [3]和中科大 [4]。其它一些生產(chǎn)廠家還包括（韓國）奧格斯科技發(fā)展有限公司（ FT4820 型倒立擺）、保定航空技術(shù)實(shí)業(yè)有限公司等。當(dāng)時 Cannon 等人應(yīng)用 BangBang 控制理論，將一個曲軸穩(wěn)定于倒置位置研究平衡控制問題。早期的研究以直線倒立擺建模和擺桿控制為主線，也就是一直被關(guān)注的鎮(zhèn)定問題。 (2)利用倒立擺控制系統(tǒng)的實(shí)時控制能夠使宇宙飛船等飛行器在飛行過程中，保北華大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 3 持正確 的姿態(tài)。所以對倒立擺控制理論的研究有豐富的工程價值。由于魯棒控制的早期研究主要研究在系統(tǒng)的不確定性是微小的參數(shù)攝動情形，尚屬靈敏度分析的范疇，具有廣泛的局限性。 1971 年 Davion 的論文中首次出現(xiàn)了魯棒控制理論的說法 [10]，而首先將魯棒控制寫進(jìn)論文標(biāo)題是從 1974 年 Pearson 等人開始的 [11]。尤其是 1981 年，魯棒 H? 控制理論框架基本形成，且提出了最優(yōu)靈敏度控制方法 [12]。 簡單地說，魯棒控制處理的是具有不確定性的被控對象，包括模型參數(shù)變化 、外北華大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 4 部擾動、模型與實(shí)際系統(tǒng)差異和執(zhí)行器的誤差等等。倒立擺是一個典型研究對象，它能夠有效的驗(yàn)證控制理論的正確性和在實(shí)際應(yīng)用中的可行性，是理論研究和創(chuàng)新的試金石。因而傳統(tǒng)控制理論與實(shí)際工程應(yīng)用之間的契合存在較大的差距。原因可歸結(jié)為兩個方面。對于一個單輸入、輸出系統(tǒng)的設(shè)計：這類問題屬于一個特殊的干擾信號，存在于有限能量 的信號集中。 北華大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 5 H? 控制理論的 發(fā)展過程是漫長的，可以系統(tǒng)的描述為三個階段。通常所說的 “1984年方法 ”是當(dāng)時 Doyle 和 Glover 等人在 Honeywell 公司的 H? 控制研討會上，對 H? 控制理論進(jìn)行總結(jié)，從而形成的。翌年，在全美控制年會上美國控制領(lǐng)域著名學(xué)者 Doyle 和英國學(xué)者 Glover 等發(fā)表了著名的 “2Riccati 方程 ”解法，這一成果的問世證明了 H? 控制問題可以通過求解兩個適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)黎卡提方程來得到。 H? 控制問題的純時域解法除了能夠解決系統(tǒng)的 H? 線性時不變問題，還可以用來處理非線性系統(tǒng)、 時變系統(tǒng)、奇異攝動系統(tǒng)、分布參數(shù)系統(tǒng)等的 H? 控制問題。 在穩(wěn)定性控制問題上，倒立擺既具有普遍性又具有典型性。一 級、二級、三級、四級乃至多級倒立擺。特別適合用于研究屬于 “力學(xué)中的數(shù)學(xué)方法 ”。這表明 0a 時式中的 “零 ”解是穩(wěn)定的。 穩(wěn)定性定理 Lyapunov 直接法 [13]（即第二法）探討的是一個二維自治系統(tǒng)的穩(wěn)定性，經(jīng)過提煉概括合理分析語言，在原始幾何思想的基礎(chǔ)之上，給出了一條穩(wěn)定性定理、一條漸近穩(wěn)定性定理和兩條不穩(wěn)定性定理。 隨著 x?? 有 ? ?,V x t ?? ，當(dāng)前情況下系統(tǒng)在原點(diǎn)處的穩(wěn)定平衡態(tài)是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。如果存在一個滿足下述條件的有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的正定函數(shù) ? ?,Vxt ： 1) ? ?,V xt? 為正定的，則該系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡態(tài)是不穩(wěn)定的； 2) 若 ? ?,V xt? 為非負(fù)定（不包括半負(fù)定）的，且對任意的 0t 和任意的 ? ?0 0xt? ，? ?,V xt? 在 0tt? 時不恒為零，那么該平衡態(tài) 0x 也是不穩(wěn)定的。 V 函數(shù)法 先試探構(gòu)造出正定 的函數(shù) V （或變號 V ），然后沿系統(tǒng)解對函數(shù) V 求導(dǎo)數(shù) dVdt ，看條件能否保證 dVdt 負(fù)定、半負(fù)定。基于 LMI 方法研究的通常做法是 :將系統(tǒng)與控制理論中的各類問題轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)的線性矩陣不等式問題 ,以達(dá)到求解的目的。一個線性矩陣不等式問題一旦確定，就可以通過調(diào)用適當(dāng)?shù)木€性矩陣不等式求解器來對這個問題進(jìn)行數(shù)值求解。按以下步驟來確定一個線性矩陣不等式系統(tǒng)： 1．在文本 區(qū)域的上半部分給出每一個矩陣變量的描述（名字和結(jié)構(gòu)），其結(jié)構(gòu)是通過類型（ S 表示對稱塊矩陣， R 表示無結(jié)構(gòu)的長方矩陣， G 表示其他結(jié)構(gòu)矩陣）和一個 “附加 ”的結(jié)構(gòu)矩陣（類似于 lmivar 中的 struct）來刻畫的。 * 1 0A X X A X B B X??? ? ? （ ） 來描述。 魯棒 H? 控制理論基礎(chǔ) 在應(yīng)用 控制理論進(jìn)行控制系統(tǒng)設(shè)計的過程中，首先必須獲取系統(tǒng)的相關(guān)數(shù)學(xué)模型。不確定性的存在是一切被控對象的共性，而如何處理被控對象的不確定性一直是個有待研究的問題；魯棒控制則是目前克服不確定性進(jìn)行有效控制的主要手段。 現(xiàn)代魯棒控制理論的建立和成熟在很大程度上得益于 60年代里兩個重要結(jié)論的提出：一個 是 Zames的小增益原理，另一個是 Kalman證明了 SIS0系統(tǒng)線性二次型最優(yōu)狀態(tài)反饋控制具有很好的魯棒性，即無窮大增益裕量和 60度相位穩(wěn)定裕量。 H? 優(yōu)化控制器設(shè)計方法具有如下幾個優(yōu)點(diǎn)：第一，魯棒控制器設(shè)計問題被賦予北華大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 11 了一個清晰而堅實(shí)的理論基礎(chǔ)；第二，盡管它回到了輸入輸出模型，然 而實(shí)際設(shè)計時保留了狀態(tài)空間方法中某些計算上的優(yōu)點(diǎn)；第三，設(shè)計者可以在相當(dāng)大的程度上控制閉環(huán)系統(tǒng)的頻率域響應(yīng)形狀，從而使該方法易被工程師們所接受?？傊?Kharitonov定理為代表的多項式代數(shù)方法為參數(shù)不確定性系統(tǒng)的魯捧控制問題研究提供了強(qiáng)有力的工具，但其基本上局限于魯棒穩(wěn)定性分析，對于參數(shù)不確定性系統(tǒng)的魯捧鎮(zhèn)定問題，沒有什么滿意的結(jié)果。 對于時域魯棒鎮(zhèn)定問題，不確定性系統(tǒng)的可鎮(zhèn)定性及相應(yīng)的魯棒鎮(zhèn)定控制器設(shè)計方法、魯棒二次鎮(zhèn)定、同時鎮(zhèn)定等問題都得到了深入的研究取得了一系列研 究成果，但還有待進(jìn)一步的完善和發(fā)展。 總之，魯棒控制理論提出了從根本上解決被控對象模型不確定和外界擾動不確定性問題的有效方法。和 BASIC 一樣，它簡單易用程序可用作便箋簿求打在命令行處表達(dá)式的值。許多的編程工具使得 MATLAB 十分簡單易用。在一個平臺上編寫的程序，在其它平臺上一樣可以正常運(yùn)行，在一個平臺上編寫的數(shù)據(jù)文件在其它平臺上一樣可以編譯。在許多的語言中，你需要寫出你所 編數(shù)組的下標(biāo)和執(zhí)行計算所需要的函數(shù)，這些函數(shù)包括其數(shù)學(xué)意義，中值，標(biāo)準(zhǔn)誤差等。 4． 機(jī)制獨(dú)立的畫圖 與其他語言不同， MATLAB 有許多的畫圖和圖象處理命令。利用MATLAB 的這種功能，程序員可以設(shè)計出相對于無經(jīng)驗(yàn)的用戶可以操作的復(fù)雜的數(shù)據(jù)分析程序。 北華大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 13 第三章 單級倒立擺實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)研究 單級倒立擺的實(shí)驗(yàn)設(shè)備 在我剛剛跨入大學(xué)校門的時候，學(xué)院組織我們參觀了 “創(chuàng)新實(shí)踐基地 ”，并有幸在我校 “工程訓(xùn)練中心 ”觀看老師演示了單級倒立擺實(shí)驗(yàn)。 開放性指的是它擁有固高 Simulink 通用軟件實(shí)驗(yàn)平臺，基于 PC 和 DSP 運(yùn)動控制器的開放式硬件控制平臺以及可直接對系統(tǒng)進(jìn)行建模、仿真和實(shí)際控制功能。在倒立擺控制系統(tǒng)中，小車的位移可以通過光電碼盤的反饋獲得，進(jìn)而通過對位移的差分得到速度信號，同時反饋給伺服驅(qū) 動器和運(yùn)動控制卡；這樣，各個擺桿的角度由光電碼盤測得并直接反饋到控制卡，而通過對角度的差分可以得到角速度信號，并同時反饋給控制卡和伺服驅(qū)動器。當(dāng)擺桿到預(yù)期位 置后，整個還系統(tǒng)能克服隨機(jī)擾北華大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 14 動繼續(xù)保持穩(wěn)定的位置。電機(jī)是驅(qū)動元件，它的轉(zhuǎn)矩和轉(zhuǎn)速通過皮帶輪傳送到 小車上，從而帶動小車的運(yùn)動，組成傳動系統(tǒng)，最后小車帶動擺桿運(yùn)動，組成整個倒立擺機(jī)械系統(tǒng)模型。 傳感器前期信號處理：傳感器與微機(jī)的接口電路主要由信號預(yù)處理電路、數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)和計算機(jī)接口電路組成。模擬量接口方式為：傳感器輸出信號 → 放大 → 采樣、保持 → 模擬多路開關(guān) →A/D 轉(zhuǎn)換 →I/O 接口 → 微型機(jī)；開關(guān)量接口方式：開關(guān)型傳感器輸出二值式信號（邏輯 1 或 0） → 三態(tài)緩沖器 → 微型機(jī)；數(shù)字量接口方式：數(shù)字型傳感器輸出數(shù)字量 （二進(jìn)制代碼、 BCD 碼、脈沖序列等） → （計數(shù)器） → 三態(tài)緩沖器 → 微型機(jī)。解決這類問題一般采用三種方法： ?縮小測量 范圍，并取近似值 ?采用非線性的指示刻度 ?增加非線性補(bǔ)償環(huán)節(jié)。通過對數(shù)字濾波器的存儲器編寫程序，就可以實(shí)現(xiàn)各種濾波功能。試驗(yàn)建模就是通過在研究對象上加上一系列的研究者事先確定的輸入信號，激勵研究對象并通過傳感器檢測其可觀測的輸出，應(yīng)用數(shù)學(xué)手段建立起系統(tǒng)的輸入、輸出關(guān)系。但是經(jīng)過假設(shè)忽略一些次要因素后，倒立擺系統(tǒng)就是一個典型的運(yùn)動 的剛體系統(tǒng)，可以在慣性坐標(biāo)系內(nèi)應(yīng)用經(jīng)典力學(xué)理論建立系統(tǒng)的動力學(xué)方程。 ：用云模型構(gòu)成語言值，用語言值構(gòu)成規(guī)則 ,形成一種定性的推理機(jī)制 [15]。以擺桿的傾角和速度作為輸入變量 可以將傾角描述成：向左傾角大、中、小；向右傾角小、中、大。最后，模糊輸出被分解成可以加到小車上的確切的驅(qū)動電壓，這個過程為解模糊判決。楊振強(qiáng)等為解決模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在控制多變量系統(tǒng)時的規(guī)則組合爆炸問題，提出用狀態(tài)變量合成模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制倒立擺。 假設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)可以直接測量 ， 本文的目的就是設(shè)計一個狀態(tài)反饋控制器 KX?? （ ） 使得一個相應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng) ? ?? ?211 12 11x A B K x Bz C D K x D??? ? ?? ? ? （ ） 漸近穩(wěn)定 ， 且閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)滿足如下要求 ? ? ? ? ? ? 12 1 1 1zT S C D K s I A B K B D?? ?? ?? ? ? ? ? ????? （ ） 基于 LMI 的狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計 有界實(shí)引理 假設(shè)存在 ??Ts這樣一個傳遞函數(shù)，使得 ? ? ? ? 1T s D C s I A B?? ? ?成立，那么得到以下兩個條件是完全等價的： （ a）系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，且有 ? ?s ?? ?丁， （ b）存在一個正定對稱矩陣 X ，使 0TTTA X X A X B CB X I DC D I???????????? （ ） 北華大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 18 定理 對于系統(tǒng) ()，存 在一個狀態(tài)反饋 H∞控制器。所以在（ ）式矩陣左、右兩端分別乘上矩陣? ?1Q I I?， ， 得等價的 LMI： ? ? ? ?1 1 1 1 1 12 2 1 1 121 111 1 21 12 110TTTTAQ B K Q AQ B K Q B C Q